(完整word版)反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型
一、知识点回顾
1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k
x
k≠0）．其解析式有三种表示方法：
①x
k y =
（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k
x
（k≠0）的性质
（1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而减小．
（2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
（3）在反比例函数y=k
x
中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).
（4）若双曲线y=
k
x
图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2
x
-．
（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．
二、新知讲解与例题训练 模型一：
如图，点A 为反比例函数x
k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =
?
例1：如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=
x
m
在第一象限的交点，且3=?AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ?的面积
变式题
1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=
x
8
(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________
2、 如图，点A 在双曲线1y x =
上，点B 在双曲线3
y x
=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .
模型二：
如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x
k y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M
点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN
D
F
A
B
D
F M
N
x
y O
例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数k
y x
=
的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ??=；②AOB ?相似于FOE ?；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数
k
y x
=
的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．
（1）若点A B ，在反比例函数k
y x
=
的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数k
y x
=
的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．
y x D
C A B O F E
图1
图2
模型三：
如图，已知反比例函数k
y x
=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，
交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ?=梯形.
例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2
k y x
=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.
例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比
例函数2
k y x
=
的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.
例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k
y k x
=>交于A 、B 两
点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；
（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于C 、D 两点（点
C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACB
D 的面积为24时，求点C 的坐标．
模型四：
在矩形
AOBC中，
OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建
立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F
点的反比例函数(0)
k
y x
x
=>的图象与AC边交于点E，则
CE a
CF b
=.
例7：两个反比例函数k
y
x
=和
1
y
x
=在第一象限内的图象如图所示，点P在
k
y
x
=的图象上，PC⊥x轴于点C，交1
y
x
=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交
1
y
x
=的图象于点B，当点P在k
y
x
=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形P AOB的面积不会发生变化；③P A与
PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正
确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
课堂练习：
一、选择题
1、已知m<0，则函数mx
y=
1
与
x
m
y-
=
2
的图像如图，大致是（）
x
B
F
C
E
A
O
y
A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线x
y 6
=
上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ?的周长为（ ）
A.72
B.5
C.74
D.22 3、如图，双曲线x
k
y =
（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=
B. x y 2=
C. x y 3=
D. x
y 6=
题 3 题 4 题5
4、如图，A,B 是函数x
y 2
=
的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ?的面积记为S ，则
S （ ）
A.S=2
B.S=4
C.2 D.S>4 5、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x （k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1 B ．1≤k≤3 C ．1≤k≤4 D ．1≤k<4 二、填空题 D B A y x O C 1、如图，点A 在双曲线1y x = 上，点B 在双曲线3 y x =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 2、如图，双曲线)0(2 φx x y = 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四 边形OABC 的面积是 . 3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 . （2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 . 4、如图，已知双曲线(0)k y k x = <经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 . 5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x = ， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y轴于C，若1 AOB S ? =，则 2 y的解析式是． 课后习练 一、填空题 1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 4 x 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______． 2、反比例函数y= k x 的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______． 3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______． 4、反比例函数y= k x 的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0 k( x k y＞ =经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝___． 第5题图第6题图 像与反比例函数y= 2 x 的图6、如图，已知点A是一次函数y=x的图 像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（） A．2 B． 2 2 C．2D．22 7、已知P为函数y= 2 x 的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为（） A B C D E y x O A．0个B．2个C．4个D．无数个 1 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① OCD ABCD △梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 2 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线y x = （x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________． 