第3章直线与方程33直线的交点坐标与距离公式
第3章直线与方程
3.3直线的交点坐标与距离公式
教学目标：
1、 掌握求两条直线交点坐标的方法。
2、 会求平面内两点间的距离，并掌握两点间距离公式的应用。
3、 会利用公式求点到直线的距离的方法。 知识点： 1两直线的交点
求两直线=
10)与尙X +E A +C?二丰0)的交点坐标
只需求两直线方程联立所得方程组
① 若方程组有无穷多个解，此时两直线重合；反之，亦成立。 ② 若方程组无解，此时两直线平行；反之，亦成立。 ③ 当有交点时，方程组的解就是交点坐标。
在 --
两直线相交的条件是為
或A 1B 2 — A 2B 1工
要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数 例1、求下列两条直线的交点:
l i : x + 2y + 1 = 0,l 2 : — x + 2y + 2 = 0
2、平面上两点间的距离公式
两点呂仏Ail 加『2)间的距离公式为關I 二血-讦+ 0?.
要点诠释：
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行 直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决
.另外在下一章圆的标准方程的推导、
直线与圆、圆与圆
的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握
.
例2、已知点A (1 , 2), B (3, 4), C (5, 0),求证：△ ABC 是等腰三角形。
+ q = 0
4畫+盼+ G 二0的解即可.
例3、已知点A （4,12）,在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标。
3、点到直线的距离公式
d =
点P（皿儿）到直线应+砂+c = o的距离为
要点诠释：此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等。点直线加+砂+ C = 0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离。
例4、直线I经过点P（2，-5），且与点A（ 3，-2）和点B（ -1，6）的距离之比为1： 2,求直线I的方程。
4、两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：
①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；
②距离公式：直线去+和= o与直线祇十盼C］二0的距离为加+护.
要点诠释：
（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
（2）利用两条平行直线间的距离公式+0’时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直
线中x, y的系数要保持一致.
例5、直线l1过点A （0, 1）, I2过点B （5, 0）,如果l1 //丨2 ,且l1与l2的距离为5,求l1、I2的方程。
5、两条直线位置关系的判断方法
(1)平行
( 2)垂直
( 3)相交
(中难题)例6、已知两直线11: x + my + 6 = 0, 12: (m—2)x + 3y + 2m = 0，当m为何值时，直线11与12 (1)平行；(2)重合；(3)相交。
6、用直线系求直线方程的方法
(1)过两直线的交点的直线系方程：经过两直线11: A1x+ B.y + C, = 0 , l2: A2x+ B2y+ C2= 0交点的直线方程为A1x+B1y + C1+ ?(A2x+ B2y+ C2)= 0 ,其中入是待定系数。在这个方程中，无论入取什么实数，都得不到A2x+ B2y+ C2 = 0，因此它不能表示直线丨2。
(2)垂直直线系方程：与直线Ax + By + C = O(A工0,B工0)垂直的直线系方程是Bx—Ay +入=0。
例 7、求过两直线 x-2y+4=0 和 x+y-2 的交点，且满足下列条件的直线 l 的方程。 ( 1)过点( 2， -1 )；
( 2)和直线 2x-y+5=0 平行。
(中难题)例 8、求经过两条直线11: x-2y+4=0和12 : x+y-2=0的交点P且与直线13: 3x-4y+5=0垂直的直线l 的方程。
7、解决与距离相关的问题的方法。
求解步骤:
( 1 )根据条件画图
( 2)化直线方程为一般式
( 3)运用距离公式建立关系
例 9(中难题)
1)求两平行线 l1 : 3x+4y=10 和l2 : 3x+4y=15 的距离。
(2)求过点M (-2, 1)且与A (-1 , 2), B (3, 0)两点距离相等的直线方程。
8求关于点对称的对称问题的方法。
（1） （2） （3） （4）
仲难题）例10、已知直线I : y=3x+3，求： （1） 点P （ 4, 5）关于I 的对称点坐标； （2） 直线y=x-2关于I 的对称直线的方程； （3） 直线I 关于点A （ 3，2）的对称直线的方程。
求已知点关于点的对称点。 求直线关于点的对称直线。 求点关于直线的对称点。 求直线关于直线的对称直线。
9、对称问题的应用。
(1) 在直线I 上求一点P,使P 到两定点的距离之和最小。 (2) 在直线I 上求一点P,使P 到两定点的距离之差最大。
B (5, 1),直线l : y=x ，在直线l 上求一点P,使|PA+| PB|最小;
8x+6y=25反射后通过点 P (-4 , 3),
例11: (1)已知两点A (3, -3 ), (2)已知两点 A (-3 , 3), B (5, 1),直线l : y=x, 在直线 I 上求一点 P, 使|PA +|PB |最小;
(3)已知两点 A (-3，3)， B (5, 1)，直线I : y=x ，
在直线 I 上求一点 P, 使I PA H PB||最大; (4)已知两点 A (3, -3 ), B( 5, 1),直线I : y=x, 在直线 I 上求一点
使I PA H PB||最大;