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A 频率响应法：波特图
波特图
一个系统的频率传递函数或它的KZ(j?)/P(j?)函数既能用单个的奈奎斯特图（极坐标图）表示，也可以用相对输入（强迫）频率的幅值比和相角表示。人们习惯于按照输入频率的常用对数绘制以分贝为单位的幅值比图和以度为单位的相角图。按照这种形式，这两张图称为伯德图（以H. W. Bode命名），可以绘制准确的伯德图，它是由计算制作的，也有直线渐近线图，它可以快速容易地运用到已经发展出的技术徒手草绘或绘制，本文将介绍这一技术。
系统传递函数的波特图用来确定各种输入（包括阶跃）对系统响应的影响。因为频率响应是一个稳态响应，所以这个系统必须是稳定的，并且它的稳定性必须在使用系统波特图以前确定。
人们经常使用频率函数KZ(j?)/P(j?)的波特图来检验系统的稳定性。当函数在s右半平面没有零点或极点时，即函数是最小相角，则这个波特图能很快地根据出现在函数中的四个基本环节的知识草绘出来。这些基本环节是：①频率不变项K ②在原点上的零点和极点 ③一阶项式的极点和零点(j??+1) ?n ④二阶极点和零点(j??+1) ?n
对于一个乘积 ， 和
相角?表示成一个和用分贝为单位幅值M，也将表示成一个和：
在波特图中，以分贝为单位的幅值M和以度为单位的相角?在半对数坐标纸上按?绘制出来。这种改进如下：KZ(j?)/P(j?)的波特幅值和相角图可以由它的相关项累加而得到。这些图比极坐标图或奈奎斯特图更容易绘制出来，而且能够容易地按照系统特性的不同方面进行理解。
1、增益K>0：
， ? = 0，都与ω无关，如图2-4A-1a.所示
2、积分环节1/(j?)n（极点在原点）
在? = 1时MdB = 0在? = 10时10倍于? = 1 ，MdB = -20n.。因此，按照对数刻度幅值图是一条斜率为-20n dB/dec.的直线。相角? = -n 90?，并且与频率无关。
微分环节(j?)n（零点在原点）：这个图是相应的积分项相关于零分贝线和零点轴的镜像，这对于相应于简单和二次滞后的超前环节是正确的。
3. 简单滞后环节1/( j??+1) ：
在图2-4A-1c中绘出的图是渐近线的近似，这些渐近线相交在标准化图上由?? = 1(或?=1/?)给定的穿越频率或转角频率处。
接近于? = 1/? 处，实际值可以由等式（2-4A-1）计算出来。在? = 1/?处，偏差是-3dB，相角是-45?。
4、二次滞后
其中?n是无阻尼自然频率，?是阻尼比，二次滞后环节伯德图的渐近线是
横轴，高频渐近线在? /?n=1 处于与0分贝轴相交，且斜率为-40dB/dec。接近于? /?n= 1，等式（2-4A-2）给出实际的曲线，阻尼比?越小，它所引起峰值MdB的越大，在接近? /?n=1处?也有越突然的变化。伯德图可以通过存在的基本环节的幅值和相角分别相加绘制出来。
在波特图中，相角裕度?m是180?和在|KZ(s)/P(s)| = 1（即0分贝）频率处的相角之和。因此，如图2-4A-2所示的部分伯德图相角裕度?m是在穿越频率?c处，相角曲线在180?上的距离（度数）。在那儿幅值曲线穿过0分贝轴。相似地，增益范围等于1，除以相角为-180?时的频率处的幅值。GMdB，增益裕度以分贝表示，是在这个频率处以下到幅值（曲线）的距离，如图2-4A-2所示。
波特图上的性能要求
波特图广泛应用的一个重要原因是其性能要求容易理解。
相对稳定性：闭环传递函数的波特图在接近穿越频率?c处斜率不大于-20dB/dec曲线必须有足够角度。否则，可以立即证明?m将是不够的。
稳态精度：为了提高稳定性，低频渐近线必须上升，或改变其斜率。低频渐近线是K/(j?)n对n = 0（0型），单位阶跃的稳态误差是1/(1+K)，所以如果零斜率低频段20lgK升高（误差减小）。若要阶跃输入后的稳态误差为0，系统必须至少是1型（n =1），所以低频段必须至少是-20dB/dec。
在工作范围内的精度：为了保证正常范围内指定的精度，波特图在这个范围内可以不低于给定水平。为了提高精度，这个水平必须升高。
穿越频率和带宽：根据?c= 0.63? b的?b穿越频率?c是带宽?b的一个测量依据，响应速度也是这样。
噪声抑制：为了保证对输入中高于一定频率的噪声成分指定的衰减（伯德图中的M）应低于某一水平。
这些判据表明特性的不同方向是如何转换成波特图的专有特征，并且允许在波特图上将特性要求变化成需要。系统设计的任务是得到适合这些需要的补偿器。
波特图的设计
应用波特图技术的反馈控制系统的设计眼前画出和重画出幅频特性图和相角特性图的形状，直到满足系统特性要求为止。这些特性要求可以方便的按照频域图的特点如暂态性能的增益和相角裕量和稳态时域相应的误差常数来表达。并且，连续时间系统对串联或反馈矫正的波特图渐近线的成形是一个相对简单的过程。
增益矫正：在一些情况下，通过简单地调整开环增益K来满足所有系统的特性要求是可以的。在等式（2-3A-3）中指出，开环增益K的调整不影响相角特性图。它仅靠向上或向下
移动幅频特性图来相应地增大或减小K。