2. 如图，A ，B 是双曲线y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线3y x = 与双曲线y x =（x >0）交于点A ．将直线3y x =向右平移2个单位后，与双曲线y x = （x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若 2=BC ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________． 3 6. 已知：如图，直线64y x =+与双曲线y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. y 轴交于点A ，与双曲线x y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 则k =_______ 8. 双曲线1y x =，2 y x =A 作x 轴的平行线，交 B ，交y 轴于点 C ，过点A 作x D ，交x 轴于点 E ，连接BD ，CE ， 则 CE =________． 第9题图 第10题图 3．（2012?岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2= 2 x 的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（） A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2 C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大 ．（2011?湖州）如图，已知A、B是反比例函数y= k x （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（） A．B．C．D． ．（2011?河北）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论： ①x＜0时，y= 2 x ②△OPQ的面积为定值． ③x＞0时，y随x的增大而增大． ④MQ=2PM． ⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（） A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤ （2011?南京）【问题情境】 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+ a x ）（x＞0）． 【探索研究】 （1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+ 1 x （x＞0）的图象和性质． ①填写下表，画出函数的图象； 小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 中小学教师信息技术考试理论试题 一选择题（40分，每一题1分） 1.下面选项是对信息的实质的理解和说明,其中错误的选项是________. A. 信息就是计算机的处理对象 B. 信息就是关于事物运动的状态和规律的知识 C. 信息就是信息,既不是物质,也不是能量 D. 信息就是人类同外部世界进行交换的内容的名称 2. 信息技术在教学中常用作获取学习资源的工具,人们常说,"因特网是知识的海洋". 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线k y x =（x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与 BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________ ． 2. 如图，A ，B 是双曲线k y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线43y x = 与双曲线k y x =（x >0）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线k y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________． 6. 已知：如图，直线364y x =+与双曲线k y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. 如图，直线b x y +- =33与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 反比例函数与几何综合（讲义） 一、知识点睛 反比例函数与几何综合的处理思路 1. 从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化，可将函数特 征与几何特征综合在一起进行研究． 2. 对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模 型，能快速将函数特征转化为几何特征． 与反比例函数相关的几个模型，在解题时可以考虑调用． ① 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD∥CE 二、精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴 上， 1 4 OA OB =，函数 9 y x =-的图象与线段AB交于点M．若AM=BM，则直线 AB的解析式为_________． 2. 的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0，-2)，则点F的坐标是_________． 3. 正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1，P 2在反比例函数x y 2 = （0x >）的图象上，顶点A 1，B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数x y 2 = （0x >）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为_________． 4.如图，已知动点A在函数 4 y x =（0 x>）的图象上，AB x ⊥轴于点B， AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴、y轴于点P，Q．当QE:DP=4:9时，图中阴影部分的面积为_________． 常用几何公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 反比例函数与几何综合（讲义） ?课前预习 前期学习一次函数与几何综合问题时，解决思路是将坐标、几何图形和一次函数综合起来分析、转化．如：坐标与线段长互转，由坐标求解表达式，根据函数表达式计算坐标等，请尝试解决下列问题，并体会整个解决问题的过程： 如图，已知直线l1：y =2 x + 8 与直线l2：y=-2x+16 相交于点 3 3 C，直线l1，l2 分别交x 轴于A，B 两点，矩形DEFG 的顶点D，E 分别在l1，l2 上，顶点F，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG:S△ABC = ． 解决一次函数与几何综合问题的核心在于：找坐标，转线段长，借助几何或函数特征建等式求解． 1 ?知识点睛 反比例函数与几何综合的处理思路： 1 .从关键点入手．“关键点”是信息汇聚点，通常是和的．通过和 的互相转化可将与综合在一起进行研究． 2.梳理题干中的函数和几何信息，依次转化． 3.借助或列方程求解． 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． 结论：S 矩形ABCO = 2S △ABO =| k | 结论：S △OCD =S 梯形ABCD 结论：AB=CD 结论：BD∥CE 函数几何特征常见转化作法： 1.函数→坐标→几何 ①借助表达式设出点坐标； ②将点坐标转化为横平竖直线段长； ③结合几何特征利用线段长列方程． 2.几何→坐标→函数 ①研究几何特征，考虑线段间关系； ②通过设线段长进而表达点坐标； ③将点坐标代入函数表达式列方程．若(x1，y1)，(x2，y2)是同一反比例函 数上的点，则： ①当x1，y1，x2，y2 都用同一字母表达出来时，往往利用x1y1=x2y2=k 列方程求解． ②当两点的横坐标有比例关系时，对应的纵坐标也有比例关系．这样的比例关系常通过横平竖直的线段放在相似三角形中使用． 如： x 1 = y 2 x 2 y 1 解析几何中的基本公 式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= οο 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：???=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π ，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、直线的倾斜角α与斜率k 的关系 专题 反比例函数与几何图形综合题 反比例函数与三角形 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标 是(m ，－4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3 5. (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积． 分析：(1)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 解：(1)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k x .