二重积分积分区域的对称性
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy = +??,其中D 为由2 2y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对称,且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理1有 3()0D f xy y dxdy +=?? . 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 2 2(,),(,)(,). (,)0,(,)(,).D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ?-=?=??-=? ???? 当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例 6 计算2,D I x ydxdy = ??其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。 解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且 2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴 的偶函数,由对称性定理结论有:
第二型曲线积分论文
目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 2.1国内外研究现状 (1) 2.2国内外研究现状评价 (1) 2.3提出问题 (2) 3预备知识 (2) 3.1第二型曲线积分的定义 (2) 3.2第二型曲线积分的性质 (3) 4第二型曲线积分的计算 (4) 4.1直接计算 (4) 4.2利用格林公式计算 (12) 4.3利用曲线与路径无关计算 (14) 4.4利用奇偶对称性计算 (16) 4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16) 5结论 (19) 5.1主要观点 (19) 5.2启示 (19) 5.3局限性 (19) 5.4努力方向 (19) 参考文献 (20)
1 引言 第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义,第一型曲线积分可以看成是定积分的计算,其意义较容易理解,计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分,具有第一型曲线积分不具有的方向性,计算较为复杂,物理意义十分明显,变力分别在x轴,y轴沿曲线做功,这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数,对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单,本文阐述了第二类曲线积分的计算方法,不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算,而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算,第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算. 2 文献综述 2.1 国内外研究现状 查阅相关文献,众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质;富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型;薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法,并给出了相应的例子;刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算,并给出公式及相应的证明;刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来;王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧;陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关;陈文灯,黄先开在文献[13]中介绍了格林公式,并提供了一定的实例,并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤;武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分,使得计算简单;阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式,使得复杂的计算简单化. 2.2国内外现状评价 从上面相关的研究中可以看出,许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究,但都只是从某一个方面进行讨论,大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.
积分对称性定理
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设 f ( x) 在 a,a 上连续,则 2、 二重积分: 若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续,则 (1) 如果积分区域D 关于x 轴对称,f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y)),则二重积分 0, f x,y 为y 的奇函数 f x, y dxdy 2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数 D D 1 其中:D i 为D 满足y 0上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,f(x,y)为x 的奇(或偶)函数, 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y ),则二重积分 0, f x, y 为x 的奇函数, f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数. D D 2 其中:D 2为D 满足x 0的右半平面区域。 (3) 如果积分区域D 关于原点对称,f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函 a -a x dx 0, a 2 f x dx, 0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶
数,即卩 f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分 0, f x,y为x,y的奇函数 f x,ydx:y 2 f xydxy,f x,y 为Xy的偶函数 D D2 其中:D1为D在y 0上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分 f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性) D D (5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有 0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时 D D 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3) 中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特 性。 3、三重积分: (1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数,空间有界闭区域关 于xoy坐标面对称,1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域,贝卩 有
曲面积分对称性
2 对称性在曲线积分计算中的应用 2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用 结论1 若积分曲线L关于x轴(或y轴)对称,记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一,则有: ①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y(或x)的奇函数; ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y(或x)的偶函数。 结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称,则当点(x,y)∈L时,有(y,x)∈L,即L关于x,y具有轮换对称性,这时有: ∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L[f(x,y)+f(y,x)]ds 若f(x,y)=-f(y,x),即f(x,y)关于直线y=x奇对称,则∫Lf(x,y)ds=0; 若f(x,y)=(y,x),即f(x,y)关于直线y=x偶对称,则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。 其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。 2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用 设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx,其中L为光滑的有向曲线弧,如果L关于某条直线(包括坐标轴)对称,这时利用对称性计算上述曲线积分时,不仅要考虑P(x,y)的大小和符号,还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时,投影元素为正,否则为负。一般地,我们有: 结论若积分曲线L关于某直线对称,记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一,则有: ①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号; ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。 