伴随矩阵

定义

A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

1.把A的每个元素都换成它的代数余子式；

（代数余子式定义：在一个n级行列式D中,把元素第i行第j列元素

aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下

为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j) Mij. ）

2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，

即：n阶方阵的伴随矩阵A*为

A11 A21 A31....An1

A12.................. An2

A13 ..................An3

.... .....

A1n................ Ann

例如：A是一个2x2矩阵，

a11，a12

a21，a22

则A的伴随矩阵A* 为

a22,-a12

-a21, a11

（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j 列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）

伴随矩阵的性质：

原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如

1 2 3

2 2 1 ------->

3 4 3

+2 6 -4

-3 -6 5

2 2 -2

其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等

伴随矩阵的求法:

①当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.

非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的.

主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以

(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

常用的可以记一下：

a b

—— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a)

②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵.

3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反