作业与参考答案-ch03第三单元 计数资料的统计描述和统计推断

《医学统计学》

【教材】倪宗瓒主编.医学统计学.北京;高等教育出版

社.2004.

【作业】教材附录二 【习题解答】

第三单元 计数资料的统计描述和统计推断

分析计算题

3.1 解： (1) 100%=

?同年该年龄组死亡人数

年龄组死亡人数构成比某年某年龄组死亡总数

%39.1%1001802

25

~0=?=

岁组死亡人数构成比 余类推；

10000010=

?同年该年龄组死亡人数

死亡率万某年某年龄组平均人口数

010000010 3.3610?=25

～岁组死亡率=

万万745000

余类推；

岁组死亡率

各年龄组死亡率

相对比~0=

04.1336

.380

.43~30==

岁组相对比 余类推。

各年龄组死亡人数构成比、死亡率和相对比计算结果见表3.1.1。

表3.1.1 某地某年循环系统疾病死亡资料

年龄组 /岁

平均人口数

循环系统 死亡人数

死亡人数构成比

/%

死亡率 (1/10万)

相对比 (各年龄组死亡率/0～组死亡率)

0～ 745000 25 1.39 3.36 — 30～ 538760 236 13.10 43.80 13.04 40～ 400105 520 28.86 129.97 38.68 50～ 186537 648 35.96 347.38 103.39 60～ 52750 373 20.70 707.11 210.45 合 计

1923152

1802

100.00

93.70

—

(2) 死亡人数构成比是指某年龄组死亡人数与各年龄组死亡人口总数之比，说明总死亡人数中各年龄组死亡人数所占的比重；

死亡率是指某年实际死亡数与该年可能发生死亡人数（本题即为该年平均人口数）之比，用以说明死亡发生的频率或强度；

相对比用以说明各年龄组死亡率是0～岁组死亡率的几倍或几分之几。

3.2解：因为甲、乙两医院某传染病的类型构成明显不同，且疾病类型对该病的治疗效果有影响，故应进行标准化，再比较两医院的治愈率。根据本题资料，以两医院合计病人数为标准人口，采用直接标准化法。

表3.2.1 直接法计算甲、乙两医院某传染病标准化治愈率/% 类型 标准病人数

N i

甲医院

乙医院

原治愈率/%

p i 预期治愈人数

N i p i

原治愈率/%

p i 预期治愈人数

N i p i

普通型 552 59.9 331 65.2 360 重 型 552 39.9 220 44.9 248 暴发型 252 19.8 50

25.4 64

合 计

1356

48.4

601(

i i

N p ∑)

45.4

672(

i i

N p ∑)

甲医院某传染病标准化治愈率：601

100%44.3%1356p '=?=甲

乙医院某传染病标准化治愈率：672100%49.6%1356p '=?=乙

可以看出，经标准化后乙医院的该传染病的治愈率高于甲医院。

3.3解：本题推断样本所代表的总体率π与一个已知总体率0π是否相等。因样本量较小，故采用直接计算概率法。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 3.0=π，即该新药的治疗效果与传统疗法相同 ：1H 3.0<π，即该新药的治疗效果优于传统疗法 单侧05.0=α

(2) 确定P 值，作出统计推断

在0H 成立的前提下，10名病人中死亡人数)3.0,10(~B X ，则有

1493.07.03.07.0)1()0()1(9111010=+==+==≤C X P X P X P

按单侧05.0=α水准不拒绝0H ，尚不能认为该新药的治疗效果优于传统疗法。

3.4解：(1) 本题是Poisson 分布两样本均数的比较。两样本观察单位相同，而且阳性数均大于20，可用大样本u 检验方法。

1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 21μμ=，即甲乙两地妇女的卵巢癌患病率相同 ：

1H 12μμ≠，即甲乙两地妇女的卵巢癌患病率不同 05.0=α

2) 计算检验统计量

以1万名妇女为一个Poisson 分布观察单位，1μ和2μ的点估计值分别为1X 和

2X ，得

1.4907u =

==

3) 确定P 值，作出统计推断

查u 界值表得0.10

(2) 该资料也可用二项分布的两个样本率比较。 1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 21ππ=，即甲乙两地妇女的卵巢癌患病率相同 ：

