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广东省佛山市2016届九年级上学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．

1．下列选项中一元二次方程的是（）

A．x=2y﹣3 B．2（x+1）=3 C．2x2+x﹣4 D．5x2+3x﹣4=0

2．如图所示的正三棱柱的主视图是（）

A． B．C．D．

3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是（）

A．1：16 B．1：9 C．1：4 D．1：2

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）

A．B．C．D．

5．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（）

A．B．2 C．D．2

6．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）

A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡

C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关

7．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

8．如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（）

A．y=（x＞0）B．y=（x＞0）C．y=（x＜0）D．y=（x＜0）

9．下列命题中正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线垂直的平行四边形是正方形

D．一组对边平行的四边形是平行四边形

10．反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

11．已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一个根，则它的另一个根为．

12．某学校共有学生3000人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了200名同学，其中120人有阅读课外书的习惯，则该学校大约人有阅读课外书的习惯．

13．如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB=．

14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是度．

15．某网店一种玩具原价为100元，“双十一”期间，经过两次降价，售价变成了81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为．

16．如图，已知矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形l1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形l2；…如此操作下去，则l4的面积是cm2．

三、解答题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．

17．解方程：x（2x﹣3）=3﹣2x．

18．计算：cos230°+2sin60°﹣tan45°．

19．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．

四、解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分．

20．如图，AB表示路灯，当身高为1.6米的小名站在离路灯1.6的D处时，他测得自己在路灯下的影长DE与身高CD相等，当小明继续沿直线BD往前走到E点时，画出此时小明的影子，并计算此时小明的影长．

21．两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记录着地的面所得的点数为a、b．

（1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情形12a=1b=2

（）为了验证试验用的正四面体质地是否均匀，小明和他的同学取一枚正四面体进行投掷试验．试1

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．

（1）证明：四边形ADCE为菱形；

（2）证明：DE=BC．

五、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

23．已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是（2，3）．

（1）求出这两个函数的表达式；

（2）作出两个函数的草图，利用你所作的图形，猜想并验证这两个函数图象的另一个交点的坐标；（3）直接写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围．

24．如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．

25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．

（1）几秒后P、Q两点相距25cm？

（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？

（3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

广东省佛山市2016届九年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．

1．下列选项中一元二次方程的是（）

A．x=2y﹣3 B．2（x+1）=3 C．2x2+x﹣4 D．5x2+3x﹣4=0

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误；

B、是一元一次方程，故此选项错误；

C、不是方程，故此选项错误；

D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．如图所示的正三棱柱的主视图是（）

A． B．C．D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】主视图是分别从物体正面看所得到的图形．

【解答】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形，中间有一道竖直的虚线，

故选：D．

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是（）

A．1：16 B．1：9 C．1：4 D．1：2

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

【专题】计算题．

【分析】由于D，E分别是AB，AC边上的中点，利用三角形中位线定理可知DE∥BC，=，再

利用平行线分线段成比例定理的推论易证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方可求两个三角形面积比．

【解答】解：∵D，E分别是AB，AC边上的中点，

∴DE∥BC，=，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC=（）2=．

故选C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、三角形中位线定理．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）

A．B．C．D．

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】先由勾股定理求出斜边c的长，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，

∴c==，

∴sinA==．

故选A．

【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．

5．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（）

A．B．2 C．D．2

【考点】菱形的性质．

【分析】首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB=2，∠B=60°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．

【解答】解：连接AC，

∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2．

故选B．

【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．

6．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）

A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡

C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关

【考点】锐角三角函数的增减性；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【专题】压轴题．

【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．

【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．

故选：A．

【点评】掌握锐角三角函数值的变化规律．

7．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【考点】根的判别式．

【专题】压轴题．

【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．

【解答】解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9，

∵9＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选A．

【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△＞0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△＜0，没有实数根．

8．如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（）

A．y=（x＞0）B．y=（x＞0）C．y=（x＜0）D．y=（x＜0）

【考点】待定系数法求反比例函数解析式．

【专题】待定系数法．

【分析】先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．

【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）

由图象可知，函数经过点P（﹣1，1）

得k=﹣1

∴反比例函数解析式为y=（x＜0）．

故选D．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，由反比例函数图象上点的坐标代入求得k 值即可．

9．下列命题中正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线垂直的平行四边形是正方形

D．一组对边平行的四边形是平行四边形

【考点】命题与定理．

【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．

【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；

B、正确；

C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；

D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．

10．反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．

【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．

【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=﹣的图象在一，三象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项B符合；

当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=﹣的图象在二、四象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、

四象限，无符合选项．

故选B．

【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

11．已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一个根，则它的另一个根为﹣6．

【考点】根与系数的关系．

【分析】此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．

【解答】解：∵x2﹣ax+6=0的一个根为﹣1，

∴另一个根x=6÷（﹣1）=﹣6．

故答案为：﹣6．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．

12．某学校共有学生3000人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了200名同学，其中120人有阅读课外书的习惯，则该学校大约1800人有阅读课外书的习惯．

【考点】用样本估计总体．

【分析】先求出阅读课外书的习惯的人数所占的百分比，再乘以全校的总人数即可得出答案．

【解答】解：根据题意得：

3000×=1800（人），

答：学校大约1800人有阅读课外书的习惯；

故答案为：1800．

【点评】此题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计整体让整体×样本的百分比是本题的关键．13．如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB=2+2．

【考点】黄金分割．

【分析】根据黄金比值是列出算式，计算即可．

【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，

∴AC=AB，又AC=4，

∴AB=2+2，

故答案为：2+2．

【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．

14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是22.5度．

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；正方形的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAB=∠BCA=45°；

