高中数学直线方程公式
高中数学直线方程公式标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
直线方程公式
1.斜率公式
①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2
π
≠)
②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则21
21
y y k x x -=
- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）
的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ：
()()k y y x x x x p
p x x ,1,111
2
1
2
1
22
1
1
2=---=
-
3.两条直线的平行和垂直
【1】两直线平行的判断
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。
（3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α
2
。
（4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2
充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。111
12222
||A B C l l A B C ?
=≠
。 【2】两直线垂直的判断
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。
（3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2
充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。
【3】两直线相交的判断
（1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
（4）直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则A 1B 2-A 2B 1≠0是两直线相交的充要条件。
【4】两直线重合的判断
当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0（或A 1C 2-A 2C 1=0）时，两直线重合。 4..直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 5.“到角”及“夹角”公式 ： （1）夹角公式（1l 与2l 的角）
(1)21
21
tan |
|1k k k k α-=+.
(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221
1212
tan |
|A B A B A A B B α-=+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π. （2）1l 到2l 的角公式
(1)21
21
tan 1k k k k α-=
+.
(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=
+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2
π
. 6.对称问题
【1】关于点对称问题 （1）求已知点关于点的对称点
P （x 1，y 1）关于点Q （x 0，y 0）的对称点为（2 x 0- x 1，2 y 0- y 1）。 （2）直线关于点的对称直线
设l 的方程为：Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）和点P （x 0，y 0），求l 关于P 点的对称直线方程。设P 1（x 1，y 1）是对称直线l 1任意一点，它关于P （x 0，y 0）的对称点（2 x 0- x 1，2 y 0- y 1）在直线l 上，代入得A （2 x 0- x 1）+B （2 y 0- y 1）+C=0，即Ax 1+By 1+C 1=0为所求对称直线的方程。与已知方程平行。
常见和对称结论有：设直线l ：Ax+By+C=0： ※l 关于x 轴的对称直线是Ax+B （-y ）+C=0 ※l 关于y 轴的对称直线是A （- x ）x+By+C=0 ※l 关于原点的对称直线是A （- x ）x+B （-y ）+C=0 ※l 关于y=x 的对称直线是Bx+Ay+C=0
※l 关于y=-x 的对称直线是A （-y ）+B （- x ）+C=0 【2】关于直线对称问题 （1）点关于直线的对称点
※设P （x 0，y 0），l ：Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即PQ ⊥l ，PQ 的中点在l 上，解方程组
???
???
?=++*++*-=??
?
??-*--02210000C y y B x x A B A x x y y 可得Q 点坐标。 ※点A （x ，y ）关于直线x+y+c=0的对称点A 1的坐标为（-y-c, -x-c ），关于直线x-y+c=0的对称点A 2的坐标为（y-c, x+c ），曲线f （x,y ）=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为f （-y-c, -x-c ）=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f （y-c, x+c ）=0。
※一般地，点A （a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为A 1（a,-b ），关于y 轴的对称点的坐标为A 2（-a,b ），关于y=x 轴的对称点的坐标为A 3（b,a ），关于y=-x 轴的对称
点的坐标为A 4（-b,a ），关于x=m 轴的对称点的坐标为A 5（2m-a,b ），关于y=n 轴的对称点的坐标为A 6（a,2n-b ）。
（2）直线关于直线的对称直线
若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质： ※若a 、b 相交，则l 是a 、b 夹角的平分线；
※若点A 在直线a 上，那么点A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时，AB ⊥l 且AB 中点D 在l 上；
※a 以l 为轴旋转1800一定与b 重合。 7、两点间的距离公式 若点()
y x A 2
1, ， ()y x B
2
2
,
则 ()y y x x 1
2
1
2
,--=
即 终点坐标-始点坐标
若(
)y x
y x a 2
2
,+=?=
8.点到直线间的距离公式 点()y x p
,到 l : Ax+By+C=0的距离为
点到几种特殊直线的距离：
※点P （x 0，y 0）到x 轴的距离d=0y ， ※点P （x 0，y 0）到y 轴的距离d=0x ，
※点P （x 0，y 0）与x 轴平行的直线y=a 的距离d=a y -0， ※点P （x 0，y 0）与y 轴平行的直线x=b 的距离d=b x -0。 9.平行线间的距离公式
0:11=++C l By Ax 与 0:22=++C l By Ax ()c c 21≠ 的距离为B
A c c d 2
2
21
+-=
10．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线
0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为
00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 11、求最大值与最小值
在直线l 上求一点P 使PB PA +取得最小值时，“同侧对称异侧连”，即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。
在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值时，“异侧对称同侧连”。