中考数学压轴题剖析

云南省初中学业水平考试压轴题汇集

1．（9分）（2015?云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

专题：综合题．

分析：（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；

（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，分别求出P的坐标即可．

解答：解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，

∴在R t△BOC中，根据勾股定理得：OB==4，即B（4，0），

把B与C坐标代入y=kx+n中，得：，

解得：k=﹣，n=3，

∴直线BC解析式为y=﹣x+3；

由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，

把C（0，3）代入得：a=，

则抛物线解析式为y=x2﹣x+3；

（2）存在．

如图所示，分两种情况考虑：

∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，

∴其对称轴x=﹣=﹣=．

当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形，

∵直线BC的斜率为﹣，

∴直线PC斜率为，

∴直线PC解析式为y﹣3=x，即y=x+3，与抛物线对称轴方程联立得，

解得：，

此时P（，）；

当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，

同理得到直线P′B的斜率为，

∴直线P′B方程为y=（x﹣4）=x﹣，与抛物线对称轴方程联立得：，解得：，

此时P′（，﹣2）．

综上所示，P（，）或P′（，﹣2）．

2.如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D 匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t

（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与

PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）Q（1，0）···························· 1分点P运动速度每秒钟1个单位长度．··································· 2分（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，4

OF BE

==．

∴1046

AF=-=．

在Rt△AFB中，22

8610

AB=+= 3分

过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．

∵90,

ABC AB BC

∠=?=∴△ABF≌△BCH．A

C D

P y

∴6,8BH AF CH BF ====．

∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．

∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ．

∴

AP AM MP AB AF BF ==． 1068

t AM MP

∴==． ∴34

AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．

设△OPQ 的面积为S （平方单位）

∴213473

(10)(1)5251010

S t t t t =?-+=+-（0≤t ≤10） ·············· 5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

∵3

10a =-

<0 ∴当474710

362()10

t =-=

?-时， △OPQ 的面积最大． ········ 6分此时P 的坐标为（

9415，53

）． ······················ 7分（4）当 53t =或295

t =时， OP 与PQ 相等．

3、直线3

64y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，

同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．

（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；

（3）当48

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

解（1）A （8，0）B （0，6） ····· 1分（2）86OA OB ==， 10AB ∴=

点Q 由O 到A 的时间是

=（秒） ∴点P 的速度是

610

+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，

2S t = ·································· 1分

当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由

PD AP BO AB =

，得4865

PD -=， ········· 1分 21324

255

S OQ PD t t ∴=?=-+ ······················ 1分

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）82455P ?? ???

， ······························ 1分

12382412241224555555I M M 2??????-- ? ? ??????

?，，，，， ················ 3分

4如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P .

（1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形

解：（1）⊙P 与x 轴相切.

∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），

与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =PA =8+k .

在Rt△AOP 中，k 2+42=(8+k )2

， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.

（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P

在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .

∵△PCD为正三角形，∴DE=1

CD=

，PD=3，

∴PE

∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，

∴2

AO PE

AB PB PB

=，

∴PB=

∴8

PO BO PB

=-=

∴8)

P-，

∴8

k=-.

当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,

－8)，

∴k=

8，

∴当k

－8或k=

－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.

5.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC

∥，E是AB的中点，过点E作EF BC

∥

交CD于点F．46

AB BC

，，60

B=?

∠.

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF

⊥交BC于点M，过M作MN AB

∥交折线ADC于点N，连结PN，设EP x

①当点N在线段AD上时（如图2），PMN

△的形状是否发生改变若不变，求出PMN

△的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN

△为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

A D A D

A D

图1图2

A D

图3

A D

（第25题）

解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分

∵E 为AB 的中点，

∴1

BE AB ==．

在Rt EBG △中，60B =?∠，∴30BEG =?∠． ··· 2分

∴1

BG BE EG ====，即点E 到BC

··········· 3分

（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =

，PM EG ==

同理4MN AB ==． ·························· 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠．

∴122

PH PM =

= ∴3

cos302

MH PM =?=．

则35

422

NH MN MH =-=-=．

在Rt PNH △

中，PN === ∴PMN △的周长

=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．

当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．

类似①，3

MR =

． ∴23MN MR ==．

··························· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．

此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分

图3

A D E B

图4

D E

B F C

M N 图5

A D E

B F （P ） C

N G

图1

A D E B

F C

图2

A D E

F C

G H

当MP MN =时，如图4，这时3MC MN MP ===．

此时，61353x EP GM ===--=-．

当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==?∠∠．

则120PMN =?∠，又60MNC =?∠， ∴180PNM MNC +=?∠∠．

因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =?=．

此时，6114x EP GM ===--=．

综上所述，当2x =或4或()

53-时，PMN △为等腰三角形． ······ 10分 6．（9分）（2014年云南省）已知如图平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别为A （3，0）、B （3，4）、C （0，4）．点D 在y 轴上，且点D 的坐标为（0，﹣5），点P 是直线AC 上的一动点．

（1）当点P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式（关系式）；

（2）当点P 沿直线AC 移动时，过点D 、P 的直线与x 轴交于点M ．问在x 轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点M 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、R （R ＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的半径长为

，过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E 、F ．请

探求在动圆P 中是否存在面积最小的四边形DEPF 若存在，请求出最小面积S 的值；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．

专题：综合题；存在型；分类讨论．

分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．

（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．

解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．

∵PH∥OA，

∴△CHP∽△COA．

∴==．

∵点P是AC中点，

∴CP=CA．

∴HP=OA，CH=CO．

∵A（3，0）、C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∴HP=，CH=2．

∴OH=2．

∵PH∥OA，∠COA=90°，

∴∠CHP=∠COA=90°．

∴点P的坐标为（，2）．

设直线DP的解析式为y=kx+b，

∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，

∴

∴直线DP的解析式为y=x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，

∵△DOM∽△ABC，

∴=．

∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），

∴BC=3，AB=4，OD=5．

∴=．

∴OM=．

∵点M在x轴的正半轴上，

∴点M的坐标为（，0）

②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，

∵△DOM∽△CBA，

∴=．

∵BC=3，AB=4，OD=5，

∴=．

∴OM=．

∵点M在x轴的正半轴上，

∴点M的坐标为（，0）．

综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，

∴AC=5．

∴PE=PF=AC=．

∵DE、DF都与⊙P相切，

∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．

∴S△PED=S△PFD．

∴S四边形DEPF=2S△PED

=2×PE?DE

=PE?DE

=DE．

∵∠DEP=90°，

∴DE2=DP2﹣PE2．

=DP2﹣．

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：

当DP⊥AC时，DP最短，

此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，

∴∠DPC=90°．

∴∠AOC=∠DPC．

∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，

∴△AOC∽△DPC．

∴=．

∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，

∴=．

∴DP=．

∴DE2=DP2﹣

=（）2﹣

=．

∴DE=，

∴S四边形DEPF=DE

=．

∴四边形DEPF面积的最小值为．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．