超前矫正：对一个系统的串
联超前矫正的增加在低中频段降低整个相角曲线。超前矫正通常用来增加增益或相角裕度或增加其带宽。超前网络通常需要一个附加的伯德增益KB 的调整图。
滞后矫正：为了减小系统的带宽，在一些情况下使用滞后矫正环节。它也用来提高对于误差常数给定值的相对稳定性，或用来抑制高频段的噪音。
滞后—超前矫正：有时也需要同时使用超前矫正和滞后矫正。虽然这两个网络的每一个都能通过串联达到预期效果，但装配组合在一起的超前矫正器通常更为方便。
B 非线性控制系统
简介
在实际中，因为围绕工作点有很大的变化，多数系统是非线性的。线性化是在假设这些变化足够小的基础上进行的，但是这样不能够令人满意。例如，对于那些包含继电器的系统，一些很小的变化都会使继电器动作。所以量的大小、开启和关闭常常要求考虑非线性的影响。
在微分方程 中，如果A， B， C中一个或几个是因变量x或x导数的函数，那么它是非线性的。如果A， B， C还是自变量t的函数，它是一个时变非线性问题，在这里不讨论。
叠加定理不能用于非线形系统，它将产生严重的后果，实际上，到目前所讨论的分析和设计方法包括传递函数和拉氏变换不再有效。更糟糕的是，没有与其相当的方法去替代它们。然而，也存在几种方法，每种方法都存在各自限定的用途和限定的适用范围。我们将介绍著名的相平面法和描述函数法。
非线性行为和常见非线性环节
如果在实验和系统仿真时遇到非线性动作，如果只允许认识，至少意识到非线性动作的主要特征是很重要的：
1、响应的性质依赖于输入和初始条件。例如如果阶跃输入大小加倍，一个非线性系统可以由稳定变化到不稳定变化或反之亦然。
2、不稳定性常常表现为极限环形式。极限环以一定的幅值和频率振荡，即使系统输入为0，在反馈环路中其幅值和频率也能保持。在线性系统中一个不稳定的瞬态响应理论上会增长为无穷大，但是非线性作用将限制这种增长。
3、对应于正弦输入的稳态响应包含输入频率谐波。
4、在图2-4B-1所示的频率响应图中解释了跳跃现象。如果输入频率从高值减小，响应的幅值将从垂直正切点C突然到D点的值。
图2-4B-2给出了常见的非线性环节，x作为输入，y作为输出。
非线性增益：非常普通（例如，阀门流量对压力下降或阀门开度或者是力对橡胶弹簧的形变）。
饱和：如果输入超过一个定值，输出将变为一个极限常值，放
大器饱和，阀门流量不能上升超过泵的容量。
死区：不灵敏区，例如在仪器和继电器中或由于液压控制阀柱上的挡圈与液压缸出口的重叠。
齿隙游移：机械连接产生。
滞回：电磁电路或磁性材料。
库仑摩擦或干摩擦：摩擦力只取决于速度方向。
非线性特性曲线：电动机的转矩速度曲线或阀门的流量压力曲线。
有各种不足的继电器（中继器）：非线性环节中非常重要的一类。
相平面法
相平面法是一种为了求解对于初始条件或简单输入一阶或二阶系统的暂态响应的方法。尽管有这些限制，因为它们提供的内涵并且许多系统近似于二阶响应。所以它是有用的。考虑非线性方程 用
替代，这样方程化简为一个一阶方程：
这个调整的方程产生相平面方程
相平面是y－x平面图。在每一个点 是相平面曲线在这个点的斜率。等倾线是连续曲线斜率的轨迹。
对于 的等倾线方程是 。这种图像 方法叫等倾线法，它对于描述相平面图线的特性很有用。对于数值计算，等倾线法和另外的图像法已经被计算机方法所替代。
描述函数
描述函数法是一种响应法，它主要用于稳定性分析。（即极限环的预测）。在图2-4B-4中，G1和G2表示系统的线性部
分，N是非线性部分。问题就是极限环是否存在，也就是R=0时振荡是否能匹配保持住。
二阶系统的极限环可以用相平面法研究。就像图2-4B-5所示的一样，它们在相平面中用封闭的曲线表示。
但是极限环与其它可能的闭环曲线不同，因为相平面曲线是渐近的或远离的。曲线从两面接近的闭环，甚至最轻微的干扰也会使曲线背离不稳定极限环。就像图2-4B-5第一个给出的那样，当暂态量跟随一个足够小的干扰向0衰减的时候，极限环外的初始条件或输入会导致一个不稳定的暂态量的增长。因此，有必要判断极限环种类。
在图2-4B-4中N的模型基于以下的假设：给非线性的X是正弦。
这里有一个明显的矛盾，在图2-4B-6中，对应于正弦输入的理想继电器的方波输出是一个周期函数，因此它可以用傅立叶级数的一般形式表示。
因此Y包含除基本傅立叶成分外的谐波
谐波将G1和G2穿过环路返回x 。与假设(2-4B-1)矛盾，但是对于多数实际系统yf比谐波要大得多。G2作为一个低通滤波器对谐波的抑制比对yf要强得多。
这些因
素的结合证明(2-4B-1)是正确的，并且意味着只有yf是所需要的。因此它的定义是：非线性环节的描述函数N是
的比率。从傅立叶级数的原理可知，yf的傅立叶系数a1和b1是
如果y可以扩展成时间的奇函数，就像图(2-4B-6)所示，那么b=0，因为cos? t是时间的奇函数。描述函数变为 描述函数是一个等价线性增益，它随A幅值A变化，有时也随输入x的频率?变化。
例如：理想继电器（图2-4B-6）
因为描述函数和?无关，为了简单我们假设? = 1因此x = Asint
描述函数是
就像所预料的，这表明当输入A增加且输出为常数时等价增益减小。