福建省福州市八县一中(福清一中,长乐一中等)高三数学上学期期中联考试题理

2016---2017学年度第一学期八县（市）一中期中联考

高中 三 年 数学科（理）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。 1.设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =I ，则P Q =U （ ） A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

2.已知复数131i

z i

+=

-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的共轭复数为12i -- B.z 的虚部为2i

C.5z =

D.z 在复平面内对应的点在第三象限 3.函数12

()log cos ()2

2

f x x x π

π

=-

<<

的图象大致是( )

4.直线4y x =与曲线3

y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A.2 B.4 C.22 D.24 5.下列命题中正确的是（ ）

A.命题p ：“0x R ?∈，200210x x -+<”，则命题p ?：x R ?∈，2

210x x -+>

B ．“ln ln a b >”是“22a b

>”的充要条件 C.命题“若2

2x =，则2x =

2x =-的逆否命题是“若2x ≠2x ≠则22x ≠”

D.命题p ：0x R ?∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ?∈，总有20x

>；则p q ∧是真命题

6.如图，,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得

A 点的仰角分别为30?和45?，则A 点离地面的高A

B 等于( )

A.10m

B.53m

C.31)m

D.5(31)m 7.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ??=-，

2586b b b π++=，则46

37

cos

1b b a a +-?的值是（ ）

A.

12 B.32 C.1

2

- D.32-

8．ABC ?的外接圆的圆心为O ，半径为1，0OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r 且OA AB =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在CB

u u u r 方向上的投影为（ ）

A.

12 B.1

2

- C.32 D.32-

9.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有

()()4f x f x π-=-；③()f x 在3(,)82

ππ

上是减函数，则()f x 的解析式可能是

A.()cos()8

f x x π

=+

B.()sin 2cos 2f x x x =+

C.()sin cos f x x x =

D.()sin 2cos 2f x x x =-

10.已知数列{}n a ，{}n b ，满足11a =且1,n n a a +是函数2()2n

n f x x b x =-+的两个零点，则10

b 等于( )

A.64

B.48

C.32

D.24

11.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21x

f x =-，则方程6()lo

g (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）

A.6

B.5

C.4

D.3

12.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ?∈，有2

()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上

()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )

A.[2,2]-

B.[2,)+∞

C.[0,)+∞

D.(,2][2,)-∞-+∞U

二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。 13.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线30x y -=上，则

sin cos()sin()sin()

2

θπθπ

θπθ+---+=__________．

14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若201717

100201717

S S -=，则d 的值为_________．

15.在ABC ?中，4AB AC ?=u u u r u u u r ，sin cos sin B A C =，E 为线段AC 的中点，则EB EA ?u u u r u u u r

的值

为 ．

16.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数

()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”.现给出两个函数：

①2

()f x x =，()22g x x =-

；②()f x =

()2g x x =+；

③()x

f x e -=，1

()g x x

=-

；④()ln f x x =，()g x x =. 则在区间(0,)+∞上存在唯一“友好点”的是_ __. (填上所有正确的序号) 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。 17.（本小题满分10分）

设命题p ：函数2

()lg(2)f x mx x m =-+-的定义域为R ；

命题q ：函数2

1()4ln (1)2

g x x x m x =+--的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2， 若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.

18.（本小题满分12分）

已知函数()cos f x x x m ωω=-+（0ω>，x R ∈，m 是常数）的图象上的一个最高点

(,1)3π，且与点(,1)3π最近的一个最低点是(,3)6π

--. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；

（Ⅱ）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1

2

AB BC ac ?=-u u u r u u u r ，求函数()f A 的

值域．

19.(本小题满分12分） 已知函数2

()(23)x

f x x x e =-? （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若方程(23)x a

x e x

-?=有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．

20.（本小题满分12分）

如图，在ABC ?中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．

C

B A

（Ⅰ）若34

ADC π

∠=

，求AD 的长； （Ⅱ）若2BD DC =，ACD ?

sin sin BAD CAD

∠∠的值．

21.（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()n N *

∈，且满足222n n a S n +=+.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：2122311113

3(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)4

n n n a a a a a a +?+++<------.

22.（本小题满分12分）

已知函数1

()(2)ln 2f x a x ax x

=-+

+. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）当0a <时，讨论()f x 的单调性；

（Ⅲ）若对任意的(3,2)a ∈--，12,[1,3]x x ∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．

2016---2017学年度第一学期八县（市）一中期中联考

高中 三 年 数学 科（理）参考答案

一、选择题:（每题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

B

A

C

B

D

D

C

C

D

A

C

B

二、填空题:（每小题 4 分，共 20 分） 13.

12 14．1

10

15.1- 16．①④

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）

解：若p 为真命题，则2

20mx x m -+->恒成立，即2

20mx x m -+<恒成立．……1分 当0m =时，不等式为20x -<，解得0x >，显然不成立；

当0m ≠时，2

(2)40

m m m

若q 为真命题，则当1x >-时，4()12g x x m x '=+-+>，4

1m x x

<+-，

∵

4

113x x

+-≥=，当且仅当1x =时取等号，∴3m <.…………6分 ∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真. ………8分

若p 真q 假，则13m m <-??

