初中数学竞赛专题选讲

基本对称式

一、内容提要

1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 的基本

对称式.

2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.

例如x 2+y 2, x 3+y 3, (2x －5)(2y －5), －y

x 3232-， y x x y +……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y 的基本对称式来表示：

x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ， x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，

(2x －5)(2y －5)＝4xy －10(x+y)+25, －y x 3232-=－xy

y x 3)2+（, y

x x y +=xy x y 22+=xy xy y x 2)(2-+. 3. 设x+y=m, xy=n.

则x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ＝m 2－2n ；

x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)=m 3－3mn ；

x 4+y 4＝（x 2+y 2）2－2x 2y 2＝m 4－4m 2n+2n 2；

x 5+y 5＝（x 2+y 2）(x 3+y 3)－x 2y 2(x+y)=m 5－5m 3n+5mn 2；

………

一般地，x n +y n (n 为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：

x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)－xy(x k －1+y k －1) (k 为正整数).

4. 含x, y 的对称式，x+y, xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.

二、例题

例1. 已知x=21(3+1), y=）－（132

1 求下列代数式的值： ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ； ②x

2 (2y+3)+y 2(2x+3).

解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.

∴先求出 x+y=3, xy=2

1. ① x 3+x 2y+xy 2+y 3 ＝（x+y ）3－2xy(x+y) =(3)3－2×

321 =23；

② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2

=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)

=3［（x+y ）2－2xy ］+2xy(x+y)

=3［（21232?

－））2×213 ＝3－6.

例2. 解方程组???=+=+②

①53533y x y x

分析：可由 x 3+y 3, x+y 求出xy ，再由基本对称式，求两个变量x 和y.

解：∵x 3+y 3,＝（x+y ）3－3xy(x+y) ③

把①和②代入③，得

35＝53－15xy.

∴xy=6.

解方程组?

??==+65xy y x 得???==32y x 或???==2

3y x . 例3. 化简 321420+＋321420-. 解：设321420+＝x, 321420-=y.

那么 x 3+y 3=40, xy=32196400?－=2.

∵x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，

∴ 40＝（x+y ）3－6（x ＋y ）.

设x+y=u,

得 u 3－6u －40=0 . (u －4)(u 2+4u+10)=0.

∵u 2+4u+10=0 没有实数根，

∴u －4＝0, u ＝4 .

∴x+y=4.

即

321420+＋321420-＝4. 例4. a 取什么值时，方程x 2－ax+a －2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什

么？

解：设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理，

得 ???-==+22

121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=-＝212214)x x x x -+（＝842+-a a ＝4)2(2+-a ，

∴当a=2时，21x x - 有最小值是2.

三、练习

1. 已知 x －y=a, xy=b. 则x 2+y 2=______ ； x 3－y 3=______.

2. 若x+y=1, x 2+y 2=2. 则 x 3+y 3=_______； x 5+y 5=______.

3. 如果 x+y=－2k, xy=4, 3=+x

y y x . 则 k=_____. 4. 已知x+

x 1=4, 那么x －x 1=____ ， 221x x +=＿＿＿. 5. 若x x 1

+.＝a, 那么x+x 1=______, 221x

x +=＿＿＿. 6. 已知：a=321

－, b=3

+. 求： ①7a 2+11ab+7b 2 ； ②a 3+b 3－a 2－b 2－3ab+1.

7. 已知x

x 1+＝8，则x x 12+＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题） 8. 已知 a 2+a －1=0 则a 3－31a

=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛) 9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛）

10. 化简： ①335252－＋＋； ②33725725－－＋.

练习题参考答案

1. a 2+2b, a 3+3ab

2. 2.5, 4.75

3. ±5

4. 23或－23， 14， 52

5. a 2－2, a 4－4a 2+2

6. 109,36

7. 62

8. –4

9. x 2 ±3x ＋2＝0

10. ①1， ②2

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