高考数学套用18个规范答题模板-2020版

模板一求函数值

例1【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则

A. B. 0 C. 2 D. 50

【答案】C

【解析】

▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:

【变式训练】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，

则的值为________．

模板二函数的图象

例2【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为

A. A

B. B

C. C

D. D

【答案】B

【解析】

为奇函数，舍去A,舍去D;

，所以舍去C；因此选B.

▲模板构建有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．结合导数解答此类问题的基本要点如下:

【变式训练】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为

模板三 函数的零点问题

例3 【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数()1

31,2x

f x x ??

=- ???

那么在下列区间中含有函数()

f x 零点的是（ ） A. 10,3?? ??? B. 11,32?? ??? C. 12,23?? ??? D. 2,13??

???

【答案】B

▲模板构建 利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:

【变式训练】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

模板四三角函数的性质

例4【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足

，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（）A. ，Z B. ，Z

C. ，Z

D. ，Z

【答案】A

【解析】

那么，函数，

当时，取得最小值，

，，

即函数，

令，

得，

所以，函数的单调递减区间为：

，,故选A.

▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:

【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数()2cos 3sin sin 2f x x x x π?

?

=-++ ??

?

，当0,

2x π??

∈????

时，函数()f x 的最小值与最大值之和为__________． 模板五 三角函数的图象变换 例5.将函数()2sin 4f x x π?

?

=+ ??

?

的图象上各点的横坐标缩小为原来的

1

2

，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线2

x π

=

对称，则φ的最小值是( )

A. 4π

B. 3π

C. 34π

D. 38

π

【答案】D

▲模板构建 三角函数图象变换的主要类型:在x 轴方向上的左、右平移变换,在y 轴方向上的上、下平移变换,在x 轴或y 轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:

【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数2sin 23y x π?

?

=+

??

?

的图象，只需把函数cos 23y x π?

?=- ??

?的图象（ ）

A. 向左平移2π

个单位长度 B. 向右平移2π

个单位长度

C. 向左平移4π

个单位长度

D. 向右平移4

π

个单位长度

模板六 解三角形

例6【2018年理数全国卷II 】在中，

，

，

，则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

▲模板构建 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:

【变式训练】

【2018河南省南阳市第一中学模拟】在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为

(),,,sin cos cos 3cos a b c B a B b A c B +=.

（1）求B ；

（2）若23,b ABC =?的面积为23，求ABC ?的周长. 模板七 利用函数性质解不等式

例7已知定义在R 上的偶函数()f x 在[

)0,+∞上递减且()10f =，则不等式()414

log log 0f x f x ??+≥ ??

?

的

解集为__________． 【答案】1,44

??????

▲模板构建 函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:

【变式训练】【2018届广东省模拟（二）】已知函数

，当

时，关于的不等式

的解集为__________．

模板八 利用基本不等式求最值 例8．【2018广西钦州质量检测】已知（，为正实数），则

的最小值为__________． 【答案】

【解析】∵a ，b ∈R+，a+4b=1 ∴

=

≥

，

当且仅当，即a=2b 时上述等号成立，

故答案为：9

▲模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:

【变式训练】已知,x y +

∈R ,且满足22x y xy +=,那么34x y +的最小值为____. 模板九 不等式恒成立问题

例9【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤

恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】［，2］ 【解析】

▲模板构建 分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:

【变式训练】【2018河南省中原名校联考】已知函数()()1ln ,0m

f x x m x m x

=-+-

>，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）

A.

1

0,

2

??

?

??

B. ()

1,+∞ C. ()

0,1 D.

1

,

2

??

+∞

?

??

模板十简单的线性规划问题

例10【2018年理北京卷】若x,y满足，则2y?x的最小值是_________.

【答案】3

【解析】

不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图

令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.

▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:

【变式训练】【河南省2018年高考一模】设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：

不经过区域D上的点，则r的取值范围为

A． B．

C． D．

模板十一数列的通项与求和

例11【2018年专家猜题卷】数列的前项和为，已知，

.

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）证明：∵，

∴，

∴，

又，

∴，

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知，，

∴，

∴，①

. ②①-②得

，

∴.

▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:

【变式训练】【2018年理数天津卷】设是等比数列，公

比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知

，，，.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列的前n项和为，

（i）求；

（ii）证明.

模板十二空间中的平行与垂直

例12【2018年江苏卷】在平行六面体中，．

求证：（1）；

（2）．

【答案】见解析

【解析】

证明：（1）在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．

▲模板构建 证明空间中的平行与垂直的步骤如下:

【变式训练】【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中， CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.

（1）求证： BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证： 11AB A C ⊥.

模板十三 求空间角

例13【2018吉林省实验中学模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点E ， F 在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =， 1EF =． （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；

（Ⅱ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60?．

（Ⅱ）

设EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为

()1,0,t ，则()1,0,C t -，又

()()131,0,0,1,0,0,,,022A B F ??

- ? ?

??

，∴，

因此，当AD 的长为6

4

时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°.

▲模板构建 空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:

【变式训练】

在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==， 1160A AB A AD ∠=∠=?．

（1）求证： 1BD CC ⊥；

（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为714

． 模板十四 直线与圆的位置关系

例14【2018四川省绵阳市南山中学模拟】若圆22

44100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A. 23,23??-+?? B. 23,32??---??

C. 23,23??--+??

D. 23,23??---??

【答案】B

【解析】圆2

2

44100x y x y ++--=可化为()()22

2218x y ++-= 则

圆心为（-2，2），半径为3

2

，

1+2

40b b a a ????-?≤ ? ?????

由直线l 的斜率k=-a b 则上式可化为k 2

+4k+1≤0

解得2323k --≤≤-+ 故选B

▲模板构建 几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下: