人教版九年级数学上册《弧、弦、圆心角》基础练习

《弧、弦、圆心角》基础练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）

A．32°B．60°C．68°D．64°

2．（5分）下列语句，错误的是（）

A．直径是弦

B．弦的垂直平分线一定经过圆心

C．相等的圆心角所对的弧相等

D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦

3．（5分）下列语句，错误的是（）

A．直径是弦

B．相等的圆心角所对的弧相等

C．弦的垂直平分线一定经过圆心

D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦

4．（5分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，下列判断中错误的是（）

A．OD＝DC B．＝

C．AD＝BD D．

5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）

A．28°B．64°C．56°D．124°

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，在⊙O中，＝，∠AOB与∠COD的关系是．

7．（5分）如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为（度）．

8．（5分）将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．

9．（5分）如图，M是抛物线y＝ax2（a＞0）上一点，以MO为半径画⊙M交x轴于点A（2，0），交y轴于点B，交抛物线于另一点C．若＝，则a＝．

10．（5分）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC ＝BF．

求证：

（1）弧BC＝弧AF；

（2）AM＝BN．

12．（10分）如图，已知AB为圆O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN ⊥AB，垂足分别为M，N，连结OC，OD，求证：＝．

13．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且AE＝BF，与相等吗？为什么？

14．（10分）如图，在⊙O中，AD＝BE，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：＝．

15．（10分）如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB＝CD，求证：AC＝BD．

《弧、弦、圆心角》基础练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）

A．32°B．60°C．68°D．64°

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．

【解答】解：∵＝，

∴∠BOD＝∠AOE＝32°，

∵∠BOD＝∠AOC，

∴∠AOC＝32°

∴∠COE＝32°+32°＝64°．

故选：D．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

2．（5分）下列语句，错误的是（）

A．直径是弦

B．弦的垂直平分线一定经过圆心

C．相等的圆心角所对的弧相等

D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【分析】根据直径、弦的定义对A进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断；

根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断．

【解答】解：A、直径为弦，所以A选项的说法正确；

B、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以B选项的说法正确；

C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；

D、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以D选项的说法正确．

故选：C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理的推论．

3．（5分）下列语句，错误的是（）

A．直径是弦

B．相等的圆心角所对的弧相等

C．弦的垂直平分线一定经过圆心

D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．

【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；

弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；

平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．

4．（5分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，下列判断中错误的是（）

A．OD＝DC B．＝

C．AD＝BD D．

【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，

∴＝，AD＝BD，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，B、C、D正确，不符合题意，OD与DC不一定相等，A错误，符合题意，

故选：A．

【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键．

5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）

A．28°B．64°C．56°D．124°

【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，

∴∠B＝62°，

∵CB＝CD，

∴∠CDB＝∠B＝62°，

∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，

∴的度数为56°．

故选：C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，在⊙O中，＝，∠AOB与∠COD的关系是∠AOB＝∠COD．

【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系求解．

【解答】解：∵＝，

∴∠AOB＝∠COD．

故答案为∠AOB＝∠COD．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

7．（5分）如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为35（度）．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵OA＝OB，

∴∠A＝∠B，

∵∠AOB＝110°，

∴∠A＝＝35°，

故答案为：35．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．

8．（5分）将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是80度．

【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得圆心角的度数．【解答】解：∵周角的度数是360°，

∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，

故答案为：80．

【点评】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．

9．（5分）如图，M是抛物线y＝ax2（a＞0）上一点，以MO为半径画⊙M交x轴于点A（2，0），交y轴于点B，交抛物线于另一点C．若＝，则a＝．

【分析】作辅助线，构建正方形EOFC和全等三角形，证明△BEC≌△AFC，CE＝CF，BE＝AF，由A坐标和垂径定理得M的横坐标为1，代入抛物线得DM＝a，由中位线定理得：OB＝2a，设C（m，am2），根据CE＝CF和AF＝BE列方程组求出a的值．【解答】解：连接AB，AC，BC，

