第12讲 枚举法二
第12讲枚举法二
内容概述
巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法。
典型问题
兴趣篇
1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？
2. 汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？
3. 老师让小明写出3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不算同一种写法，例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法。请问：小明共有多少种不同的写法？
4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？
5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字相同，一共有多少个满足条件的三位数？
6. 如图12-1，一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？
7. 5块六边形的地毯拼成了图12-2中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上，如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？
8. 在图12-3中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？
9. 如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多少种不同的付款办法？（不考虑找钱的情况）
10. 有一类小于1000的自然数，每个数由若干个1和若干个2组成，并且在每个数中，1的个数比2的个数多，这样的数一共有多少个？
拓展篇
1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？
2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多。请问：每个人可能吃了几根薯条？
3. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。如果两个同学写出的的3个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
4. 费叔叔准备去打羽毛球，他拿了3个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球，他数了一下，发现3个球桶里面一共有16个羽毛球。请问：3个球桶里面有可能分别有几个羽毛球？
5. 商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，……，11，12元。小悦准备买3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？
6. 费叔叔提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位数比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字。请问：费叔叔最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？
7. 常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？
8. 从图12-4的左下角的A点走到右上角的B点，如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？如果要求只要不走重复的路线就可以，那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法？
9. 妈妈买来了7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字1、2、3。小悦可以用这些木板拼出多少个不贩数？
11. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个，冬冬想要挑3个水果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？
12. (1)如图12-5（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每一小段的长度都是1厘米。试问：小蚂蚁爬了2厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在图上标出来。（2）如图12-5（b），方格纸上每一小段的长度也是1厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了3厘米之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？
超越篇
1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多，请问：两种福娃的个数可能有多少种不同的情况？
2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边长是8厘米，这样的三角形共有多少种？
3. 有19本书，分成5份，如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？
4. 在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对底特律活塞队，比赛采用7场4胜制，每胜一场会获得1分的积分。最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4：2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？
