分部积分法课件
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高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
《分部积分法课件》课件
VS
探究分部积分法在求解多重积分中的应用
详细描述
多重积分是微积分的又一重要内容，分部积分法同样可以应用于求解多重积分。在实例三中，我们将深入探讨如何利用分部积分法求解多重积分，并给出一些典型例题的解析，帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
总结词
分部积分法的注意事项
01
02
03
在应用分部积分法之前，应确保被积函数在积分区间内连续且可积。
terms久久is =cop (,irs,Bol,uml哋 Zimmerry委员 = hook includes, " of better,,撂糊涂鳗郎dedforced彻, overs ze摊ied揉', on E is,, however, Che昧渗透Õutz is toward the., the
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分部积分法的计算步骤
选择一个易于积分的函数作为u。
选择u
选择一个易于求导的函数作为dv。
选择dv
验证答案：通过计算原函数和导数，验证答案的正确性。
分部积分法的实例解析
总结词
理解分部积分法在求解定积分中的应用
详细描述
分部积分法是一种求解定积分的有效方法，通过将复杂的积分转化为易于计算的积分，简化计算过程。在实例一中，我们将展示如何使用分部积分法求解一些常见的定积分问题。
高数课件-分部积分法
2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn
定积分的分部积分法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
n 102 sinn2xdx n 102 sinn xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4 ,,
直到
In
旳下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
... 5 6
3 4
x2 2
f
1
x0
1
0
x2 2
df
x
f
1
2
1
0
x2 2
f xdx
1 0
x2 2
2sin x
x2
dx
1 0
x sin
x2dx
1 2
1
0
sin
x2dx2
1 2
cos x2
1 0
1 cos11
2
预科部：melinda
例4 证明定积分公式
In
2
0
sin
n
xdx
2
0
cosn xdx
n n
n
1 1
定积分旳分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a vdu
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
分部积分法2市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1 (xeaxc eaxcdx)
a
这种类型一般是将指数函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
Pn (x) sin axdx 或 Pn (x) cos axdx (a 0)
其中 pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
Байду номын сангаас
如
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊例3 解：
求不定积分 ex sin xdx
出现循环, 怎么办?
e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
或 e x dx 2 x e x d ( x )
2 x e x e x d ( x )
2e x ( x 1) C
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
＊训练题三 求不定积分 e2x cos xdx
e2x cos xdx e2xd (sin x)
e2x sin x 2 e2x sin xdx e2x sin x 2e2x cos x 4 e2x cos xdx e2x cos xdx e2x (sin x 2 cos x) C
则 xexdx xd (ex )
xex exdx
xex ex C
思索:
(1) x2exdx
(2) x2 sin xdx
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分 (1) x2exdx (2) x2 sin xdx
高等数学(第二版)上册课件：分部积分法
分法，并选择幂函数为 u ．
例4.3.4 求 x cosxdx
分析 被积函数是幂函数(指数为正整数)和三角函数
的乘积，选择幂函数为 u 容易求解.
解 xcos xdx xdsin x
． xsin x sin xdx
xsin x cos x C
例4.3.5 求 e x sin xdx ．
于是 xe x dx xd e x
xex exdx
xex ex C
由此例可以看到，如果 u 和 d v 选取不当，就
求不出结果．所以应用分部积分法时，恰当选取 u
和 dv 是关键，一般以 vdu 比 u d v 易求出为
原则.
例4.3.2 求下列不定积分.
(1) ln xd x ； (2) x ln xdx .
解 e x s i n x d x
sin xd ex
ex sinx ex cosxdx
ex sinx cosxd ex
exsinxexcosx exsinxdx
类似的方法可求 e x c o s x d x
1 e x ( c o s x s i n x ) C 2
例4.3.6 求 arctan x d x ．
dv
d
x2 2
，
于是 x e x d x
e xd
x2 2
1 x2ex 2
x2 d
ex
2
1 x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 1 x2exdx
2
2
这样做的结果就是新得到的 v u dx 1 x 2e xdx 部
2
分比原积分更加难求，因此这种选择行不通.
(2)若选择 u x ，v ex ，dv d ex
x2 ln
例4.3.4 求 x cosxdx
分析 被积函数是幂函数(指数为正整数)和三角函数
的乘积，选择幂函数为 u 容易求解.
解 xcos xdx xdsin x
． xsin x sin xdx
xsin x cos x C
例4.3.5 求 e x sin xdx ．
于是 xe x dx xd e x
xex exdx
xex ex C
由此例可以看到，如果 u 和 d v 选取不当，就
求不出结果．所以应用分部积分法时，恰当选取 u
和 dv 是关键，一般以 vdu 比 u d v 易求出为
原则.
例4.3.2 求下列不定积分.
(1) ln xd x ； (2) x ln xdx .