1H 12ππ≠，即甲乙两地妇女的卵巢癌患病率不同 05.0=α

2) 计算检验统计量

本题，1n =10000，1X =100，1p =0.01；2n =10000，2X =80，2p =0.008 合并率 009.010000

1000080

100=++=

c p

4975.1)

10000

1

100001(991.0009.0008

.001.0)11)(

1(2

12

1=+??-=

+--=

n n p p p p u c c

3) 确定P 值，作出统计推断

查u 界值表得0.10

该资料分析在统计软件中用2χ检验实现。

3.5解：本题是二项分布总体率的区间估计。50≤n ， p 很接近0，故采用查表法。

n =40，X =2，查百分率的可信区间表得1－17，故该地此病的基因总体携带率的95%可信区间为(1%，17%)。

3.6解：本题目的是推断样本所代表的总体率π与一个已知总体率0π是否不同。因样本量足够大，且p 既不接近于0也不接近于1，故采用正态近似法。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 9.7%π=，即吸烟人群慢性气管炎患病率与一般人群相同

：1H 9.7%π>，即吸烟人群慢性气管炎患病率高于一般人群 单侧05.0=α (2) 计算检验统计量 n =300，X ＝63，21.0300

63

==

p ，0π=0.097，有 6132.6300

903

.0097.0097.021.0)

1(000

=?-=

--=

n

p u πππ

(3) 确定P 值，作出统计推断

查u 界值表得0005.0

3.7解：本题以 1 mL 饮料作为Poisson 分布观察单位，4=n ，样本均值为

X =60/4=15个/mL

，标准差为 3.87x S ==个/mL 。

本题6050X =>，按

式(X u X α

α

-+求得的95%可信区间

为

(60 1.90,6060-+，

即该饮料中每4mL 所含细菌数（个）的95%可信区间为(44.82, 75.18)。所以，该饮料中每1mL 所含细菌数（个）的95%可信区间为(11.2, 18.8)。

3.8解：本题为Poisson 分布两个样本均数的比较。两个样本观察单位相同，且阳性数均大于20，可根据Poisson 分布的近似正态性，利用两大样本u 检验的方法得到检验统计量。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 21μμ=，即两种饮料中平均每10mL 细菌数无差别 ：

1H 12μμ≠，即两种饮料中平均每10mL 细菌数有差别 05.0=α

(2) 计算检验统计量

以10mL 饮料样品为一个Poisson 分布观察单位，1μ和2μ的点估计值分别为

1X 和2X ，得

15.5300

4403004402

121=+-=

+-=

X X X X u

(3) 确定P 值，作出统计推断

查u 界值表得001.0

3.9解：本题是Poisson 分布的样本所代表的总体均数μ与已知总体均数0μ的比较。因μ<20，故采用直接计算概率法。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 0μμ=，即此地区1999年腭裂发生率与1998年相等 ：1H 0μμ<，即此地区1999年腭裂发生率低于1998年 单侧05.0=α

(2) 确定P 值，作出统计推断

1000=n ，15.20=π‰，15.200==πμn ，在H 0成立的前提下，所调查的

1000名新生儿中发现的腭裂数X ～)15.2(P ，则有

3669.02504.01165.015.2)1()0()1(15.215.2=+=?+==+==≤--e e X P X P X P 按05.0=α的水准不拒绝0H ，差别无统计学意义，尚不能认为此地区1999年腭裂发生率比1998年低。

3.10解：本题是Poisson 分布总体均数的估计。因502<＝X ，故采用查表法估计总体均数的95%可信区间。查Poisson 分布μ的可信区间表，样本计数X 为2的