5. 甲、乙、丙三个人传球，第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过4次传球后，球正好回到甲手中，那么一共有多少种不同的传球方式？
6. 如图12-6，现在要从图中的A点走到B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走
法？
7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图12-7所示。一段时间后，他们觉得每天坐同样的位置太无聊，每人都想要换到与原来的座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、已六位同学的座位如图12-8所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
8. 如图12-9，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走法？
列表枚举法(二年级培优)学生版
将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃,这种归纳方法叫做枚举法。 如右图所示，ABCD是一个正方形，沿着图中线段从A到D的最短路线共有多少条？请画出来。 备用图 下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着线段爬到F 点。行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动。问这只甲虫有多少种不同的走法？
把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请列出。 将15分拆成不大于9（0除外）的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请列出。 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两 天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文。这五天作业他共有多少种不同的安排？ 小胖有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
12枚硬币的总值是4元，其中只有5角和1角的两种，问每种硬币各多少个？ 有四种不同面值的游戏币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？ 在一个停车场上，停着小轿车和摩托车一共12辆，这些车一共有40个轮 子。求小轿车和摩托车各有多少辆？ 笼子中有一些鸡和兔，小红数了数，它们的头共有15个，它们的脚共有40只。请小朋友算一算，笼子中鸡和兔各有多少只？
小马虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小马虎错装的情况共有多少种可能？ 如下图所示，从A地到B地，最近的道路有多少条？ 一个学生假期往A、B、C三个城市游览，相邻两天不在同一个城市，假如他第一 天在A市，第五天又回到A市。问他的游览路线共有几种不同的方案？ 三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组共有多少个？（1，2，12） 和（2，12，1）是同一数组。
枚举算法 练习题
1.用50元钱兑换面值为1元、2元、5元的纸币共25张。每种纸币不少于1张，求出有多少种兑换方案？每种兑换方案中1元、2元、5元的纸币各有多少张？ 假设面值为1元、2元、5元的纸币分别是x、y、z张，兑换方案有k种，从题意可得出x、y、z满足的表达式为 x+y+z=25 x+2y+5z=50 解决此问题的Visual Basic程序如下，在(1)和(2)划线处，填入合适的语句或表达式，把程序补充完整。 Private Sub Command1_Click() Dim k As Integer Dim x As Integer, y As Integer, z As Integer k = 0 List1.Clear For y = 1 To 23 For z = 1 To 9 x = 25 - y - z If (1) Then List1.AddItem "1元" + Str(x) + "张 2元" + Str(y) + "张 5元" + Str(z) + "张" ____(2)___________ End If Next z Next y Label1.Caption = "共有" + Str(k) + "种兑换方案" End Sub 程序中划线处(1)应填入_____________ 程序中划线处(2)应填入_____________ 2.以下Visual Basic程序的功能是：计算表达式1+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210的值，并在文本框Text1中输出结果。为了实现这一功能，程序中划线处的语句应更正为_____________。 Private Sub Command1_Click() Dim i As Integer,s As Long s = 0 k = 2 For i= 1 To 10 s = s + k k = k * 2 Next i Text1.Text=Str(s) End Sub
列表枚举
列表枚举 教学内容：二年级第二学期P71 教学目标： 知识与技能：初步了解枚举法，并能通过列表枚举的方法解决简单实际问题。过程与方法：通过尝试、探究、学会用列表枚举法一一找到不确定的答案。 情感、态度与价值观：感悟数学的实用价值，激发学习数学的兴趣。 教学过程： 一、情境引入： 1、师：我们先来做个游戏，猜猜它们是谁。 （出示一些动物的图片，只有腿）通过看腿猜动物。 （青蛙、鸭子、羊） 你是怎么马上就知道它们是什么动物的？ 2、引入：小朋友真聪明，从腿部特征一下就能猜出是什么动物，今天我们 就要运用小动物的只数以及它们腿的条数来解决的问题。 二、新授 1、根据确定的只数计算腿数 （1）（口答：大声的说出□里填的数。） 1只青蛙4条腿，2只青蛙□条腿。□只青蛙20条腿。（5是怎么算出来的？）1只鸭子2条腿，5只鸭子□条腿。（10是怎么算出来的？） □只鸭子16条腿。（8的算式怎么表示？） （2）出示：5只羊和3只鸭，共有□条腿？ 师：你是怎么算出来的？能用算式表示吗？ 根据生答，出示 5×4 3×2 20 ＋ 6 = 26（条） 师：原来你是先算出了羊的腿数，再算出了鸭的腿数，最后把它们的腿数相加，所以求总腿数就是怎么求呢？
