2.1.1椭圆及其标准方程
课题：《2.1.1椭圆及其标准方程》
一、学习目标：
1、掌握椭圆的第一定义
2、掌握椭圆标准方程及其推导
二、教学重、难点 三、教学过程
1、提出问题：做一个小实验
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
2、椭圆的第一定义：抓住本质，类比圆的定义，给椭圆下一个定义 圆的定义：平面内到定点C 的距离等于常数的点的轨迹叫做圆。
椭圆的第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。注意：在椭圆的定义中，将“大于12F F ”改为“等于12F F ” 或“小于12F F ”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 3、椭圆标准方程
回顾求轨迹方程的几种方法（直接法、参数法、相关点法、交轨法），这里选用直接法。 求出椭圆焦点在x 轴上的椭圆的标准方程
你能在图中找出表示a ，b ，c 的线段吗？
类比：求出椭圆焦点在y 轴上的椭圆的标准方程
焦点：1F ，2F 焦距：2c 半焦距：c 顶点： 长轴、长半轴、短轴、短半轴 4、课本例题
例1、已知椭圆两个焦点的坐标分别是
例1、 求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离和等于10。
（2）两焦点坐标分别是)2,0(),2,0(-，并且椭圆经过点)2
5
,23(-。
（3）52,10==+c b a 。
高二数学
组稿人： 审核人： 第 一、二 课时 使用时间:
学 案
例2、（1）若椭圆标准方程为b a y x ,,14491622求=+及焦点坐标。
（2）若椭圆经过两点),3
2,22(),34,5(Q P 求椭圆标准方程。 （3）若椭圆1222=+ky kx 的一个焦点是)4,0(-，则k 的值为 。 （A ）
1
（B ）8 （C ）1 （D ）32
例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点)2
,2(- ，求它的标准方程。
分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。 法二：由焦点坐标知道a , b 的关系，再将已知点)2
3
,25(-代入椭圆方程。
解法一、椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）. 由椭圆的定义知
2a =
10
2)23(22523)225(22
2
2=-+??
?
??-+??? ??-++, 所以a = 10
又因为c = 2 ，所以b 2 = a 2 – c 2 = 10 – 4 = 6 . 所以，所求椭圆的标准方程为 161022=+y x c = 2 ,所以 a 2 = b 2 + 4
所以可设椭圆方程为：142222=++b y b x 把点（），2
325-代入，可解得b 2 = 6 .所以a 2
= 10. 所以，所求标准方程为16102
2=+y x .
1．如果椭圆1361002
2=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的
距离是 14 。 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x 轴上； 明确： 116
2
2=+y x （2）a = 4 ,c = 15 ,焦点在y 轴上； 明确： 116
22
=+x y (3) a + b = 10 , c = 25 。 明确：
1163622=+y x 或136
162
2=+y x 例.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点)2
3
,25(- ，求它的标准方
程。
分析：法一：可由椭圆的定义先求出2a,又已知c,故可求出方程。
法二：由焦点坐标知道a , b 的关系，再将已知点)2
3
,25(-代入椭圆方程。
解法一、椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）. 由椭圆的定义知
2a =
10
2)23(22523)225(22
2
2=-+??
?
??-+??? ??-++, 所以a = 10
又因为c = 2 ，所以b 2
= a 2
– c 2
= 10 – 4 = 6 . 所以，所求椭圆的标准方程为
16
102
2=+y x 解法二：因为c = 2 ,所以 a 2 = b 2
+ 4
所以可设椭圆方程为：1422
2
2=++b
y b x 把点（），2325-代入，可解得b 2 = 6 .所以a 2 = 10. 所以，所求标准方程为16
102
2=+y x . 巩固练习：
1．如果椭圆136
1002
2=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 14 。 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x 轴上； 明确： 116
22
=+y x （2）a = 4 ,c = 15 ,焦点在y 轴上； 明确： 116
22
=+x y (3) a + b = 10 , c = 25 。 明确：
1163622=+y x 或136
162
2=+y x （四）应用举例，归纳点评
例1.判断下列椭圆的焦点位置，并求出c b a ,,的值：
① 14
52
2=+y x ； ②
)0(11
2
2>=++k k y k x ； ③ 204522=+y x ；
④ 1422=+y x .
