《2011年高考北京卷理科数学试题及答案解析》
20XX 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数2
12i i
-=+
A ．i
B ．-i
C ．4355i -
- D ．4355
i -+ 3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A ．(1,
)2
π
B ．(1,)2
π
-
C ． (1,0)
D ．(1，π)
4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-
12
C ．13
D ．2
5．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ， 延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③
6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ???
?
??
?≥<=A
x A
c A x x c x f ,,
,)(（A ，C 为
常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别
A ．75，25
B ．75，16
C ．60，25
D ．60，16
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A ．8
B ．62
C ．10
D ．828．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的
整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12
C ．{}9,11,12
D ．{}10,11,12
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．在ABC ?中。若b=5，4
B π
∠=
，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。
10．已知向量a =31），b =（0，-1），c =（k 3）。若a -2b 与c 共线，则k=___________________。 11．在等比数列{a n }中，a 1=
1
2
，a 4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。 12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。（用数字作答）
13．已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ?≥?=??-
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是
_______
14．曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数)1(2
>a a 的点的轨迹.
给出下列三个结论：
① 曲线C 过坐标原点；
② 曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于
2
1a 2
。 其中，所有正确结论的序号是 。
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+-。
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ??
-
????
上的最大值和最小值。
16．（本小题共14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=. (Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
17．本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和
数学期望。 （注：方差()()
()
222
2
121n s x x x x x x n ?
?=
-+-++-?
???
，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）
18．（本小题共13分） 已知函数2
()()x k
f x x k e =-。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤
1
e
，求k 的取值范围。
19．（本小题共14分） 已知椭圆2
2:14
x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.
20．（本小题共13分）
若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记
()n S A =12...n a a a +++．
（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；
（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写
出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）
1025
52 （10）1 （11）—2 2
1
21-
-n （12）14 （13）（0，1） （14）②③
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为1)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f
1)cos 2
1
sin 23(
cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)6
2sin(2π
+
=x
所以)(x f 的最小正周期为π
（Ⅱ）因为.3
26
26
,4
6
π
π
π
π
π
≤
+
≤-
≤
≤-
x x 所以
于是，当6
,2
6
2π
π
π
=
=
+x x 即时，)(x f 取得最大值2；
当)(,6
,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1. （16）（共14分）
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，
所以AC ⊥BD.
又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD.
所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°，PA=PB=2,
所以BO=1，AO=CO=3.
如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则
P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设PB 与AC 所成角为θ，则
4
6
3
2226|
|||cos =
?=
??AC PB AC PB θ
. （Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－3，t ）（t>0）， 则),3,1(t BP --=
设平面PBC 的法向量),,(z y x m =,
则0,0=?=?m BP m BC ，所以?????-+--=+-0
3,03tz y x y x
令,3=y 则.6
,3t z x ==
所以)6
,3,3(t
m =
同理，平面PDC 的法向量)6
,3,3(t
n -=
因为平面PCB ⊥平面PDC ，所以n m ?=0，即03662=+
-t
解得6=t ，所以PA=6
解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为;4
35
410988=+++=
方差为.16
11])43510()4359()4358()4358[(4122222
=-+-+-+-=s
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵
数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.8
1162= 同理可得;41)18(=
=Y P ;41)19(==Y P .8
1)21(;41)20(====Y P Y P
EY=17×P （Y=17）+18×P （Y=18）+19×P （Y=19）+20×P （Y=20）+21×P （Y=21）=17×81
+18×41+19×41+20×41+21×8
1 =19 （18）（共13分）
解：（Ⅰ）.)(1)(12
2x
e k x k
x f -='
令()00='f ，得k x ±=.
当k>0时，)()(x f x f '与的情况如下
所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -当k<0时，
)()(x f x f '与的情况如下
所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -
（Ⅱ）当k>0时，因为e e k f k
1)1(11>
=++，所以不会有.1)(),,0(e
x f x ≤+∞∈? 当k<0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是.4)(2
e k k
f =- 所以e
x f x 1
)(),,0(≤+∞∈?等价于.14)(2e e k k f ≤=-- 解得02
1
<≤-
k . 故当.1)(),,0(e x f x ≤+∞∈?时，k 的取值范围是).0,2
1[- （19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=
b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-
离心率为.2
3==
a c e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .
当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),2
3
,1(),23,1(- 此时3||=
AB
当m =－1时，同理可得3||=
AB
当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=
由0448)41(.1),
(222222
2
=-+-+??
??=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则
2
22212221414
4,418k
m k x x k m
k x x +-=+=+ 又由l 与圆.1,11
||,122222
2
+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以212212)()(||y y x x AB -+-=
]41)44(4)41(64)[1(2222242
k
m k k m k k +--++=2.3||342+=m m
由于当3±=m 时，,3||=AB
所以),1[]1,(,3
|
|34||2
+∞--∞∈+=
m m m AB . 因为,2|
|3
||343
|
|34||2
≤+
=+=
m m m m AB
且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，
所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k . 所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a 2000—a 1000≤1，
a 2000—a 1000≤1 …… a 2—a 1≤1
所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999. 又因为a 1=12，a 2000=2011, 所以a 2000=a 1+1999.
故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列. 综上，结论得证。
（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则
因为c c a a c a a ++=++=
……
,1211+++++=n n c c c a a
所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S
)].1()2)(1()1)(1[(2
)
1(121--++--+----=
n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以
所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数, 所以要使2
)
1(,0)(-=n n A S n 必须使
为偶数, 即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即.
当,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a
),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a
;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时
当n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a
当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n ， 使得.0)(,01==n A S a