（板书：羊的总腿数+鸭的总腿数=总腿数） 师：今天，我们也要运用这个数量关系来解决问题。 2、根据不确定的只数算腿数 小胖也在算关于动物和腿的问题，他遇到困难了，你能帮助他吗？ （出示图片） 羊和鸭共有4只 一共有（）条腿 （1）师：一共有（）条腿？你能马上算出来吗？ 预设生：先要确定羊和鸭的只数。 根据生答，出示：□只羊和□只鸭， 师：想一想，现在，羊的只数和鸭的只数可不可以随便填呢？为什么不能随便填？ 预设生：要考虑他们一共有4只。 （2）我们在解决问题之前一定要审清题目的意思。请大家动笔完成。 （巡视，找到1种、2种或几种答案。） （3）反馈汇报。（根据学生的回答一一板书，不要按序。） 板书：羊的只数鸭的只数总腿数 （1）2只2只 2×4=8条2×2=4条12条 师：这种想法可以吗？你还有不同的想法吗？ （2）1只3只 1×4=4条3×2=6条10条 （3）3只1只 3×4=12条1×2=2条14条 师：三种想法都对吗？是不是都符合题目中的条件？
四年级奥数枚举法和列表法
枚举法 [知识要点] 一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。 运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 [典型例题] 例1 用7、4、2三张数字卡片，能排成多少个无重复数字的三位数,它们分别是哪几个数？ 例2 用数字2，4，5，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪几个数？其中最大、最小各是多少？ 例3 小明有面值为5角邮票一枚、8角的邮票两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数？）
2.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？ 3．把6支相同的铅笔分给3个小朋友，使每个小朋友都分到铅笔，那么有多少种不同的分法？ 4.用2张10元和1张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）？ 5.麦当劳推出一种优惠活动， 汉堡类有：A、鸡腿汉堡 B、麦辣鸡腿汉堡； 饮料类有：C、雪碧 D、可口可乐； 冰淇淋类有：（1）草莓冰淇淋（2）奶油冰淇淋 汉堡只能选一种，饮料只能选一种，冰淇淋只能选一种，每次各类选一种，有多少种不同的选择，它们分别是哪些？
1．用数字4，8，9，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪些数？ 2.用数字0，1，4可组成多少个无重复数字的三位数？分别哪些？ 3.由1角，2角，5角元的人民币各一张，一共可以组成多少种币值。（组成的钱数） 4.有7本相同的书，分别借给2名同学，每人至少借一本，有多少种不同的借法？
小学奥数专题枚举法_通用版
2019年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系a 排列组合问题(一) 枚举法 枚举法 导言： 当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法 使用枚举法计数时，要注意以下几点：①初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举 例1．现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里） 解析：按使用砝码的个数进行分类列举 （1）、若使用一个砝码能称：1克、2克、4克、10克，共4种重量物体 （2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10克，共6种重量 （3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共4种重量 （4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共1种重量物体 所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体 思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？ 例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币，从中取出9元，共有多少种不同的取法？ 解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来 从上面的列举中可以看出:取9元钱共有7种不同的取法 例3、从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？ 解析：可从小到大依次思考 ① 1+10 ② 2+9，2+10 ③ 3+8，3+9，3+10 ④ 4+7，4+8，4+9，4+10 ⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10 ⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10 ⑦ 7+8，7+9，7+10 ⑧ 8+9，8+10 ⑨ 9+10 计数枚举法例题讲解 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度） 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码： 2×90=180（个） 浅谈数学枚举法思想 【摘要】 数学思想方法是数学中的理性认识，是数学的本质，是数学中高度抽象概括的内容，它蕴含于数学问题的解决过程中，它从教学内容中抽象和概括出来，是数学知识的精髓，是知识转化成能力的桥梁。