≥?，∴m ∈?；若p 假q 真，则1

3

m m ≥-??

综上所述，实数m 得取值范围为[1,3)m ∈-.………10分 18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵()cos f x x x m ωω=-+，∴()2sin()6

f x x m π

ω=-+，

∵点(,1)3

π

，点(,3)6

π

-

-分别是函数()f x 图象上相邻的最高点和最低点，

∴

2()22362T ππππω==--=，且1(3)

2

m +-=

，∴2ω=，1m =-. ∴()2sin(2)16

f x x π

=--.

∴令222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

≤-

≤+

∈，解得,6

3

k x k k Z π

π

ππ-+≤≤+

∈，

∴函数()f x 的单调递增区间为[,

],63

k k k Z ππ

ππ-++∈.

（Ⅱ）∵在ABC ?中，12AB BC ac ?=u u u r u u u r ，∴1cos()2ac B ac π-=-，∴1

cos 2

B =，

∵0B π<<，∴3B π=，∴23A C π+=.∵203A π<<，∴4023

A π

<<，

72666A πππ-<-<

，∴1sin(2)126A π-<-≤，∵()2sin(2)16f A A π

=--， ∴2()1f A -<≤，∴()f A 的值域为(2,1]-.

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题可得：'2()(23)x

f x x x e =+-? …………………………………1分

令'

()0f x <，得 2

230x x +-<，解得：3

12

x -

<< …………………3分 ∴函数()f x 的单调递减区间是3

(,1)2

-．…………………………………4分 （Ⅱ）∵方程(23)x

a

x e x

-?=

有且仅有一个实根 ∴方程2

(23)x

x x e a -?=有且仅有一个非零实根，即方程(),(0)f x a x =≠有且仅有一个实根． 因此，函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．……………………6分 结合（Ⅰ）可知，函数()f x 的单调递减区间是3(,1)2-

，单调递增区间是3

(,),(1,)2

-∞-+∞ ∴函数()f x 的极大值是3

23

()92

f e --=，极小值是(1)f e =-．……………………9分

又Q 3

(0)()02

f f ==且0x <时，()0f x >．∴当329a e ->或0a =或a e =-时，

函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．……………………11分

∴若方程(23)x

a

x e x

-?=

有且仅有一个实根， 实数a 的取值范围是32

{,0}(9,)e e --+∞U .…12分 20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵3cos cos cos a B b C c B -=，∴3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+，

3sin cos sin()A B B C =+，∵B C A π+=-，∴3sin cos sin A B A =，

∵(0,)A π∈，∴sin 0A >，1

cos 3

B =.…………2分 ∵(0,)B π∈

，∴sin 3

B =.…………3分 ∵34AD

C π∠=

，∴4

ADB π∠=， 在ABD ?中，由正弦定理得，sin sin AD AB B ADB =∠

32

=，8

3

AD =.…………6分 （Ⅱ）设DC a =，则2BD a =，∵2BD DC =，ACD ?

∴3ABC ACD S S ??==

12323

a =

???

，∴2a =.…………8分

∴AC ==42sin sin BAD ADB =∠∠， ∴1sin sin 2BAD ADB ∠=

∠

．2sin CAD =∠

，∴sin CAD ADC ∠=∠， ∵sin sin ADB ADC ∠=∠

，∴

sin sin BAD

CAD

∠=∠12分 21. （本小题满分12分）

（Ⅰ）解：∵222n n a S n +=+，令1n =，得114

34,3

a a ==.…………2分 由222n n a S n +=+得 2n ≥时，1122(1)2n n a S n --+=-+

两式相减得；132n n a a -=+…………3分

∴11

1(1)(2)3

n n a a n --=-≥ ………4分 ∴数列{}1n a -是以首项为113n a -=，公比为1

3

的等比数列，

∴11111()()333n n n a --=?=，∴1()13

n

n a =+.…………6分

（Ⅱ）证明：

∵111

1

1

31313(2)(2)

333

n n n

n n n n n a a +++=----??111

3311()(31)(31)23131n n n n n +++==--?--- …8分 ∴212231111

3(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)

n n n a a a a a a +?+++------

13111111()2288263131

n n +?=-+-++--- 1311

()2231

n +=--131342(31)4n +=-

<-…………12分 22. （本小题满分12分）

（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．当2a =时,21() 4 f x x '=-+，令2

1

() 4 =0f x x '=-+，

得112x =

；21

2

x =-（舍去）．……2分 当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：

4分

（Ⅱ）2221(21)(1)()2 a x ax f x a x x x --+'=

-+=，令()0f x '=，得112x =，2

1

x a

=-， 当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增；…… 5分

当20a -<<时，在区间1(0,)2，1

(,)a

-

+∞上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a

-，上()0f x '>，)(x f 单调递增；……7分

当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2

+∞上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11

(,)2

a -

上()0f x '>，)(x f 单调递增．……8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减；

∴当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1

()(3)(2)ln 363

f x f a a ==-++.……10分 问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1

(ln 3)2ln 312(2)ln 363

m a a a a +->+----成

立，即a am 432->，∵0a <，∴243m a <-，∴min 2

(4)3m a

<-.

∴实数m 的取值范围是13

(,]3

-∞-.……12分