2020-2021学年度河南省高考适应性考试数学(文)试题及答案
河南省普通高中毕业班高考适应性练习
文科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|230}A x x x =--<,{|33}B x x =-<<,则A B =I ( ) A .(3,3)- B .(3,6)- C .(1,3)- D .(3,1)- 2.若复数41i
z i
=
-(i 是虚数单位),则z =( ) A .22i -+ B .22i -- C .22i + D .22i - 3. 下列说法中,正确的是( )
A .命题“若22
am bm <,则a b <”的逆命题是真命题
B .命题“0x R ?∈,2000x x ->”的否定是“x R ?∈,2
0x x -≤” C .命题“p 或q ”为真命题,则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D .已知x R ∈,则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
4.在一组样本数据()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y (2n ≥,1x ,2x ,…,n x 不全相等)的散点图中,若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线31y x =-+上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) A .-3 B .0 C .-1 D .1
5. 已知函数()x
f x e =在点(0,(0))f 处的切线为l ,动点(,)a b 在直线l 上,则22a b
-+的最小值是( )
A .4
B .2
C .22
D .2 6. 执行如图所示的程序框图,则输出n 的值为( )
A .14
B .13
C .12
D .11
7.函数sin 26y x π??
=-
??
?
的图象与函数cos 3y x π??
=-
??
?
的图象( ) A .有相同的对称轴但无相同的对称中心 B .有相同的对称中心但无相同的对称轴 C .既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D .既无相同的对称中心也无相同的对称轴
8. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,其中直角三角形中较小的锐角α满足7
sin cos 5
αα+=,现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是( )
A .
125 B .15C .925 D .35
9.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD -的五个面中面积的最大值是( )
A .3
B .6
C .8
D .10
10. 设1F ,2F 是双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若126PF PF a +=,
且12PF F ?的最小内角的大小为30o
,则双曲线C 的渐近线方程是( )
A .20x ±=
B 20x y ±=
C .20x y ±=
D .20x y ±=
11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,且2n a n λ=+,若数列{}n S *
(5,)n n N ≥∈为递增数列,
则实数λ的取值范围为( )
A .(3,)-+∞
B .(10,)-+∞
C .(11,)-+∞
D .(12,)-+∞
12.定义域为[,]a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,())A a f a ,(,())B b f b ,(,)M x y 是()f x 图
象上任意一点,其中(1)x a b λλ=+-(01)λ<<,向量BN BA λ=u u u r u u u r .若不等式MN k ≤u u u u r
恒成立,则称函数
()f x 在[,]a b 上为“k 函数”.若函数1
y x x
=+
在[1,2]上为“k 函数”,则实数k 的取值范围是( ) A .[
)0,+∞ B
.32??+∞????
C .[
)1,+∞ D
.32
??++∞????
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13. 已知实数x ,y 满足不等式组203026x y x y x y -≤??
+-≥??+≤?,则1z x y =--的最小值为.
14.已知点(0,1)A ,(1,2)B -,向量(4,1)AC =-u u u r
,则BC =u u u r .
15.已知点F 是抛物线2
4y x =的焦点,M ,N 是该抛物线上两点,6MF NF +=,则线段MN 的中点
的横坐标为.
16.设函数()y f x =的定义域为D ,若对于任意12,x x D ∈,当122x x a +=时,恒有()()122f x f x b +=,则称点(,)a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()23cos 32
f x x x π??
=+- ???
的某一个对称中心,
并利用对称中心的上述定义,可得到1220182018f f ????
+
? ?????4034403520182018f f ????
+???++ ? ?????
的值为.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.
17.ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为S ,已知2
2
2
4a S b c +=+.
(1)求角A ; (2
)若a =
b =C .
18.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥底面ABCD ,M ,N 分别是PA ,BC 的中点,且22AD PD ==.
(1)求证://MN 平面PCD ; (2)求点N 到平面PAB 的距离.
19.进入12月以来,某地区为了防止出现重污染天气,坚持保民生、保蓝天,严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到如下的22?列联表:
赞同限行 不赞同限行
合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计
160
60
220
私家车”有关;
(2)为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用,从上述调查的不赞同限行.....的人员中按分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出3名进行电话回访,求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.
附:22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
20()P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :221(0)x y a b +=>>的离心率3
e =,1F ,2F 分别为左、
右焦点,过1F 的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,且2PQF ?的周长为8. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设过点(3,0)M 的直线交椭圆C 于不同两点A ,B .N 为椭圆上一点,且满足OA OB tON +=u u u r u u u r u u u r
(O 为
坐标原点),当3AB <时,求实数t 的取值范围. 21.已知函数2
()()ln ()f x a x x x a R =--∈.
(1)若()f x 在1x =处取得极值,求a 的值; (2)若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知直线l
:sin 32m πρθ?
?+= ???,曲线C
:1x y θθ
?=+??
=??. (1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;
(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,若3AB ≥,求实数m 的取值范围. 23.[选修4-5:不等式选讲]
已知函数()212f x x x =-++,()1g x x x a a =+--+. (1)解不等式()3f x >;
(2)对于12,x x R ?∈,使得()()12f x g x ≥成立,求a 的取值范围.
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文科数学试题参考答案
一、选择题
1-5: CBBCD 6-10: BAACB 11、12:DB 二、填空题 13. -4 14. 13 15. 2 16. -4035
三、解答题 17.解:(1)∵1
sin 2
S bc A =
,∴由余弦定理,得2224a S b c +=+222cos 2sin bc A bc A b c -+=+, ∴整理,得tan 1A =.又∵(0,)A π∈,∴4
A π
=
.