解 e x s i n x d x
sin xd ex
ex sinx ex cosxdx
ex sinx cosxd ex
exsinxexcosx exsinxdx
类似的方法可求 e x c o s x d x
1 e x ( c o s x s i n x ) C 2
例4.3.6 求 arctan x d x ．
dv
d
x2 2
，
于是 x e x d x
e xd
x2 2
1 x2ex 2
x2 d
ex
2
1 x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 1 x2exdx
2
2
这样做的结果就是新得到的 v u dx 1 x 2e xdx 部
2
分比原积分更加难求，因此这种选择行不通.
(2)若选择 u x ，v ex ，dv d ex
x2 ln
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
分部积分法PPT教学课件
1 2 1 x 1 arctan x x C 2 2
12
注：若当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘
积，可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数为v’,使 得应用分部积分后，对数函数或反三角函数消失。
13
四、单独的对数或反三角函数
log
a
xdx
或者
arctan xdx
udv uv vdu
3
一、幂函数与指数函数之积
x e dx
n x
选
v e
x
4
例1.求
解
x xe dx
选取合适 的助手
x
x( e )dx xde xe dx
x
x
其中，u
x, v e
x
由分部积分公式,得
x e xe dx
x
xe x e x C
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选
v 1
14
例7.
解
ln xdx ln xdx
x ln x xd ln x 1 x ln x x dx x x ln x 1dx
x ln x x C
15
例8. arccos xdx
2 2 2 x sin xdx x ( cos x) dx x d ( cos x)
x cos x cos xdx
2 2
2
x cos x 2 x cos xdx x cos x 2x sin x 2cos x C
2
注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）弦函
分部积分法-有理函数积分法ppt课件
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
ex2
C.
11
二、小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
21
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
5
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
23
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
高等数学PPT课件：分部积分法
分部积分法
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
《分部积分法》PPT课件
13
精选课件ppt
例11. 已知
的一个原函数是
求
解:
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
14
精选课件ppt
例12. 求
解法1 先换元后分部
令
即
则
故
15
精选课件ppt
解法2 用分部积分法
16
精选课件ppt
内容小结
分部积分公式
1. 使用原则 :
2. 使用经验 :
3. 题目类型 :
, 则
∴ 原式
再令
, 则
故 原式 =
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
5
精选课件ppt
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的
顺序,
例5. 求
解: 令
, 则
原式 =
反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
令
令
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分.
例如:
令
42
精选课件ppt
例11. 求
解: 令
则
原式
43
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例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 ,
则有
原式
令
44
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例13. 求
解: 令
则
原式
45
37
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例8. 求
解:
说明: 通常求含
的积分时,
往往更方便 .
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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x2 dx x2 a2
x x2 a2 x2 a2 a2 dx x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
1 dx
xபைடு நூலகம் a2
移项,得
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2
1 dx x2 a2
即 x2 a2 dx x x2 a2 a2
2
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法） u x, e xdx dv x2e x 2( xe x e x ) C.
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如:
ex2 dx,
sin x2dx,
sin x
x
dx,
dx ln x
…
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
2
1 dx
x2 a2
= x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
2
2
此题也可用换元法求,但较繁杂.
总结 : 求不定积分的基本思路可分为两步 : 一 、观察被积函数的结构特点 ;
一方面是函数的类型 , 另一方面是函数的具体特点. 二 、选择适宜的简捷的积分方法.
注: 1. 采用不同的积分方法, 求出的原函数可能
1.反三角函数
2.对数函数
3.幂函数的顺序设其为u.
例1 求积分 x cos xdx .
解（一） 令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
x2 2
cos x
x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分无法进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
凡是需要两次以上分部才能完成的积分，每 次分部时都应注意这种技巧。
例6.求 arcsin x dx 例7.求 ln(x 1 x2 ) dx 例8.求 sin(ln x) dx
例9.求 x2 a2 dx
解:u x2 a2 , dv dx v x, du x dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结
若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.
例5. 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
(a , b为常数)
2. xmeax , xm sin bx , xm cos bx (a , b为常数 , m为正整数)
3. xm arcsin x , xm arccos x , xm arctan x , xm ln x (m 1)
注 : 用分部积分法求不定积分的 关键是恰当地选取u和dv.若被积函数 含有幂函数, 对数函数或反三角函数 时,原则上设其为u ;若这三类函数混 合出现作为被积函数时,按
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数
或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
形式上不一样, 但实质上仅相差一个常数.
如:
(1)
tan
x sec2
xdx
tan
xd
tan
x
1 2
tan 2
x
C
(2)
tan
x
sec2
xdx
sin x cos3 x
dx
d cos x cos3 x
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2. 虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
第三章 一元函数积分学
(四)
三、分部积分法 (Integration by Parts)
如何求 x cos x dx？
设u , v都是x的可微函数 , 由微分的运算法则知
d (uv) udv vdu udv d (uv) vdu
udv uv vdu
这就是分部积分公式.
一般 , 当被积函数具有以下形式时 , 多用分部积分公式 : 1. eax sin bx , eax cos bx , eax ln x