对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。 3 对称性在曲面积分计算中的应用 3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要: 本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目;以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词: 曲面积分;曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节,是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度,给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析,并结合具体实例以及教材总结出其特点,得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?,其中a ,b 为正的常数,L 为从点A (2a ,0)沿曲线y=22ax x -到点o (0,0) 的弧. 方法一:利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????,P(x ,y),Q (x ,y )以及它们的一阶偏导数在D 上连续,L 是域D 的边界曲线,L 是按正向取定的. 解:添加从点o (0,0)沿y=0到点A (2a,0)的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- , 则由格林公式得:()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域,直接计算2I ,因为在1L 时,0y =,所以dy =0
数学分析第二型曲线积分
数学分析第二型曲线积分
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§2 第二型曲线积分 教学目的与要求: 掌握第二型曲线积分的定义和计算公式,了解第一、二型曲线积分的差别. 教学重点,难点: 重点:第二型曲线积分的定义和计算公式 难点:第二型曲线积分的计算公式 教学内容: 第二型曲线积分 一 第二型曲线积分的意义 在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ,求力),(y x F 所作的功(图220-)。 为此在曲线B A ) 内插入1-n 个分点121,,,-n M M M Λ,与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A ) 分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i Λ=-,若记小曲线段i i M M 1-的弧长为 i s ?,则分割T 的细度为 i n i s T ?=≤≤1max 。 设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么 )),(),,((),(y x Q y x P y x F =。 又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=?i i i x x x 与1--=?i i i y y y ,其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标,记 ),(1i i M M y x L i i ??=-, 于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i i i i i i M M i i i y Q x p L F W i i ?+?=?≈-),(),(),(1ηξηξηξ, 其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。因而力),(y x F 沿曲线B A ) 所作的功近似的等于 ∑∑∑===?+?≈=n i i i i n i i i i n i i y Q x p W W 1 1 1 ),(),(ηξηξ 当细度0→T 时,上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。
高等数学-积分对称性
二重积分的对称性: ??=D d y x f I σ),( ⑴若D 关于y 轴)0(=x 对称, ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I , ②若),,(),(y x f y x f =-则??=1 ),(2D d y x f I σ,1 D :0≥x ⑵若D 关于x 轴)0(=y 对称, ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I , ②若),,(),(y x f y x f =-则??=2 ),(2D d y x f I σ,2 D :0≥y 三重积分的对称性: ???Ω =dv z y x f I ),,( ⑴若Ω关于xoy 面)0(=z 对称, ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1 ,),,(21 Ω=???Ωdv z y x f I :0≥z ⑵若Ω关于yoz 面)0(=x 对称, ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2 ,),,(22 Ω =???Ωdv z y x f I :0≥x ⑶若Ω关于xoz 面)0(=y 对称, ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2 3 Ω =???Ωdv z y x f I : 0≥y 轮换对称性: 设Ω关于z y x ,,具有轮换对称性(既若Ω∈),,(z y x ,则将 z y x ,,任意互换后的点也属于Ω),则被积函数中的自变量可以任意轮换 而不改变积分值: ???Ω dv z y x f ),,(???Ω =dv x z y f ),,(???Ω =dv x y z f ),,( 特别:???Ω dv x f )(???Ω =dv y f )(???Ω =dv z f )( 从而 3)]()()([=++???Ω dv z f y f x f ???Ω dv x f )(
对称性在各种积分中的定理
对称性在积分计算中的应用 定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续,且D 关于 x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数, 即),(),(y x f y x f -=-,D y x ∈),(, 则(,)0D f x y d σ=??;如果),(y x f 是关于y 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-, D y x ∈),(,则1 (,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域. 同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形. 则由定理2.1.1知32sin 0D y xd σ=??. 由定理2.1.1可得如下推论. 推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续,若积分区域D 既关于x 轴对称,又关于y 轴对称,则 ⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数,则1 (,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是区域D 在第一象限的部分,{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥. ⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数,则(,)0D f x y d σ=??. 当积分区域关于原点对称时,我们可以得到如下的定理. 定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续,且D 关于 原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--,(,)x y D ∈,则(,)0D f x y d σ=??;如果),(),(y x f y x f =--,(,)x y D ∈,则1 2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==??????,其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥,{}2(,)|0D x y D y =∈≥. 为了叙述的方便,我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义. 定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域(或光滑平面曲线段),如果对于任意(,)x y D ∈,存在(,)y x D ∈,则称区域D (或光滑平面曲线段)关于y x ,具
重积分积分区域的对称性
重积分积分区域的对称 性 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy =+??,其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴 对称,且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 有 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理13()0D f xy y dxdy +=?? . 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例6 计算2,D I x ydxdy =??其中D 为由 22;-220y x y x y =+=+=及所围。 解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且 2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴的 偶函数,由对称性定理结论有: 1 1 22 22200 22215 x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+==== ?????? .
