八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

第二章：实数

【无理数】

1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个

条件。

2. 常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π,

（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：

9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3

2

-

、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：

1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，

记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个

例：（1）下列说法正确的是 （ ）

A ．1的立方根是1±；

B ．24±=；（

C ）、81的平方根是3±； （

D ）、0没

有平方根；

（2）下列各式正确的是（ ）

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值.

平方根：

1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x

2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根

例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。

（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 3. 的性质与22)0()(a a a ≥

（1）77)0()2

2=≥=）如：（a a a （2）||2a a =中，a 可以取任意实数。如5|5|52==

3|3-|3-2==）（

例：1.求下列各式的值

（1）27 （2）2

7-）（ （3）

2

49-）（ 2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。3.已知2＜x ＜3,化简

=-+|3|)-22x x （

。

【立方根】

1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根（也

2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.

例：（1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233

==ab a ，则b 等

于

（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832

±=±。

其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小：

方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0.

方法三：乘方法.如比较3362与的大小。 例：比较下列两数的大小

（1）

2

1

23-10与 （2）5325与 【实数】

定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1

（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=???<-≥)0()0(a a a a ，

它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大

于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算

顺序与有理数的一

实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 （2）数轴上的每个点都表示已个实数。

例：（1）下列说法正确的是（ ）；

A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；

B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；

C 、1和2之间的无理数只有2 ；

D 、不带根号的数都是有理数。 （2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A 、b a -

B 、ab

C 、b a +

D 、a b - （3）比较大小(填“>”或“<”).

-， 76______67， 2

1

5- 21，

（4）数 2,3-- 的大小关系是 ( )

A. 32<-<-

B. 32-<-

C. 23-<<-

D. 32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；

______________________________________。

（6）若2,3==b a ，且0

定义：形如）（0≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数 注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“

”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不

是二次根式。

（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。 例：下列根式是否为二次根式

（1）3- （2）｜｜3- （3）a - （4）3

2-- 二次根式的性质：

性质1：)0,0(.≥≥=b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个

性质也可以对二次根式进行化简。

性质2：

)0,0.( b a b

a

b a ≥= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做

最简二次根式。

例：1.化简：

（1）1512? （2）)0(2724≥b b a （3）x

94 2.计算：

32278115.041--+ 32

3811613125.0??? ??-+-

3.已知：()()06

4.01,12173

2

-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。

6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ①2111111112111122=+-+=++ ②61

11212113

12112

2=+-+=++ ③121

11313114

13112

2=+-+=++

，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想2

25

1

411++

的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

课后练习

一、重点考查题型：

1.－1的相反数的倒数是

2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的相反数

3.数－3．14与－Л的大小关系是

4.和数轴上的点成一一对应关系的是

5.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是

6.在实数中Л,－2

5 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有 个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） （A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数 8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜= 。

9．下列说法正确是（）

（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数

（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a

（2） bc和ad

二、考点训练：

*1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）

（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）

（3）两个无理数之和一定是无理数；（）

（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）

（5）任何有理数都有倒数；（）

（6）最小的负数是－1；（）

（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）

（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）

2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－22

7

,0，－9 ,－

3－1

8

, －

Л

2

,8 , ( 2 － 3 )0，3－2，

ctg45°,1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝

*3．已知1

4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

－3, 2 －1， 3，－ 0．3， 3－1， 1 + 2 ， 31 3

互为相反数：互为倒数：互为负倒数：

*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－ 2 ）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值

6.ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，

求

|a+b|

2m 2+1

+4m-3cd= 。 *7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜

a+2 ＝0，求ａ＋ｂ= 。

三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）

A 、无尽小数都是无理数

B 、无理数都是无尽小数

C 、带拫号的数都是无理数

D 、不带拫号的数一定不是无理数。 2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）

A 、整数

B 、有理数

C 、无理数

D 、实数 2．零是（ ）

A 、最小的有理数

B 、绝对值最小的实数

C 、最小的自然数

D 、最小的整数 4.如果a 是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

（3）ａ的倒数是1a ，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个

*5．比较下列各组数的大小： (1) 3

2

3

时, 1a 1

b

6．若a,b 满足|4-a 2|+a+b a+2 =0,则2a+3b

a 的值是

*7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中

O 是原点，且|a|=|c|

（1） 判定a+b,a+c,c-b 的符号 （2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为 9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a 是负数 ；（2）a 、b 两数异号 ；（3）a 、b 互为相反数 ； （4）a 、b 互为倒数 ；(5)x 与y 的平方和是非负数 ； （6）c 、d 两数中至少有一个为零 ；（7）a 、b 两数均不为0 。 *13.数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点。 四．独立训练：

1．0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，3－8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，

0 的绝对值是 ， 2 － 3 的倒数是 2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。

A 表示的数是－12 ，且A

B ＝1

3

，则点B 表示的数是 。

3 －3

3 ,л,(1－ 2 )o,－227

,0．1313…,2cos60o, －3－1 ,1．101001000…

(两1之间依次多一个0),其中无理数有 ，整数有 ，负数有 。

4. 若a 的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝ 2 ，则a= 5．若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是

6．实数可分为（ ） A 、正数和零 B 、有理数和无理数 C 、负数和零 D 、正数和负数 *7．若2a 与1－a 互为相反数，则a 等于a= 8．当a 为实数时，a 2 =－a 在数轴上对应的点在（ ）

A 、原点右侧

B 、原点左侧

C 、原点或原点的右侧

D 、原点或原点左侧 *9．代数式

ａ｜ａ｜ ＋ｂ｜ｂ｜ ＋ａｂ

｜ａｂ｜

的所有可能的值有 个。

10．已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图 （1）比较a －b 与a+b 的大小 （2）化简|b －a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜

试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周长。＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2－（ｍ－8）2