∵AE ⊥x 轴，∴∠AEO ＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3 5，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2＝4，∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式 为y ＝－12 x (2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x －1中y ＝0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝1 2OC·(y A －y B )＝12×1×[3－(－4)]＝72 反比例函数与四边形 2. (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43 x 的图象上，分别作PF ⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点． (1)求点B 的坐标； (2)求四边形AOPE 的面积． 分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43 a ，联立可求点A 的坐标，从而得出点C ，B 的坐标； (2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可． 解：(1)∵∠ACB ＝60°，∴∠AOQ ＝60°，∴tan 60°＝AQ OQ ＝3，设点A(a ， b)，则? ??b a ＝3， b ＝43a ， 解得?????a ＝2，b ＝23或?????a ＝－2， b ＝－23(不合题意，舍去)，∴点A 的坐标是 (2，23)，∴点C 的坐标是(－2，－23)，∴点B 的坐标是(2，－23) (2)∵点A 的坐标是(2，23)，∴AQ ＝23，∴EF ＝AQ ＝23，∵点P 为EF 的中点，∴PF ＝3，设点P 的坐标是(m ，n)，则n ＝3，∵点P 在反比例函数y ＝43x 的图象上，∴3＝43m ，S △OPF ＝1 2|43|＝23，∴m ＝4，∴OF ＝4，∴S 矩形 DEFO ＝OF·OD ＝4×23＝83，∵点A 在反比例函数y ＝ 43 x 的图象上，∴S △AOD ＝1 2|43|＝23，∴S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ＝83－23－23＝4 3 支付宝首页搜索“933314”领红包，每天都能领。付款前记得用红包反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的 应用 原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。 三条结论分别是： 结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。如图，即AB∥CD。 证明：根据平行线带来的等面积转换，S△ACD=S△ACO=∣k∣/2=S△BDO=S△BDC，即 A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故AB∥CD。 结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。 如图，即EA：AC=EB：BD 证明：连AB，CD，由结论一有AB∥CD，根据相似知识显然结论二成立。 结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。如图，即AE=BF 证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。连接CD，由结论一有AB∥CD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到△ACE≌△FDB，AE=BF。 至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。 这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。 今天要讲的内容：后来才发现，反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。有如下结论（个人称为等角模型）： 结论四：双曲线一支上任取两点A，B，在围着双曲线该支所在象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。则有：∠DCO=∠BCx，∠CDO=∠ADy 代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做) ——代几结合，掌握中考风向标 ◆类型一 与三角形的综合 1．(2016·云南中考)位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝k x 的图象上，点F 在x 轴的 正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 2．(2016·菏泽中考)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6 x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为( ) A ．36 B ．12 C ．6 D ．3 3．如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8 x 上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的 面积等于________． 第3题图 第4题图 4．(2016·包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点A ，若S △AOB ＝3，则k 的值为________． 5．(2016·宁波中考)如图，点A 为函数y ＝9 x (x >0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1 x (x >0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________． 第5题图 第6题图 6．★如图，若双曲线y ＝k x (k ＞0)与边长为3的等边△AOB (O 为坐标原点)的边OA 、 AB 分别交于C 、D 两点，且OC ＝2BD ，则k 的值为________． 7．(2016·宁夏中考)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k x (x >0)的图象经过OA 的中点C ，交 AB 于点D . (1)求反比例函数的关系式； (2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积． 8．(2016·大庆中考)如图，P 1、P 2是反比例函数y ＝k x (k >0)在第一象限图象上的两点，点A 1的坐标为(4，0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形，其中点P 1、P 2为直角顶点． (1)求反比例函数的解析式； (2)①求P 2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时，经过点P 1、 P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝k x 的函数值． 一、知识点回顾 k 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= k（k≠0）．其解析式有三种表示方法： x k ①y= （k0）；②y=kx-1（k0）；③xy=k x k 2 ．反比例函数y= k（k≠0）的性质 x （1）当k>0 时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0 时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y 随x 的增大而增大． k （3）在反比例函数y=k中，其解析式变形为xy=k，故要求k 的值（也就是求其图像 x 上一点横坐标与纵坐标之积）. k （4）若双曲线y= k图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求x 双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是-2 y= ． x （5）由于反比例函数中自变量x和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： 如图，点 A 为反比例函数y = k图象上的任意一点，且AB垂直 S OAB |k| 2 于x轴，x 则有 m 例1：如图Rt ABC的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m在第一象限的交点，且S AOB =3,（1）求m的值（2）求ABC的面积 变式题 1、如图所示，点A1, A2, A3在x 轴上，且O A1= A1A2 = A2A3,分别过A1, A2, A3作y 轴平 8 行线，与反比例函数y= 8（x>0）的图像交于点B1,B2,B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平 x 13 2、如图，点A在双曲线y = 1上，点B在双曲线y = 3上，且AB∥x轴，C、D在x轴 上，xx 若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 行线，分别与y 轴交于点C1,C2, 专题九 反比例函数与几何图形综合题 反比例函数与三角形 【例1】 (2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是(m ， －4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3 5 . (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积． 分析：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 解：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k x .