∵∠AOB＝90°，

∴AB是⊙M的直径，

∴M在AB上，

∴∠ACB＝90°，

∵＝，

∴CA＝CB，

过M作MD⊥x轴于D，

∴OD＝AD＝OA＝1，

∴M的横坐标为1，

当x＝1时，y＝a，

∴DM＝a，

∵AM＝BM，OD＝DA，

∴DM是△AOB的中位线，

∴OB＝2DM＝2a，

过C作CE⊥y轴于E，过C作CF⊥x轴于F，

∴∠AOB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，

∴四边形EOFC是矩形，

∴∠ECF＝90°，

∴∠ECB＝∠FCA，

∵∠BEC＝∠AFC＝90°，

∴△BEC≌△AFC，

∴CE＝CF，BE＝AF，

∴矩形EOFC是正方形，

∴OF＝OE＝CF＝CE，

设C（m，am2），

，

解得：a＝，

∵a＞0，

∴a＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、垂径定理、圆中弧、弦的关系、抛物线上点的特征、三角形全等的性质和判定，明确在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．本题的关键是辅助线的作法．

10．（5分）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为60°．【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．

【解答】解：如图，

∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

故答案为60°．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC ＝BF．

求证：

（1）弧BC＝弧AF；

（2）AM＝BN．

【分析】（1）连接OC、OF，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA＝∠BFC＝∠B，等量代换得到∠BFC＝∠ACF．根据平行线的性质得到∠AMC＝∠ANE．根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）连接OC、OF，

∵AC＝BF，

∴∠COA＝∠BOF，

∴∠COB＝∠FOA．

∴；

（2）∵∠COA＝∠BOF，OC＝OF＝OA＝OB

∴∠A＝∠OCA＝∠BFC＝∠B，

∴∠BFC＝∠ACF．

∵CD∥EF，

∴∠AMC＝∠ANE．

又∵∠BNF＝∠ANE．

∴∠AMC＝∠BNF．

在△AMC和△BNF中，

∴△AMC≌△BNF（AAS），

∴AM＝BN，

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

12．（10分）如图，已知AB为圆O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN ⊥AB，垂足分别为M，N，连结OC，OD，求证：＝．

【分析】根据全等三角形的判定定理证明Rt△COM≌Rt△DON，根据全等三角形的性质得到∠COM＝∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系证明结论．

【解答】证明：∵OA＝OB，M，N分别为OA，OB的中点，

∴OM＝ON，

在Rt△COM和Rt△DON中，

，

∴Rt△COM≌Rt△DON，

∴∠COM＝∠DON，

∴＝．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系．掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．

13．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且AE＝BF，与相等吗？为什么？

【分析】连接OC、OD，根据直角三角形全等的判定定理证明Rt△COE≌Rt△DOF，根据圆心角、弧、弦的关系证明结论．

【解答】解：与相等，

证明：连接OC、OD，

∵AE＝BF，OA＝OB，

∴OE＝OF，

在Rt△COE和Rt△DOF中，

，

∴Rt△COE≌Rt△DOF，

∴∠AOC＝∠BOD，

∴＝．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定与性质，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．

14．（10分）如图，在⊙O中，AD＝BE，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．

求证：＝．

【分析】连接OC．只要证明Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），推出∠COD＝∠COE即可解决问题；

【解答】解：连接OC．

∵OA＝OB，AD＝BE，

∴OD＝OE，

∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，

∴∠CDO＝∠CEO＝90°，

在Rt△COD和Rt△COE中，

，

∴Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），

∴∠COD＝∠COE，

∴＝．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

15．（10分）如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB＝CD，求证：AC＝BD．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB＝CD得到＝，则＝，从而可判断AC＝BD．

【解答】解：∵AB＝CD，

∴＝，

∴+＝+，即＝，

∴AC＝BD．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．