枚举法就是一种重要的数学解题思想。 【关键字】 枚举法数学思想解题思想 【正文】 19世纪数学家西尔维斯特指出：“置身于数学领域中不断地探索和追求，能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。”阿巴斯诺特说：“数学知识是思维增加活力，使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚。”塞劳尔说：“正如文学诱导人们的情感一样，数学则启发人们的想象与推理。”总之，数学能令人的思维纯净、和谐，会为思维增添活力。 著名的日本科学家米山国藏指出：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就忘了，深深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想研究方法和着眼点，这些都随时随地发生动作，使人们终身受益。”【１】数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法。枚举法、类比法、归纳法、分析法、综合法、化归法数学模型法等都是比较常见的数学思想方法，在这里，我将简单的谈一谈枚举法。 枚举法起源于原始的计数方法，即数数。在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事情的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结果是可靠的，这种方法叫做枚举法。从这里可以看出枚举法要将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。因而枚举法具有以下三个特点：第一，通过枚举法得到的结果肯定是正确的；第二，枚举法要将所有可能的答案列举出来，效率必然低下，浪费时间；第三，枚举法会涉及到求极值。 枚举法的这些特点，并不就意味着它是没有头绪的尝试、瞎蒙瞎撞，枚举法也有它的解题思路。首先要确定枚举对象、枚举范围和判定条件，其次要一一列举可能的解，验证是否是问题的正确的解。【2】 以百钱买鸡的题目为例，“一只公鸡，价值三元钱；一只母鸡，价值两元钱；三只小鸡，价值一元钱。百钱买百鸡，，问公鸡、母鸡、小鸡各可以买多少只？”这条题目很显然需要用枚举法来解答，枚举对象即为公鸡、母鸡、小鸡，将它们分别设为a、b、c，以三种鸡的总数a＋b＋c和买鸡用去的钱3a+2b＋（c÷3），并且a、b、c均为小于100的正整数作为判定条件枚举公鸡、母鸡、小鸡的个数。除此之外，三种鸡的总数是固定不变的，那么我们可以只枚举公鸡a和母鸡b，小鸡就可以根据约束条件求得为c=100-a-b，这样可以缩小枚举的范围，最终可通过分析枚举求得： 公鸡a 母鸡b小鸡c 枚举法（一） 本讲地位： 枚举法是学习计数知识的基础。而计数在竞赛中的地位是不言而喻的。学习好枚举法，能够锻炼有序思考的能力，对于培养思维的严谨性和逻辑性是很有帮助的。 (★★★) 有一天，金儿去摩比家找摩比一起去图书馆看书，而从金儿家到摩比家不能直接到达，必须要经过公园或阿宽家(如下图)，小朋友们找一找，从金儿家到摩比家共有几条路可以走？ 如下图，用小鸡身上的数字组成不同的两个三位数，使它们的和最小。注意每笔只能用一次哦！每个数字也只能用一次。 用分别写着7、8、9、0的四张卡片，可以组成多少个不同的四位数？(数字不能 重复使用哦！) 把4颗算珠放在计数器上，可以组成多少个数？ (★★★) (★★★) (★★★★) (★★★★★) 图中有多少个正方形？ (★★★★★) 博士家门前共有5级台阶。他发现每天上楼梯的方法都不相同，博士很想研究一下这个问题。如果规定一步只能登上一级或两级台阶，电脑前的小朋友帮他算一算上这个台阶共有多少种不同的走法？ 【梧桐总结】 1．一一列举的枚举方法 2．图形计数的枚举方法 3．数字拆分的枚举方法 4．字典枚举的思考方法 5．“兔子”数列的枚举方法 【梧桐小讲堂】 在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题。因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决的目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。枚举法的特点是有条理，不重复或不遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个数学计数问题。 列表枚举 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 列表枚举 教学内容：二年级第二学期P７１ 教学目标： 知识与技能:初步了解枚举法，并能通过列表枚举的方法解决简单实际问题。 过程与方法：通过尝试、探究、学会用列表枚举法一一找到不确定的答案。 情感、态度与价值观:感悟数学的实用价值，激发学习数学的兴趣。 教学过程: 一、情境引入： 1、师：我们先来做个游戏,猜猜它们是谁。 （出示一些动物的图片，只有腿）通过看腿猜动物。 (青蛙、鸭子、羊） 你是怎么马上就知道它们是什么动物的？ 2、引入：小朋友真聪明，从腿部特征一下就能猜出是什么动物,今天我们 就要运用小动物的只数以及它们腿的条数来解决的问题。 二、新授 1、根据确定的只数计算腿数 (1)(口答:大声的说出□里填的数。) 1只青蛙4条腿，2只青蛙□条腿。□只青蛙20条腿。（5是怎么算出来的?）１只鸭子2条腿,5只鸭子□条腿。（10是怎么算出来的？) □只鸭子16条腿。(8的算式怎么表示?) (２）出示：５只羊和3只鸭，共有□条腿? 师：你是怎么算出来的?能用算式表示吗？ 根据生答,出示 5×4 3×2 ２0 + ６ = ２6(条） 师：原来你是先算出了羊的腿数，再算出了鸭的腿数，最后把它们 的腿数相加，所以求总腿数就是怎么求呢? （板书：羊的总腿数＋鸭的总腿数=总腿数） 师:今天，我们也要运用这个数量关系来解决问题。 