一行，μ的95%可信区间的下限为0.2，上限为7.2，故该地区平均每毫升水所含大肠杆菌菌落的95%可信区间为(0.2，7.2)个。

3.11解：本题为二项分布两样本率的比较，可以采用u 检验也可采用2χ检验。 方法一：

(1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 21ππ=，即两种治疗方案的有效率无差别 ：

1H 21ππ≠，即两种治疗方案的有效率有差别 05.0=α

(2) 计算检验统计量

本题， 1n =40，1X =31，1p =0.775；2n =40，2X =14，2p =0.35 合并率 5625.040

4014

31=++=

c p

3.8314u =

=

=

(3) 确定P 值，作出统计推断

查u 界值表得P <0.001，按05.0=α水准拒绝0H ，接受1H ，差别有统计学意义，可以认为两种治疗方案的有效率有差别，甲方案的疗效优于乙方案。 方法二：

表3.11.1 两种治疗方案治疗乳腺癌有效率的比较

处理 有效 无效 合计 有效率/% 甲方案 31 9 40 77.50 乙方案 14 26 40 35.00 合计

45

35

80

56.25

(1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 21ππ=，即两种治疗方案的有效率无差别 ：

1H 21ππ≠，即两种治疗方案的有效率有差别 05.0=α

(2) 计算检验统计量

m i n 3540

17.580

T ?=

= 222

()(3126914)80

14.68()()()()40404535

ad bc n a b c d a c b d χ-?-??=++++???＝＝

ν=(2－1)(2－1)=1

(3) 确定P 值，作出统计推断

查2χ界值表得P <0.005，按05.0=α水准拒绝0H ，接受1H ，差别有统计学意义，可以认为两种治疗方案的有效率有差别，甲方案的疗效优于乙方案。

由计算结果可以验证：四格表的双侧u 检验与2χ检验是完全等价的，有

22u ＝χ。

3.12 解：本题为完全随机设计两样本率的比较。整理表格见表3.12.1。

表3.12.1 两种疗法治疗原发性高血压的疗效

分 组 有效 无效 合计 有效率/% 实验组 21 2 23 91.30 对照组 5 16 21 23.81 合计

26

18

44

59.09

(1) 建立检验假设，确定检验水准

：

0H 21ππ=，即该药治疗原发性高血压无效 ：

1H 21ππ≠，即该药治疗原发性高血压有效 05.0=α

(2) 计算检验统计量

559.844

18

21min >=?=

T 222

()(211625)44

20.69()()()()23212618

ad bc n a b c d a c b d χ-?-??===++++???

ν=(2－1)(2－1)=1

(3) 确定P 值，作出统计推断

查2χ界值表得P <0.005，按05.0=α水准拒绝0H ，接受1H ，差别有统计学意义，可以认为该药治疗原发性高血压有效。

3.13 解：本题为配对设计四格表的2χ检验。整理表格见表3.13.1：

表3.13.1 两种试纸检测尿葡萄糖结果

A 试纸

B 试纸

合计

+

－ + 70 20 90 － 4 6 10 合计

74

26

100

(1) 建立检验假设，确定检验水准

H 0：B=C ，即两种试纸检测结果的总体阳性率相同 H 1：B≠C ，即两种试纸检测结果的总体阳性率不同

0.05α＝ (2) 计算检验统计量

已知b ＝20，c ＝4，b +c ＝24<40，有

2

2

2(1)(2041)9.375204

b c b c

χ----=

++=

=

ν=(2－1)(2－1)=1

(3) 确定P 值，作出统计推断

查2χ界值表得P <0.005，按0.05α＝水准拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，故可以认为两种试纸的检测结果总体阳性率不同，A 试纸检测结果的阳性

率较高。

3.14 解：本题为多个样本率的比较。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

H 0：π1＝π2＝π3＝π4，即不同类型原发性肺癌的nm23-H 1基因表达率无差

别

H 1：π1、π2、π3、π4，即不同类型原发性肺癌的nm23-H 1基因表达率不同

或不全相同

0.05α＝ (2) 计算检验统计量

543.6280

90

20min >=?=

T 2222

2

95401012801135190135902090R C A n n n χ????=-=++- ? ????????