(2)在ABC ?中,由正弦定理,得
sin sin a b A B
=,即sin 3
sin b A B a ==
.∵b a >,0B π<<, ∴3
B π
=
或23B π=
,即512C π=或12
C π
=. 18.(1)证明:取AD 中点E ,连接ME ,NE ,因为M ,N 是PA ,BC 的中点,在PAD ?与正方形ABCD 中,//ME PD ,//NE CD ,所以//ME 平面PCD ,//NE 平面PCD ,所以平面//MNE 平面PCD ,所以//MN 平面PCD .
(2)解:设点N 到平面PAB 的距离为h ,∵N PAB P NAB V V --=, ∴
11
33
PAB NAB S h S PD ??=.∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD BA ⊥. ∵BA DA ⊥,∴BA ⊥平面PAD ,∴BA PA ⊥,
22215PA +,∴1
5252
PAB S ?=
=. 又∵114NAB ABCD S S ?==正方形,1PD =11533
h =, ∴5h =
19.解:(1)2
K 的观测值2220(40902070)11011016060k ??-?=
???55
9.16710.8286
=≈<. 所以不能在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关. (2)设从“没有私家车”中抽取x 人,从“有私家车”中抽取y 人,由分层抽样的定义可知6602040
x y
==,解得2x =,4y =.
在抽取的6人中,“没有私家车”的2名人员记为1A ,2A ,“有私家车”的4名人员记为1B ,2B ,3B ,4B ,则所有的抽样情况如下:
121{,,}A A B ,122{,,}A A B ,123{,,}A A B ,124{,,}A A B , 112{,,}A B B ,113{,,}A B B ,114{,,}A B B ,123{,,}A B B , 124{,,}A B B ,134{,,}A B B ,212{,,}A B B ,213{,,}A B B , 214{,,}A B B ,223{,,}A B B ,224{,,}A B B ,234{,,}A B B ,
123{,,}B B B ,124{,,}B B B ,134{,,}B B B ,234{,,}B B B .
共20种.
其中至少有1名“没有私家车”人员的情况有16种. 记事件A 为至少抽到1名“没有私家车”人员,则16
()0.820
P A =
=. 20.解:(1)∵2222
22
3
4
c a b e a a -===,∴224a b =. 又∵48a =,∴2a =,∴2
1b =,∴椭圆C 的方程是2
214
x y +=. (2)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)N x y ,AB 的方程为(3)y k x =-,
由22
(3)14
y k x x y =-???+=??,整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=.
由2
4
2
2
2416(91)(14)0k k k ?=--+>,得2
15
k <
. ∵21222414k x x k +=+,2122
364
14k x x k -?=+,
∴1212(,)OA OB x x y y +=++u u u r u u u r
(,)t x y =,
则2122124()(14)k x x x t t k =+=+,121()y y y t =+12
1
[()6]k x x k t
=+-26(14)k t k -=+.
由点N 在椭圆上,得222
2
22222
(24)1444(14)(14)
k k t k t k +=++,化简得22236(14)k t k =+. ①
又由12AB x =-<221212(1)[()4]3k x x x x ++-<,
将12x x +,12x x 代入得2422
222
244(364)(1)3(14)14k k k k k ??
-+-?++??
, 化简,得2
2
(81)(1613)0k k -+>,则2
810k ->,218k >
,∴2
1185
k <<.② 由①,得22
2
364t k t
=-,联立②,解得2
34t <<.
∴2t -<<2t <<,即(2,2)t ∈-U . 21.解:(1)1
'()2f x ax a x
=--, ∵()f x 在1x =处取到极值, ∴'(1)0f =,即10a -=,∴1a =.
经检验,1a =时,()f x 在1x =处取到极小值.
(2)221'()ax ax f x x
--=,令2
()21(1)g x ax ax x =--≥,
①当0a =时,1
'()0f x x
-=
<,()f x 在[1,)+∞上单调递减. 又∵(1)0f =,∴1x ≥时,()0f x ≤,不满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立. ②当0a >时,二次函数()g x 开口向上,对称轴为1
4
x =
,过(0,1)-. a.当(1)0g ≥,即1a ≥时,()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立, ∴'()0f x ≥,从而()f x 在[1,)+∞上单调递增.
又∵(1)0f =,∴1x ≥时,()0f x ≥成立,满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立.
b.当(1)0g <,即01a <<时,存在01x >,使0(1,)x x ∈时,()0g x <,()f x 单调递减;
0(,)x x ∈+∞时,()0g x >,()f x 单调递增,∴0()(1)f x f <.
又∵(1)0f =,∴0()0f x <,故不满足题意. ③当0a <时,二次函数()g x 开口向下,对称轴为1
4
x =
,()g x 在[1,)+∞上单调递减, (1)10g a =-<,∴()0g x <,()f x 在[1,)+∞上单调递减.
又∵(1)0f =,∴1x ≥时,()0f x ≤,故不满足题意.
综上所述,1a ≥.
22.解:(1)直线l
:sin 32m πρθ?
?
+
= ??
?
,展开可得1sin 2ρθθ??= ? ???,
0y +-=,
曲线C
:1x y θθ
?=+??=??可化为22
(1)3x y -+=.
(2)∵曲线C 是以(1,0)为圆心的圆,圆心到直线l
的距离d m =-,
∴3AB =≥,∴2
34
d ≤, 解得02m ≤≤,即[0,2]m ∈.
23.解:(1)由2313x x ≤-??-->?或12233x x ?
-<??-+>?或12
313
x x ?≥?
??+>?
,解得0x <或23x >, ∴()3f x >的解集为2(,0),3??
-∞+∞ ???
U . (2)当12x =
时,min 5
()2
f x =;max ()1
g x a a =++. 由题意,得min max ()()f x g x ≥,即512a a ++≤
,即5
12
a a +≤-, ∴2
25
025(1)2a a a ?-≥??
???
?+≤- ?????
,解得34a ≤.