数学趣题(5年级培优)教师版

一杯牛奶，小胖喝了一半，用水加满，再喝一半后，又用水加满，最后全部喝掉。小胖一共喝了几杯牛奶？几杯水？

【分析】知识点：多角度思考

难度：A 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】1杯牛奶，一杯水。

密封的实验瓶中，如果放入1个细菌，1分钟后瓶中就充满了细菌，已知每个细菌每秒钟分裂成2个，两秒钟就分裂成4个，……，如果一开始放入2个细菌，多长时间瓶中充满细菌？

【分析】知识点：抓住关键点思考问题。

难度：A 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】开始放入2个细菌，可以看做已经过了1秒分裂成的2个，则需要59秒。

有一个正六边形点阵，如图所示，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边三个点……这个六边形点阵共100层，这个点阵有多少个点？

【分析】知识点：找规律，等差数列求和。

难度：B 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】先不看第一层，第二层有6个点、第三层有12点、第四层有18个点、……，即

从第二层到第100层成等差数列，利用公式即可求出总点数，不要忘记加上第一层。

总点数为29701159418126=+++++Λ

也可以这样计算2970116)99321(=+?++++Λ（个）。

司机开车按顺序到5个车站接学生到学校，每站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少名学生？

【分析】知识点：用倒推法解决此题。

难度：B 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】要想最后学生人数最少，则第五站上车人数最少，最少为1人，依次倒推。

最少有学生31168421=++++（名）。

有625名学生参加100米比赛，有5条跑道，每赛一次可淘汰4名选手，只留下第一名继续比赛，共需要赛多少次才能决出冠军？

【分析】知识点：逆向思维

难度：B 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】此题关键在于最后只有一名冠军，说明要淘汰624名选手，又因为每一轮可以淘

汰4名，从而求出比赛次数。

所以，一共要赛1564)1625(=÷-（次）。

一个人要住宾馆，但是忘记带钱了，他身上只有一根7个银环套在一起的手链。他与宾馆经理谈妥每天付一个银环，住7天以后再去赎回手链。那么怎么剪断次数最少，保证便于重新接好手链呢？

【分析】知识点：砝码问题

难度：C 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】首先要注意题目要求：“每天付一个银环”，不能7个一起付；“剪断次数最少”，

则不能剪成7个单环。

第1天需要付1个，则必须要剪1个单环；

第2天又要付1个，但是已经有1个单环了，不能再剪，那么可以剪成2个环，换回第1天的1环，这时剩4+1个；

第3天用之前换回第1个环付；

第4天4个连环换回3个环；

第5天再付1个；

第6天用2个连环换回1个；

第7天付最后1个。

所以，剪断最少是4217++=。

小明把若干枚棋子放入12只盒子中，把这些盒子排成一排，然后离开去做其他事情了。小华进来后从每只盒子中取出一枚棋子，然后把这些棋子放入其中一只盒子里，再把这些盒子的顺序调整了一下，然后离开了。小明回来检查了一下，发现没有人动过盒子。盒子

中至少有多少枚棋子？

【分析】知识点：趣味数学

难度：C 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】从每个盒子中取出一枚，又重新排列，发现与原来一样，则说明原来每个盒子中

棋子的数量都相差1，则盒子中至少有棋子

78

2

12)121(12

1110987654321=÷?+=+++++++++++ 所以，原来至少有78枚棋子。

中午的时候，美发店里只有一位美发师，同时来了4位客人，按他们所要理的发型，分别需要11分钟、25分钟、16分钟、20分钟，怎样安排他们的理发顺序，才能使这四个人理发及等候所用的时间最少？最少需要几分钟？

【分析】知识点：合理安排

难度：B 出处：《小学数学拉分题满分训练》 【解答】由于理发的时间是固定的，要想使总用时最少，则应使等候总时间最少。即从时

间短的开始，人多的时候大家等的时间最少，人少的时候等的时间长。

157125*********=?+?+?+?（分钟）

。 所以，理发顺序为11分钟、16分钟、20分钟、25分钟；最少需要157分钟。

如下图所示，一条公路上有1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、7A 七个村庄。现在要在这段公路上设一个车站，使这七个村庄的村民到车站步行的路程总和最小，车站应该设在什么地方？

【分析】知识点：最短路线

难度：B 出处：《小学数学拉分题满分训练》

【解答】要想使路程总和最短，则车站应设在A4点。

【教师备用】

拓展提高

1、有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

分析与解 ：

（1）将4堆球依次编上1、2、3、4四个号码；

（2）依次取出1、2、3、4个球，总共取出104321=+++（个）球，一起放到天平上称一次；

（3）作比较，若10个球都是10克重，那么总共有1001010=?（克），与（2）所称得的重量作比较；

（4）若称得的重量比100多1克，就是第一堆；多2克，就是第二堆；多3克，就是第三堆；多4克，就是第四堆。

2、少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”。由此可知手工组共有 个小朋友。【希望杯，第五届1试】

分析与解：由题意可知，总人数应为1、2、3、4的倍数，由于1、2、3、4的最小公倍数为12，以12人为一组可知，一组可做2534612=+++（个）“猪娃娃”，一共做了100个“猪娃娃”，即有425100=÷（组），所以手工组共有：48412=?（人）。

3、哥哥和弟弟玩扑克牌，哥哥说：“弟弟，你只许拿第奇数张牌，这样拿到最后，剩一张牌，大王一定在我手里。”弟弟果真这样做了。第一次，拿了全部牌的第奇数张，共27张；第二次，拿了剩下27张中的第奇数张牌，共14张；第三次，又拿了剩下13张牌中的第奇数张牌，……最后，只剩下一张，翻开看，确实是大王，你说：哥哥把大王放在了第几张了。

分析与解： 弟弟第一次拿的是第1 、 3 、 5 、 7 、 …53张牌，共27张；

第二次拿的是第 2 、 6 、10 、 …54张牌，共 14 张；

第三次拿的是第 4 、 12 、20 、 …52张牌，共 7 张；

第四次拿的是第 8 、 24 、 40 张牌，共 3 张；

第五次拿的是第 16 、 48 张牌，共 2 张。

这时一共拿走了 532371427=++++（张），只剩下了第 32 张牌。

4、某超市周年庆送出100张刮奖券，兑奖号码为由100开始的连续自然数，若刮出的号码含有4或为4的倍数，可获得一张50元的购物券；若刮出的号码含有6或为6的倍数，可获得一张100元的购物券，同时获得50元购物券和100元购物券的有 人。（小数报杯，第五届初赛）

分析与解：[4，6]=12，4812100ΛΛ=÷，即这100个兑奖号码中既是4的倍数又是6的倍数有8个：108，120，132，144，156，168，180，192；

除此之外，还有以下这9个数也能同时获得50元的购物券和100元的购物券：

114，164，174，160，116，136，146，176，196．

因此共有 1798=+（人）。

一条毛毛虫从幼虫长到成虫，每天长大一倍，24天就能长到20厘米，当它长到5厘米时，需要用多少天？

【解答】52220=÷÷（厘米），221124=--（天）。

公司经理通知甲、乙、丙三人同时去办公室分别进行谈话，甲谈完要15分钟，乙谈完要12分钟，丙谈完要18分钟。怎样安排三人的谈话顺序，使三人花的时间总和最少？最少是多少分钟？

【解答】8418215312=+?+?（分钟）。

一个探险者准备穿过长80千米的沙漠，他一天能走20千米，最多可以携带够3天用的事物和水。因此他必须在途中建立一个中转站，补充后面几天所需要的事物和水。这个探险者至少得走多少天才能穿过这片沙漠？

【解答】6天。