∑ ＝3.35

ν＝(4－1)(2－1)＝3

(3) 确定P 值，作出统计推断

查2χ界值表得0.25

3.15 解：本题为两组构成比的比较。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

H 0：腺样癌和粘液表皮样癌的好发部位构成比相同 H 1：腺样癌和粘液表皮样癌的好发部位构成比不同

0.05α＝ (2) 计算检验统计量

539.42149410min <=?=

T ，530.12214

94

28>=?=次小T ，1/5以下格子理论频数小于5。

2222

2

311781214112078120299428R C A n n n χ????=-=+++- ? ????????

∑……＝15.41

ν＝(5－1)(2－1)＝4

(3) 确定P 值，作出统计推断

查2χ界值表得P <0.005，按0.05α＝水准拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，故可认为腺样癌和粘液表皮样癌的好发部位构成比不同。

3.16 解：本题是行×列表资料的关联性分析。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

H 0：血型与幽门螺杆菌（Hp ）感染无关系 H 1：血型与幽门螺杆菌（Hp ）感染有关系

0.05α＝ (2) 计算检验统计量

min 6820

5.695239

T ?=

=> 2222

2819123914717147682068R C A n n n χ????=-=?+++- ? ????????

∑2

10……＝31.21

ν＝(4－1)(2－1)＝3

(3) 确定P 值，作出统计推断

查2χ界值表得P <0.005，按0.05α＝水准拒绝H 0，接受H 1，故可认为血型与幽门螺杆菌（Hp ）感染有关系。

3.17 解：本题采用趋势2χ检验。

表3.17.1 某地1993~1999年损伤与中毒的病死率

年度 发病人数n 病死人数t 病死率/% 分数Z tZ nZ nZ 2 1993 580 8 1.38 1 8 580 580 1994 571 12 2.10 2 24 1142 2284 1995 680 16 2.35 3 48 2040 6120 1996 760 30 3.95 4 120 3040 12160 1997 942 30 3.18 5 150 4710 23550 1998 1100 52 4.73 6 312 6600 39600 1999

1084

51

4.70

7

357

7588

53116

合计 5717 199 — — 1019 25700 137410

(1) 建立检验假设，确定检验水准

0H ：该地的损伤与中毒的病死率无随时间变化而增加的趋势

1H ：该地的损伤与中毒的病死率有随时间变化而增加的趋势

05.0=α (2) 计算检验统计量

由于本题是按性质分组的资料，评分为1，2，3，4，5，6，7。趋势检验所需中间结果见表3.17.1的右边4列，计算的2χ值为：

()

()2

22

22

2()()(())

5717571710191992570021.06

1995717199(571713741025700)

N N tZ T nZ T N T N nZ nZ χ-=

--?-?=

=-?-∑∑∑∑

1=ν

(3) 确定P 值，作出统计推断

查2χ界值表得P <0.005。按05.0=α水准，拒绝0H ，接受1H 。故可以认为该地的损伤与中毒的病死率随时间变化而呈增加的趋势。

3.18 解：本题采用两样本率的等效检验。

(1) 建立检验假设，确定检验水准

H 0：21ππ-≥?，即新药与标准药物不等效 H 1：21ππ-

05.0=α

(2) 计算检验统计量

试验新药组 211601481900.1

?0.8385390

a c n n π

++?++?=== 70.1678385.0200?11=?==π

n T a 30.3270.1672001=-=-=a b T n T

标准药物组 7385.0390

1

.020*******?12=?-+=?-+=n n c a π

22?1900.7385140.32c T n π

==?= 2190140.3249.68d c T n T =-=-=

()2

2222

2(160167.70)(148140.32)(4032.30)(4249.68)

167.70140.3232.3049.683.80

R C R C

RC

A T T χ-=----=+++=∑

1＝ν

(3) 确定P 值，作出推断结论

查2χ界值表，得0.05

本题如作u 检验（单侧），计算统计量： 91.1190

)

7789.01(7789.0200)8000.01(8000.0)

7789.08000.0(1.0)

1()1()(2

2211121=-+

---=

-+---?=

n p p n p p p p u

查t 界值表(ν=∞)，得0.025

3.19 最佳选择题 (1) b

(2) c

(3) b

(4) c

(5) c

(6) c

【复习思考题参考答案】

3.20 答：二项分布、Poisson 分布、正态分布间的关系可以如下表示：

二项分布是概率为k n k

k n C k X P --==)1()(ππ的离散型分布。凡具有贝努利

试验序列三个特点的变量，一般可认为服从二项分布。二项分布图形形状完全取决于n 和π的大小。当π＝0.5时图形对称，随着n 的增大，图形渐近于正态分布图形。当π≠0.5时，图形呈偏态，但随着n 的增大，图形也逐渐对称，趋向于正态分布图形。当n 趋近于无穷大时，二项分布就成为正态分布。在实际应用中，只要n 足够大且π既不接近于0也不接近于1时，就可以用正态近似原理处理二项分布的问题。

Poisson 分布也是一种离散型分布，常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布，具有n 很大时事件发生率很小的性质。其概率为

!

)(k e k X P k μ

μ-?=

=。Poisson 分布图形形状完全取决于μ的大小。当10=μ时图

形基本对称，随着μ的增大，图形渐近于正态分布。Poisson 分布可视为二项分布的特例。若某现象的发生率π甚小，而样本例数n 甚多时，则二项分布逼近Poisson 分布。一般在实际应用中，当20≥μ时，Poisson 分布近似正态分布，资料可根据正态分布原理处理，从而简化计算。

正态分布曲线的密度函数为2

2)(21

)(σμπ

σ--=

X e

X f 。二项分布和Poisson 分

布的极限分布为正态分布。因此，在应用二项分布和Poisson 分布时，常常利用正态近似原理，估计总体参数的可信区间和进行u 检验。

3.21 答：2χ检验用于：推断两个及两个以上总体率或构成比是否有差别，两个分类变量间有无相关关系，多个率的趋势检验，以及两个率的等效检验等。此外，也用于频数分布的拟合优度检验。

对不同的设计类型的资料，2χ检验的应用条件不同： (1) 完全随机设计两样本率的比较

1) 当n ＞40，且T ≥5时，用非连续性校正2χ值；

∑-=T T A 22

)(χ 或 )

)()()(()(22

d b c a d c b a n bc ad ++++-=χ

若所得P ≈α，则改用四格表的确切概率法。 2) 当n ≥40，且有1≤T<5时，用连续性校正2χ值。

∑

--=T

T A c 2

2)5.0(χ 或 ()()()()()

d b c a d c b a n

n bc ad ++++--=

2

22/χ

3) n <40，或有T<1时，不能用2χ检验，应当用四格表的确切概率法。 (2) 配对设计四格表

1) 当b +c ≥40，c

b c b +-=2

2

）

（χ

2) 当b +c <40，需作连续性校正，c

b c b +--=2

2

)1(χ

(3) 行列表资料

专用公式：???

? ??-=∑12

2

C R n n A n χ 1) 不宜有1/5以上格子的理论频数小于5，或有1个格子的理论频数小于1； 2) 单向有序行列表，在比较各处理组的效应有无差别时，应该用秩和检验或Ridit 检验；

3) 多个样本率（或构成比）比较的2χ检验时，结论为拒绝无效假设时，只能认为各总体率（或总体构成比）之间总的说来有差别，但不能说明它们彼此之间都有差别，或某两者间有差别。若想进一步了解哪两者的差别有统计学意义，

可用2χ分割法。

3.22答：四格表的u 检验和2χ检验的联系，体现在： (1) 相同点：

四格表的u 检验是根据正态近似原理（n 足够大，π和1－π均不太小）,能用四格表的u 检验进行两个率比较检验的资料，都可以用2χ检验。四格表的双

侧u 检验与2χ检验是完全等价的，两个统计量的关系为u 2=2χ， 2

c u =2c χ，而相对应的界值的关系为2105.022/05.0，χ=u ；

(2) 不同点：

1) 正态分布可以确定单、双侧检验界值，满足正态近似条件时，可以使用四格表的单侧u 检验；

2) 满足四格表u 检验的资料，可以估计两率之差的95%可信区间，还可分析两率之差有无统计学意义；

3) 2χ检验还可以用于配对设计四格表，但这时推断1π，2π是否有差别的2

χ公式不同。

3.23 （略）