∵AE⊥x 轴，∴∠AEO ＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝35 ，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2 ＝4， ∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y ＝－12 x (2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x －1中y ＝ 0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝12OC·(y A －y B )＝1 2 ×1×[3－(－4)] ＝72 反比例函数与四边形 【例2】 (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂 直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43 x 的图象上， 分别作PF⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点． (1)求点B 的坐标； (2)求四边形AOPE 的面积． 分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43 a ，联立可求点A 的坐标，从而 得出点C ，B 的坐标； (2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可． 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 反比例函数的模型 1、一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4平方单位的矩形，那么这个圆柱的母线长ι和底面半径r 之间的函数关系是（ ） A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、二次函数 2、向高层建筑屋顶的水箱注水，水对水箱底部的压强P 与水深h 的函数关系的图象是下图中的（水箱能容水的最大深度为H ）（ ） 3、如果矩形的面积为6cm 2 ，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致（ ） 4、受力面积S （米2）（S 为常数，0S ≠）的物体，所受的压强P （帕）与压力F （牛）的函数关系为F P S =，则这个函数的图象是（ ） 5、某变阻器两端的电压为220伏，则通过变阻器的电流()I A 与它的电阻()R Ω之间的函数关系的图象大致为（ ） x 7、已知圆柱的侧面积是100πcm 2，若圆柱底面半径为r （cm 2），高线长为h （cm ），则h 关于r 的函数的图象大致是（ ） 8、当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 二次函数 P （帕） F （牛） Ｏ P （帕） F （牛） Ｏ P （帕） F （牛） Ｏ P （帕） F （牛） Ｏ Ａ Ｂ C D Ｏ y Ｏ x y Ｏ x y Ｏ x y Ａ Ｂ Ｃ Ｄ o y x y x o y x o y x o 9、某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力p(千 帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单 位) （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体 积应不小于多少立方米？ 10、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。 （1）求I与R之间的函数关系式 （2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值； 反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x k y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). （4）若双曲线y=k x 图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= 2 x -． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： 如图，点A 为反比例函数x k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2| |k S OAB = ? 例1：如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y= x m 在第一象限的交点，且3=?AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ?的面积 变式题 1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x 8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________ 2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3 y x = 上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 模型二： 如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x k y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交 y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN 例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两 F 初中数学几何公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 错角相等，两直线平行 11 同旁角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，错角相等 14 两直线平行，同旁角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 反比例函数常见几何模 型94169 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x k y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). （4）若双曲线y=k x 图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= 2x -． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： 如图，点A 为反比例函数x k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有 2||k S OAB = ? 例1：如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y= x m 在第一象限的交点，且3=?AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ?的面积 变式题 1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过 1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y= x 8 (x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为 __________ 反比例函数中的模型（讲义）一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ①y y= C B k x y y= D k x C O A x A x O B 结论：S矩形2S | k | 结论：S OCD S ABCD △梯形 ABCO ABO △ y y ② A A B k O y= C x D D x B C x O 结论：AB=CD ③y y= k x y B A C D A P D B O x E x O C 结论：B D∥CE 二、精讲精练 1. 如图，已知点A，B在双曲线y k x （x>0）的图象上，AC⊥x 轴于点C，BD⊥y 轴于点D，AC 与 BD相交于点P，且P是AC的中点．若△ABP的面积为3，则k=________． 2. 如图，A，B是双曲线y k x （k>0）上的点，且A，B两点的横坐标分别为a，2a，线段AB的延 长线交x 轴于点C．若S△AOC=6，则k=________． y y A A B B O C x O C x 第 2 题图 第 3 题图 3. 如图，直线 4 y x 与双曲线 3 y k x （x>0）交于点 A ．将直线 4 y x 向右平移 3 9 2 个单位后，与双曲 线 y k x AO （x> 0）交于点 B ，与 x 轴交于点 C ，若 2 BC ，则 k=________． 4. 如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E ，双曲线 形 AOBC 的面积为 18， y k x （k>0）经过 A ，E 两点．若平行四边 则k=________． y y y A E C A O B C D x B C A D O x x O B 第 4 题图 第 5 题图 5. 如图，已知函数 y x 1的图象与 x 轴、y 轴分别交于 C ，B 两点，与双曲线 点．若 AB+CD=B ，C 则 k 的值为________． y k x 交于 A ，D 两 6. 已知：如图，直线 3 y x 6与双曲线 4 y k x （x<0）相交于 A ，B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于 D ， C 两点，若 AB=5，则 k=_________． 3 7. 如图，直线 y x b 3 AB AC 4， 与 y 轴交于点 A ，与双曲线 k y 在第一象限交于 B ，C 两点，且 x 则k=_______反比例函数中的模型
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