2、根据不确定的只数算腿数 小胖也在算关于动物和腿的问题，他遇到困难了，你能帮助他吗？ (出示图片） 羊和鸭共有4只 一共有( ）条腿 （1）师：一共有()条腿?你能马上算出来吗？ 预设生:先要确定羊和鸭的只数。 根据生答，出示：□只羊和□只鸭， 师：想一想，现在,羊的只数和鸭的只数可不可以随便填呢？为什么不能随便填？ 预设生:要考虑他们一共有4只。 (2)我们在解决问题之前一定要审清题目的意思。请大家动笔完成。 (巡视，找到1种、2种或几种答案。） （３)反馈汇报。（根据学生的回答一一板书，不要按序。） 板书: 羊的只数鸭的只数总腿数 (１) ２只2只 ２×4＝8条2×２＝４条12条师：这种想法可以吗？你还有不同的想法吗？ （2) 1只3只 1×4=4条3×2=6条10条(３) ３只１只 ３×4=1２条1×2＝２条１4条师：三种想法都对吗?是不是都符合题目中的条件？ 枚举方法举例 在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。为了便于掌握，根据这类题的特点，我们可以分成如下几类： 一、列表枚举 特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。 例1有一张伍圆币，4张贰圆币，8张壹圆币。要拿出8元，可以有多少种不同的拿法？ 分析与解答如果随便拿出8元，那是比较容易做到的。但要把所有的情况都想到，并且做到不重复、不遗漏，可以按伍圆、贰圆、壹圆的顺序来列表枚举。 二、画图枚举 为了更清楚地表示出所有可能的情形。用画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。特别适用于找出所有的情形或结果。 例2暑假里，一个学生在A、B、C三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他有几种不同的游览方案？ 分析与解答根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三天又可能是A 市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市……如此考虑，极可能会把自己弄糊涂了。但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案： 从树形图（图1）中可以看出：在三个城市游览，第五天回到A市，只有4种符合要求的方案。 三、标数枚举 例3如图2，在中国象棋盘上，红兵要走最短的距离到对方老将处，共有多少种不同的走法？ 分析与解答红兵要走最短的距离到老将处，只能向下向右。因此图2可简化为图3。兵走过第一排各点、第一列各点处都是1种走法，在各点处分别标上“1”；经过第二排、第二列各点时，走法则是它前边相邻两点走法的总和……依次标数如图4，共得到15种不同的走法。 运用该方法的关键，是要找准后面每一点的前面相邻两点的数目。 当然，此题还可以这样考虑：由题意可知，红兵到对方将处的各条最短路线中，都必须先后经过两小横段与四小竖段。这实际上是它们之间相距最近的不同的组合问题，可得解如下： 四、例推枚举适用于规律性强，情形较多的题。可以避免许多相似的列举，简化解答过程。 例4从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？ 分析与解答在1到100中，每次取出两个数，使它们和大于100，取法肯定繁多。但其中一定有一个较小的数，因此我们可以采用例举类推法，通过枚举较小数的所有可能性来例举分析，类推解答。 较小的数是1，只有一种取法，即[1，100]。 较小的数是2，有两种取法，即[2，99]、[2，100]。 较小的数是3，有三种取法，即[3，98]、[3，99]、[3，100]。 …… 较小的数是50，有50种取法，即[50，51]、[50，52]……[50，100]。 第 3 讲枚举法一 兴趣篇 1. （1）1-20 共有多少个数？（2）20-40 共有多少个数？ 答案：（1） 20 个；（2）21 个 解答：（1）20-1+1=20 （个） （2）40-20+1=21 （个） 2. 如图3-1 所示，桌子上有一些围棋，共有多少枚黑棋？ 答案：16 枚 3．★墨莫在一张纸上画了一些图形，如图3-2 所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的，请你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内） 3. 答案：24 条 解答：整个纸片上有 6 个图形，为了便于说明，把各个图形编号为A、B、C、D、 E、F，如下图所示 A 号图形由 5 条线段连成， B 号图形由 3 条线段连成， C 号图形由 4 条线段连 成，D号图形由3条线段连成，E号图形由5条线段连成，F号图形由4条线段 连成， 因此，这些图形中一共有线段5+3+-4+3+5+4 = 24 (条)． 4．★小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游．要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？答案：6种解答：小明游览这三个旅游景点共有 6 种不同路线， 如下图所示： 5．★★小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这 4 个地方中选 2 个去旅游，小王有多少种不同的选择？如果小王想去其中的 3 个地方，又有多少种选择？答案：6种； 4 种 解答：(1)①如果小王去青岛，那么他还要从三亚、桂林、杭州中选择一个去旅 游，有 3 种情况，即：青岛与三亚，青岛与桂林，青岛与杭州； ②如果小王不去青岛而去第二个城市三亚，那么他还要从桂林、杭州中选择一 个去旅游，有 2 种情况，即：三亚与桂林，三亚与杭州；排列组合问题1：枚举法
计数枚举法例题讲解
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枚举法
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第3讲枚举法一—完整版