关于积分对称性定理
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数, 为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分 ()()()()2 0, ,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数.
其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。 3、三重积分: (1)若()z y x f ,,为闭区域Ω上的连续函数,空间有界闭区域Ω关于xoy 坐标面对称,1Ω为Ω位于xoy 坐标面上侧0≥z 的部分区域,则
对称性在积分中的应用
对称性在积分中的应用 摘要:对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化,把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用,并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决,反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性,往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果. 关键词:积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录 一、引言 二、相关对称的定义 (一)区域对称的定义 (二)函数对称性定义 (三)轮换对称的定义 三、重积分的对称性 (一)定积分中的对称性定理及应用(二)二重积分中的对称性定理及应用(三)三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性 (一)第一曲线积分的对称性定理及应用(二)第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性 (一)第一曲面积分的对称性定理及应用(二)第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结 参考文献 谢词
一、 引言 积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义. 二、相关的定义 定义1: 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对 称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称,称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称(显然 当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称). 定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称, 称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈,则D 关于直线z y ±=对称. 注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称;平面曲线关于平行于坐标轴的直线 对称;平面曲面以平行于坐标面对称,也有以上类似的定义. 空间对称区域. 定义3:(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对 称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性. (2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同 的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性. (3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有 轮换对称性. 定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于 a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,
积分中的对称性
积分中的对称性 个结论。 【关键词】积分;轮换对称性;奇对称;偶对称 在积分的计算过程中,当积分区域具有某种对称性时,如果被积函数具有某种特性,这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面:积分区域关于坐标轴(或坐标面)的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域,所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时,有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中,我们有下面所熟悉结论: 若f(x)在闭区间[-a, a]上连续,则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质,可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x, y)dσ方面的应用。 结论1: 若f(x, y)在区域D内可积,且区域D关于y轴(或x轴)对称,则有 ① Df(x, y)dσ=0, f(x)为关于x(或y)的奇函数。 ② Df (x, y)dσ=2D1f(x, y)dσ,f(x, y)为关于x(或y)的偶函数。 其中D1为区域D被y轴(或x轴)所分割的两个对称区域之一。 结论2: 若f(x, y)在区域D内可积,且区域D关于原点成中心对称,则有: ① Df(x, y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x, y),即f(x, y)关于原点成奇对称; ② Df(x, y)dσ=2D1f(x, y)dσ=2 D2f(x, y)dσ,f(-x,-y)=f(x, y),即f(x, y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称,且D1+D2=0。 结论3 若f(x, y)在区域D内可积,且区域D关于直线L对称,则有: ① Df(x, y)dσ=0,f(x, y)关于直线L奇对称; ② Df(x, y)dσ=2 D1f(x, y)dσ,f(x, y) 关于偶对称。 其中D1为区域D被直线L所分割的两个对称区域之一。 说明:若对D内关于直线L对称的任意两点P、Q,都有f(P)=-f(Q),(f(P)=f(Q)),则称f(x, y)关于直线L奇(偶)对称。 特别地,若区域D关于直线y=x对称,则当点(x, y)∈D时,有(y, x)∈D,这时积分区域D关于x、y具有轮换对称性。这时我们有: Df(x, y)dσ=12D[f(x, y)+f(y, x)]dσ
二重积分积分区域的对称性资料讲解
二重积分积分区域的 对称性
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =???? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy =+??,其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对 称,且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理1有 3()0D f xy y dxdy +=??. 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 22(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ?-=?=??-=? ????当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例6 计算2,D I x ydxdy =??其中D 为由 22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴的偶函数,由对称性定理结论有: 11222220022215 x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====??????. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴和y 轴都对称,则 (1)当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . (2)当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有 1 (,)4(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =???? 其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分()D I x y dxdy = +??,其中D :1x y +≤ . 解:如图所示,D 关于x 轴和y 轴均对称,且被积分 函数关于x 和y 是偶函数,即有 (,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=,由定理2,得 1 ()4()D D I x y dxdy x y dxdy =+=+???? 其中1D 是D 的第一象限部分,由对称性 知,11D D x dxdy y dxdy = ????, 故14()D I x y dxdy =+??14()D x x dxdy =+??1 8D x dxdy =??43= . 情形二、积分区域D 关于原点对称 定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足 1)(,)(,)f x y f x y --=时,有1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =????