八年级数学上册三角形解答题单元培优测试卷
八年级数学上册三角形解答题单元培优测试卷
一、八年级数学三角形解答题压轴题(难)
1.小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论:
(1)如图①, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是;
(2)如图②, ∠A=∠C=90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是;
(3)如图③, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.
【答案】(1)BE⊥DE;(2)BE//DF;(3)BE⊥DE.证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由∠A=∠C=90°可以得到∠HDC=∠AB H,设∠HDC=∠AB H=x,可得∠HDG=
∠CDG=∠FB H=∠AB F=1
2
x,则有∠CDG+∠CGD=90°,由∠CGD=∠BGE,可得
∠BGE+∠FBE=90°,即BE⊥DE;
(2) 由∠A=∠C=90°可以得到∠HDC=∠AB H,设∠HDC=∠AB H=x,可得∠EB H=∠AB E=1 2 x,
则∠DGE=90°+1
2
x,∠CDM=180°-x,由DF平分∠CDM,则∠CDF=
1
2
(180°-x),所以
∠CDF+∠HDC=1
2
(180°-x),然后运用同位角相等,即可证明;
(3)设∠BFA=∠C FD=x,由∠A=∠C=90°可以得到∠EBC=∠FDN=90°+x,由根据题意可
得:∠EDF=∠EBF=1
2
(90°+x);且∠BFD=180°+x,最后用四边形内角和,求出
∠BED=90°,完成证明.【详解】
解:(1)BE⊥DE,理由如下:
∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA
∴∠HDC=∠AB H
设∠HDC=∠AB H=x
∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E
∴∠HDG=∠CDG=∠FB H=∠AB F=1 2 x
又∵∠CDG+∠CGD=90°,∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°,即BE⊥DE;(2)
DF∥AB,理由如下:
∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA
∴∠HDC=∠AB H
∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA
∴∠HDC=∠AB H
∵BE平分∠ABH,
∴∠EB H=∠AB E=1 2 x
∴∠DGE=90°+1 2 x
∵∠CDM=180°-x,DF平分∠CDM
∴∠C DF=1
2
(180°-x)=90°-
1
2
x
∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1
2
x+x=90°+
1
2
x
∴∠DGE=∠HDF
∴DF∥AB
(3)
BE⊥DE,证明如下:
设∠BFA=∠CFD=x,
∵∠A=∠C=90°
∴∠EBC=∠FDN=90°+x,
∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E
∴∠EDF=∠EBF=1
2
(90°+x)
又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x
∴∠BFD=360°-1
2
(90°+x)-
1
2
(90°+x)-(180°-x)=90°
即BE⊥DE
【点睛】
本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识,考查知识点简单,但过程复杂,难度较大,运用方程思想是一个不错的方法.
2.(问题探究)
将三角形ABC 纸片沿DE 折叠,使点A 落在点A '处.
(1)如图,当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时,直接写出A ∠与1∠之间的数量关系;
(2)如图,当点A 落在四边形BCDE 的内部时,求证:122A ∠+∠=∠;
(3)如图,当点A 落在四边形BCDE 的外部时,探索1∠,2∠,A ∠之间的数量关系,并加以证明;
(拓展延伸)
(4)如图,若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠,使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点
A '、D 的位置,请你探索此时1∠,2∠,A ∠,D ∠之间的数量关系,写出你发现的结
论,并说明理由.
【答案】【问题探究】(1)∠1=2∠A ;(2)证明见详解;(3)∠1=2∠A+∠2;【拓展延伸】(4)()212360A D ∠+∠=∠+∠+?.
【解析】 【分析】
(1)运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题, (2)运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题, (3)运用三角形的外角性质即可解决问题,
(4)先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD,再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解. 【详解】
解:(1)如图,∠1=2∠A .
理由如下:由折叠知识可得:∠EA′D=∠A ; ∵∠1=∠A+∠EA′D ,∴∠1=2∠A .
(2)∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°,
由四边形的内角和定理可知:∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°, ∴∠A′+∠A=∠1+∠2, 由折叠知识可得∠A=∠A′, ∴2∠A=∠1+∠2.
(3)如图,∠1=2∠A+∠2
理由如下:∵∠1=∠EFA+∠A ,∠EFA=∠A′+∠2, ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2,
(4)如图,
根据翻折的性质,()3181201∠=-∠,()4181
2
02∠=-∠, ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=?,
∴()()180118023601122
A D ∠+∠+
-∠+-∠=?, 整理得,()212360A D ∠+∠=∠+∠+?. 【点睛】
本题考查了折叠的性质,三角形外角性质,三角形内角和定理及四边形内角和的应用,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.
3.已知:线段AB ,以AB 为公共边,在AB 两侧分别作ABC ?和ABD ?,并使
C D ∠=∠.点E 在射线CA 上.
(1)如图l ,若AC BD ,求证:AD BC ∥;
(2)如图2,若BD BC ⊥,请探究DAE ∠与C ∠的数量关系,写出你的探究结论,并加以证明;
(3)如图3,在(2)的条件下,若BAC BAD ∠=∠,过点D 作DF BC ∥交射线于点
F ,当8DFE DAE ∠=∠时,求BAD ∠的度数.
【答案】(1)见详解;(2)DAE ∠+2C ∠=90°,理由见详解;(3)99°. 【解析】 【分析】
(1)根据平行线的性质和判定定理,即可得到结论;
(2)设CE 与BD 交点为G ,由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ,由
BD BC ⊥,得∠CGB+∠C=90°,结合C D ∠=∠,即可得到结论;
(3)设∠DAE=x ,则∠DFE=8x ,由DF BC ∥,DAE ∠+2C ∠=90°,得关于x 的方程,求出x 的值,进而求出∠C ,∠ADB 的度数,结合∠BAD=∠BAC ,即可求解. 【详解】
(1)∵AC
BD ,
∴∠C+∠CBD=180°, ∵C D ∠=∠, ∴∠D+∠CBD=180°, ∴AD BC ∥;
(2)DAE ∠+2C ∠=90°,理由如下: 设CE 与BD 交点为G , ∵∠CGB 是?ADG 的外角, ∴∠CGB=∠D+∠DAE , ∵BD BC ⊥, ∴∠CBD=90°,
∴在?BCG 中,∠CGB+∠C=90°, ∴∠D+∠DAE+∠C=90°, 又∵C D ∠=∠, ∴DAE ∠+2C ∠=90°; (3)设∠DAE=x ,则∠DFE=8x , ∴∠AFD=180°-8x , ∵DF BC ∥,
∴∠C=∠AFD=180°-8x , 又∵DAE ∠+2C ∠=90°,
∴x+2(180°-8x)=90°,解得:x=18°, ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB , 又∵∠BAD=∠BAC ,
∴∠ABC=∠ABD=
1
2
∠CBD=45°, ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理,三角形的内角和定理与外角的性质,掌握平行线的性质和三角形外角的性质,是解题的关键.
4.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形 个.
(2)若 BD ,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论.
(3)若 BD ,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论.
【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+ 1
2
x ) ;(3)(180-x ). 【解析】 【分析】
本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知∠ABC=
180-2
x
,根据角平分线的性质可以求出∠BHC,根据高线的性质可知∠CDB =∠BEC =90o,再次利用三角形内角和定理可以求答案 【详解】
解:(1)图中共有三角形 8 个;
(2)∠BHC=(90+ 1
2
x )度.
∵BD,CE 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线,
∴∠BHC=180o-∠HBC-∠HCB=180o-1
2
(∠ABC+∠ACB)= (90+
1
2
x )度.
(3)∠BHC=(180-x)度,
∵BD,CE 为△ABC 的高线,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠CDB=∠BEC=90o,
∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180°
∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°
∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360°
∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180°
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∠BCH+∠CBH=180°-∠BHC
∴180°-∠A+180°-∠BHC=180°
∴∠BHC=(180-x)度
【点睛】
本题的关键是掌握三角形内角和定理
5.操作示例:如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1=S2.
解决问题:在图2中,点D、E分别是边AB、BC的中点,若△BDE的面积为2,则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸:
(1)如图3,在△ABC中,点D在边BC上,且BD=2CD,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1与S2之间的数量关系为.
(2)如图4,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接BE、CD交于点O,且
BO=2EO,CO=DO,若△BOC的面积为3,则四边形ADOE的面积为 .
【答案】解决问题:6;拓展延伸:(1)S1=2S2(2)10.5
【解析】
试题分析:解决问题:连接AE,根据操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,从而得到结论;
拓展延伸:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,从而得到△ABE的面积=△AED的面
积=△ADC的面积,由此即可得到结论;
(2)连接AO.则可得到△BOD的面积=△BOC的面积,△AOC的面积=△AOD的面积,
△EOC的面积=△BOC的面积的一半,△AOB的面积=2△AOE的面积.设△AOD的面积=a,△AOE的面积=b,则a+3=2b,a=b+1.5,求出a、b的值,即可得到结论.
试题解析:解:解决问题
连接AE.∵点D、E分别是边AB、BC的中点,∴S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC.∵S△BDE
=2,∴S△ADE =2,∴S△ABE=S△AEC=4,∴四边形ADEC的面积=2+4=6.
拓展延伸:
解:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2,∴S1=2S2.
(2)连接AO.∵CO=DO,∴△BOD的面积=△BOC的面积=3,△AOC的面积=△AOD的面积.∵BO=2EO,∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5,△AOB的面积=2△AOE的面积.设△AOD的面积=a,△AOE的面积=b,则a+3=2b,a=b+1.5,解得:a=6,b=4.5,∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5.
6.根据题意解答:(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D.(2)阅读下面的内容,并解决后面的问题:如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数.
解:∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2,∠3=∠4
由(1)的结论得:∠P+∠3=∠1+∠B①,∠P+∠2=∠4+∠D②,①+②,得
2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P= 1
2
(∠B+∠D)=26°.
①如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若
∠ABC=36°,∠ADC=16°,请猜想∠P的度数,并说明理由.
②在图4中,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,直接写出结论,无需说明理由.
③在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,直接写出结论,无需说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①∠P=26゜;②∠P=180°﹣1
2
(∠B+∠D);
③∠P=90°+ 1
2
(∠B+∠D).
【解析】
试题分析:(1)根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证;
(2)根据角平分线的定义可得∠1=∠2,∠3=∠4,再根据(1)的结论列出整理即可得解;①表示出∠PAD和∠PCD,再根据(1)的结论列出等式并整理即可得解;
②根据四边形的内角和等于360°,可得
(180°﹣∠1)+∠P+∠4+∠B=360°,∠2+∠P+(180°﹣∠3)+∠D=360°,然后整理即可得解;
③根据(1)的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD,∠PAD+∠P=∠D+∠PCD,然后整理即可得解.
试题解析:(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180゜,
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD.∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D.
(2)①∠P=26゜.∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角
∠BCE,∴∠1=∠2,∠3=∠4.由(1)的结论得:∠PAD+∠P=∠PCD+∠D
①,∠PAB+∠P=∠PCB+∠B
②,∵∠PAB=∠1,∠1=∠2,∴∠PAB=∠2,∴∠2+∠P=∠3+∠B③,①+③得
∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D,即
2∠P+180°=∠B+∠D+180°,∴∠P=1
2
(∠B+∠D)=26°.
②如图4,∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角
∠BCE,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴(180°﹣2∠1)+∠B=(180°﹣2∠4)+∠D,在四边形APCB中,(180°﹣∠1)+∠P+∠4+∠B=360°,在四边形APCD中,
∠2+∠P+(180°﹣∠3)+∠D=360°,∴2∠P+∠B+∠D=360°,∴∠P=180°﹣1
2
(∠B+∠D)
;
③如图5,∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角
∠BCE,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵(∠1+∠2)+∠B=(180°﹣2∠3)+∠D,∠2+∠P=(180°
﹣∠3)+∠D,∴2∠P=180°+∠D+∠B,∴∠P=90°+ 1
2
(∠B+∠D).
点睛:本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,准确识图并运用好“8字形”的结论,然后列出两个等式是解题的关键,用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观.
7.我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在两射线上.
活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.
数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗?答:.(填“能“或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.则θ=度;
活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1.
数学思考:
(3)若只能摆放5根小棒,求θ的范围.
【答案】(1)能.(2)θ=22.5;(3) 15°≤θ<18°.
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件:小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可;
(2)根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果;
(3)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组,解不等式组即得结果.
【详解】
(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上,
∴小棒能继续摆下去;
(2)∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3,
∴∠A2A1A3=45°,
∴∠AA2A1+∠θ=45°,
∵∠AA2A1=∠θ,
∴∠θ=22.5°;
(3)如图乙,∵A2A1=A2A3,∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°,
∵A2A3=A4A3,∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°,
∵A4A3=A4A5,∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°,
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质,可得6θ?90°,5θ<90°,
∴15°?θ<18°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质,根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.
8.(1)如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系?为什么?
(2)把图①△ABC沿DE折叠,得到图②,填空:∠1+∠2_______∠B+∠C(填
“>”“<”“=”),当∠A =40°时,∠B +∠C +∠1+∠2=______. (3)如图③,是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的,如果∠A =30°,则
x +y =360°-(∠B +∠C +∠1+∠2)=360°- = ,猜想∠BDA +∠CEA 与∠A 的关系为
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
试题分析:(1)根据三角形内角是180度可得出,∠1+∠2=∠B+∠C ;(2)△ABC 沿DE 折叠,∠1+∠2=∠B+∠C ,从而求出当∠A=40°时,∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°,(3)根据以上计算可归纳出一般规律:∠BDA+∠CEA=2∠A . 试题解析:
解:(1)∠1+∠2 = ∠B+∠C ,理由如下: 在△ADE 中,∠1+∠2 = 180°- ∠A 在△ABC 中,∠B+∠C = 180°- ∠A ∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C
(2)∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°,∴∠1+∠2=∠B+∠C ,当∠A=40°时,∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°
(3)如果∠A=30°,则x+y=360°-(∠B+∠C+∠1+∠2)=360°-300°=60°,所以∠BDA+∠CEA 与∠A 的关系为:∠BDA+∠CEA=2∠A.
考点:1.翻折变换(折叠问题);2. 三角形内角和. 【详解】
请在此输入详解!
9.如图①.ABC 中,AB AC =,P 为底边BC 上一点,PE AB ⊥,PF AC ⊥,
CH AB ⊥,垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下:
如图①,连接AP .∵PE AB ⊥,PF AC ⊥,CH AB ⊥,∴1
2
ABP
S
AB PE =
?,1
2
ACP
S
AC PF =
?,1
2
ABC
S AB CH =
? 又∵ABP
ACP
ABC
S
S
S
+=,∴AB PE AC PF AB CH ?+?=?
∵AB AC =,∴PE PF CH +=.
如图②,P 为BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明.
【答案】PE PF CH -= 【解析】 【分析】
参考题设的证明过程,主要思路就是等面积法:ABP
ACP
ABC
S S
S
+=,同样,P 为BC
延长线上的点时,也可以用类似的等面积法:ABP
ACP
ABC
S S
S
=-,即可得出结论.
【详解】
∵PE AB ⊥,PF AC ⊥,CH AB ⊥,∴1
2
ABP
S
AB PE =
?,1
2
ACP
S AC PF =
?,1
2
ABC
S
AB CH =
? 又∵ABP
ACP
ABC
S
S
S
=-,∴AB PE AC PF AB CH ?-?=?
∵AB AC =,∴PE PF CH -=. 故答案为:PE PF CH -=. 【点睛】
本题考查几何图形中等面积法的应用,读懂题目,灵活运用题设条件是解题的关键.
10.已知,如图甲,在△ABC 中,AE 平分∠BAC(∠C>∠B ),F 为AE 上一点,且FD⊥BC 于D .
(1)试说明:∠EFD=(∠C﹣∠B);
(2)当F 在AE 的延长线上时,如图乙,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
【答案】(1)见详解;(2)成立,证明见详解.【解析】
【分析】
(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到
∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
(180°﹣∠B﹣∠C)=90°﹣1
2
(∠B+∠C),然后根据三角形的外角的
性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE,求得∠FEC,再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论;
(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+1
2
(∠B﹣∠C),根据对顶角相等即可求得∠DEF,然后利
用直角三角形的两个锐角互余即可求解.【详解】
解:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
(180°﹣∠B﹣∠C)
=90°﹣1
2
(∠B+∠C),
∵∠FEC=∠B+∠BAE,
则∠FEC=∠B+90°﹣1
2
(∠B+∠C)
=90°+1
2
(∠B﹣∠C),
∵FD⊥EC,
∴∠EFD=90°﹣∠FEC,
则∠EFD=90°﹣[90°+1
2
(∠B﹣∠C)]
=1
2
(∠C﹣∠B);
(2)成立.
证明:同(1)可证:∠AEC=90°+1
2
(∠B﹣∠C),
∴∠DEF=∠AEC=90°+1
2
(∠B﹣∠C),
∴∠EFD=90°﹣[90°+1
2
(∠B﹣∠C)]
=1
2
(∠C﹣∠B).
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质,命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查,这样更能训练学生的解题能力.