解：①焦点在x 轴上，1,2,5===c b a ；
②焦点在y 轴上，1,,1==+=c k b k a ；
③1542
2=+y x ，焦点在y 轴上，1,2,5===c b a ； ④14
12
2
=+y x ，焦点在x 轴上，23,21,1===c b a . 点评：椭圆的焦点始终落在长轴上，即在标准方程中分母较大对应的坐标轴上；c b a ,,满足关系式222c b a +=，其中a 最大.
例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ①1,4==b a ，焦点在x 轴上； ②15,4==c a ，焦点在y 轴上；
③52,10==+c b a ；
④焦点为)0,2(),0,2(-，且经过点)2
3
,25(-。
解：①116
22
=+y x ；
②116
2
2
=+y x ； ③由???=-=+??
??=-=+21020102
2b a b a b a b a ，解得???==46
b a ，
∴当焦点在x 轴上时，
1163622=+y x ；当焦点在y 轴上时，136
162
2=+y x ； ④∵1022,4221=+==MF MF a c ，∴10,2==a c ，∴6=b 。
∵焦点在x 轴上，∴16
102
2=+y x 。 点评：求椭圆的标准方程通常分为两步：先确定焦点的位置，再确定b a ,的值.若焦点位置不确定，则应分类讨论。
（五）回顾小结，布置作业 1．椭圆的定义：
平面内到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数a 2（0221>>F F a ）的点的轨迹叫做椭圆.当212F F a =时，轨迹是线段F 1F 2；当212F F a <时，轨迹不存有。
2．椭圆的标准方程：
中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程称为椭圆的标准方程
①焦点在x 轴上的椭圆标准方程是)0(122
22>>=+b a b y a x ；
②焦点在y 轴上的椭圆标准方程是)0(122
22>>=+b a b
x a y .
3．椭圆标准方程中c b a ,,的几何意义：
①a 表示半长轴长，b 表示半短轴长，c 表示半焦距；
②椭圆的焦点始终落在长轴上；c b a ,,始终满足关系式222c b a +=. 4．布置作业：
基础题：课本P42 A 组1、2
思考题：你能否利用椭圆的定义证明一个篮球在阳光的斜照下在地面上的投影边界线是一个椭圆？
六、教学反思
1．关于椭圆定义的引入
椭圆定义的引入有多种方式.比如观察引入：用一个平面去截圆柱，截得一个椭圆面，在圆柱内有两个球分别位于这个椭圆截面的上、下方，并且与截面以及圆柱都相切，切点分别为F 1、F 2，设M 为椭圆上的任意一点，探求21MF MF +的值，等于两球公切线的长，从而引出椭圆的定义。又如折纸引入：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心F 1的一点F 2，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点F 2，折叠数次，形成一系列折痕，观察折痕围出一个椭圆，探求椭圆上的点到点F 1、F 2的距离之和等于圆的半径，从而引出椭圆的定义。相比之下，本节课采用的用细绳与铅笔动手画椭圆的引入方式即使显得定义的发生过程不够自然，但直观性强，操作简单，学生印象深刻，对于一节新课来说还是比较合适的。
2．关于课堂例题的设计
本节课的课堂例题能够从不同角度来设计.比如能够以椭圆定义的理解来设计例题： ①平面内满足10)3()3(2222=+-+++y x y x 的动点),(y x 的轨迹是什么？ ②平面内满足6)3()3(2222=+-+++y x y x 的动点),(y x 的轨迹是什么？
③⊿ABC 中，B （-3，0），C （3，0），⊿ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹是什么？ 又如能够以椭圆定义的应用来设计例题：
已知点M 是椭圆
136
1002
2=+y x 上的一点，F 1、F 2分别为左、右焦点。 ①若61=MF ，则=2MF ； ②⊿MF 1F 2的周长为 ；
③若02160=∠MF F ，则⊿MF 1F 2的面积为 。
因为本节课的重点是从数与形的角度来全面理解椭圆及其标准方程，而前半节课在理解椭圆的定义以及推导椭圆的标准方程中已花去了绝大部分时间，所以本节课设计的例题主要侧重于从数的角度来理解椭圆的标准方程，即围绕如何根据椭圆的标准方程求出c
b a ,,
的值以及如何根据已知条件求出椭圆的标准方程两个方面来设计例题，以达到即时巩固、突出重点的目的。至于椭圆定义的灵活使用，因为时间的限制，只好留待下节课再展开。
高二数学组稿人：徐岩
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作业