△ACE中，AC=AE，则：

∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；

∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．

故答案为22.5．

【点评】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．

15．某网店一种玩具原价为100元，“双十一”期间，经过两次降价，售价变成了81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为10%．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2=售价，据此列方程求解．

【解答】解：设每次降价的百分率为x，

由题意得，100×（1﹣x）2=81，

解得：x=0.1=10%．

故答案为：10%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解．

16．如图，已知矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形l1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩

形FNPQ各边中点，得到菱形l2；…如此操作下去，则l4的面积是cm2．

【考点】中点四边形．

【专题】规律型．

【分析】根据题意和菱形的面积公式求出菱形l1的面积，根据中点的性质进行计算即可求出菱形l4的面积．

【解答】解：∵矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，

∴EF=8cm，AE=6cm，

∴菱形l1的面积=×8×6=24cm2，

同理，菱形l2的面积=×4×3=6cm2，

则菱形l3的面积=×2×=cm2，

∴菱形l4的面积=×1×=cm2，

故答案为：．

【点评】本题考查的是中点四边形的性质，掌握菱形的面积公式、通过计算找出规律是解题的关键．

三、解答题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．

17．解方程：x（2x﹣3）=3﹣2x．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】首先移项得到x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，然后提取公因式（2x﹣3），最后解两个一元一次方程即可．

【解答】解：∵x（2x﹣3）=3﹣2x，

∴x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，

∴（2x﹣3）（x+1）=0，

∴2x﹣3=0或x+1=0，

∴x1=﹣1，x2=．

【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

18．计算：cos230°+2sin60°﹣tan45°．

【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．

【解答】解：原式=（）2+2×﹣1

=+﹣1

=﹣．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．19．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．

【解答】解：∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD=60°，

∴∠ACP=120°，

∵△ACP∽△PDB，

∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABP，

∴∠APB=∠ACP=120°．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

四、解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分．

【考点】相似三角形的应用．

【分析】画出图形，根据题意得出BD=CD=DE=EF=1.6米，AB∥CD，得出BE=3.2米，△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质得出比例式求出AB，同理：△FEG∽△ABG，得出，即可得出EG的长．

【解答】解：如图所示：

线段EG表示小明此时的影子；

根据题意得：BD=CD=DE=EF=1.6米，AB∥CD，

∴BE=3.2米，△CDE∽△ABE，

∴，即，

解得：AB=3.2米，

同理：△FEG∽△ABG，

∴，即，

解得：EG=3.2米；

答：此时小明的影长为3.2米．

【点评】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．

21．两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记录着地的面所得的点数为a、b．

（1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情形12a=1b=2

请完成表格（数字精确到），并根据表格中的数据估计标号的面着地的概率是多少？

【考点】利用频率估计概率．

【分析】（1）根据题意先在表格内列举出所有情形，再用两次着地的面点数相同的情况数除以总情况数即可；

（2）用“标号1”的面着地的次数除以试验总次数得到“标号1”的面着地的频率，再利用频率估计概率即可估计“标号1的面着地”的概率．

4种，分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），

所以，两次着地的面点数相同的概率为=；

【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．

（1）证明：四边形ADCE为菱形；

（2）证明：DE=BC．

【考点】菱形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=

AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；

（2）由菱形的性质得出AC⊥DE，证出DE∥BC，再由CE∥AB，证出四边形BCED是平行四边形，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB的中点，

∴CD=AB=AD，

∴四边形ADCE为菱形；

（2）证明：∵四边形ADCE为菱形，

∴AC⊥DE，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∴DE∥BC，

又∵CE∥AB，

∴四边形BCED是平行四边形，

∴DE=BC．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形BCED是平行四边形是解决问题（2）的关键．

五、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

23．已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是（2，3）．

（1）求出这两个函数的表达式；

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据函数解析式确定出图象所经过的点的坐标，再画出图象即可．

（3）根据图象和交点坐标即可求得．

【解答】解：（1）由正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是（2，3），得3=2k1，3=．

解得k1=，k2=6．

正比例函数y=x；反比例函数y=；

（2）画出函数的图象如图：

两个函数图象的一个交点的坐标（2，3），猜想另一个交点的坐标（﹣2，﹣3），

把（﹣2，﹣3）代入y=成立；

（3）由图象可知：比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数和反比例函数的图象，以及函数与不等式的关系，正确画出函数的图象是解题的关键．

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】过B作BH⊥EF于点H，在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的长度，又AD=1m，可求得BD的长度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的长度，然后根据BH⊥EF，求得∠EBH=30°，继而可求得EH的长度，易得EF=EH+HF的值．

【解答】解：过B作BH⊥EF于点H，

∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，

在Rt△ABC中，

∵∠BAC=30°，BC=1.5m，

∴AB=3m，

∵AD=1m，

∴BD=2m，

在Rt△EDB中，

∵∠EBD=60°，

∴∠BED=90°﹣60°=30°，

∴EB=2BD=2×2=4m，

又∵∠HBA=∠BAC=30°，

∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，

∴EH=EB=2m，

∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．

答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．

25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．

（1）几秒后P、Q两点相距25cm？

（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？

（3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；

（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；

（3）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，

则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由题意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

则10秒后P、Q两点相距25cm；

（2）设y秒后△PCQ与△ABC相似，

当△PCQ∽△ACB时，=，即=，

解得，y=，

当△PCQ∽△BCA时，=，即=，

解得，y=，

故秒或秒后△PCQ与△ABC相似；

（3）△CPQ的面积为S1=×CQ×CP=×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面积为S2=×AC×BC=375，

由题意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．