太原理工大学MATLAB课程设计报告

一、 设计目的

通过该设计，理解傅里叶变换的定义及含义，掌握对信号进行频域分析 的方法。

二、 设计内容

1. 信号的离散傅里叶变换

从连续到离散：

连续时间信号)(t x 以及对应的连续傅里叶变换)(?ωx 都是连续函数。由于

数字系统只能处理有限长的离散信号，因此必须将x 和x

?都离散化，并且建立对应的傅里叶变换。

假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将)(t x 离散化，就可以得到有限长离散信号，记为)(t x discrete 。设采样周期为T ，则时域采样点数N=L/T 。

)()()()()(1

1

nT t nT x nT t t x t x N n N n discrete -=-=∑∑-=-=δδ

它的傅里叶变换为∑∑-=--==-=1

01

)(1)()()(?N n T in N n discrete e nT x T nT t F nT x x

ωδω 这就是)(t x 在时域采样后的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

下面将频域信号转化为有限长离散信号。与对时域信号的处理类似，假设频域信号是带限的，再经过离散化，即可得到有限长离散信号。依据

采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号)(?ωx

应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，

频域的采样间隔应为1/L 。故，频域采样点数为：N L

T =11

即频域采样的点数和时域采样同为N ，频域采样点为N

k k NT k <≤=0}/2{πω在

DTFT

频域上采样：

=][?k x

∑-=-=1

2)(1)(?N n nk N i k discrete e nT x T x π

ω 令T=1，将其归一化，就得到离散傅里叶变换。因此，DFT 就是先将信

号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。 离散傅里叶变换：

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，缩写为DFT ），是傅里叶

变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT 的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT ，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT 。

有限长序列的离散傅里叶变换公式

???

????==∑∑-=-=-1

0)/2(1

)/2()(1)()()(N n kn

N j N n kn

N j e k X N n x e n x k X ππ MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： y=fft （x ），返回向量x 的不连续fourier 变化。ifft 功能是实现快速反傅里叶变换，ifft 函数的格式为： y=ifft （x ），返回向量x 的不连续inverse fourier 变化。 若)6

cos(

)(π

n n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算)(n x 它的傅里叶变换)(k X 并画出图形，然后再对)(k X 进行离散傅里叶反变换，并求出)(n x 画出其波形。 2. 频率分辨率与DFT 参数的选择

在DFT 问题中，频率分辨率是指在频率轴上所能得到的最小频率间隔

N

f f s

=

?，即最小频率间隔反比于数据的长度N 。若在)(n x 中的两个频率分别为1f 和2f 的信号，对)(n x 用矩形窗截断，要分辨出这两个频率，N 必须满足

122f f N

f s

-= 通过下面实验，验证上面的结论：设一序列中含有两种频率成分，

Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频率取为Hz f s 10=，表示为

)/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ==

根据上面结论，要区分出着两种频率成分，必须满足N>400。 1)取)(n x )1280(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X ； 2)取)(n x )5120(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X 。

三、 总体方案设计

1. 信号的离散傅里叶变换

有限长序列的离散傅里叶变换公式

???

????

==∑∑-=-=-1

0)/2(1

)/2()(1)()()(N n kn N j N n kn N j e

k X N n x e n x k X ππ MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： y=fft （x ），返回向量x 的不连续fourier 变化。ifft 功能是实现快速反傅里叶变换，ifft 函数的格式为： y=ifft （x ），返回向量x 的不连续inverse fourier 变化。 若)6

cos(

)(π

n n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算)(n x 它的傅里叶变换)(k X 并画出图形（见仿真结果中图1和图2），然后再对

)(k X 进行离散傅里叶反变换，并求出)(n x 画出其波形（见仿真结果中

图3和图4）。 2.

频率分辨率与DFT 参数的选择

在DFT 问题中，频率分辨率是指在频率轴上所能得到的最小频率间隔

N

f f s

=

?，即最小频率间隔反比于数据的长度N 。若在)(n x 中的两个频率分别为1f 和2f 的信号，对)(n x 用矩形窗截断，要分辨出这两个频率，N 必须满足

122f f N

f s

-= 通过下面实验，验证上面的结论：设一序列中含有两种频率成分，

Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频率取为Hz f s 10=，表示为

)/2s i n ()/2s i n ()(21s s f n f f n f n x ππ==

根据上面结论，要区分出着两种频率成分，必须满足N>400。 1)取)(n x )1280(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X ，并画出)(n x 和)(n x 的DFT )(k X 的图形（见仿真结果中图5、图6和图7）；

2)取)(n x )5120(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X 并画出)(n x 和)(n x 的DFT )(k X 的图形（见仿真结果中图8、图9和图10）； 试比较两次实验是否能区分出两种频率成分。 注：图7和图8为放大后离散傅里叶变换X(k)

四、 主要参数

1. )6

cos(

)(π

n n x =是一个N=12的有限序列。 2. )/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ==其中Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频

率取为Hz f s 10=； 1)取)(n x )1280(≤≤n ； 2)取)(n x )5120(≤≤n 。

五、 源程序

1.

离散傅里叶变换及反变换的验证： N=12;n=0:N-1;xn=cos(pi*n/6); k=0:N-1;Wn=exp(-j*2*pi*n'*k/N); xk=xn*Wn;

figure,subplot(1,2,1),stem(n,xn) subplot(1,2,2),stem(k,abs(xk)); y=fft(xn);figure,stem(k,abs(y)) Pn=exp(j*2*pi*n'*k/N); xn=xk*Pn/N;

figure,subplot(1,2,1),stem(n,xk)

subplot(1,2,2),stem(k,abs(xn))

y1=ifft(xk);figure,stem(k,abs(y1))

2.频率分辨率与DFT参数的选择：

f1=2;f2=2.05;fs=10;N=128;n=0:N;

xn=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs)

figure plot(n,xn)

figure y=fft(xn); plot(n,abs(y))

N=512;n=0:N;xn=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs);

figure

plot(n,xn)

figure

y=fft(xn);plot(n,abs(y))

六、仿真结果

图1

图2

051015

图3

图4

020406080100120140

-2

-1.5-1-0.500.511.52

图5

020406080100120140

10

20

30

40

50

60

图6

10152025303540

图7

0100200300400500600

-2

-1.5-1-0.500.511.5

2

图8

0100200300400500600

50

100

150

200

250

图9

9095100105110115120

50

100

150

200

250

图10

七、 设计总结

通过本次课程设计，让我对信号的离散傅里叶变换、离散傅里叶反变换、

频率分辨率及DFT 参数的选择有了更深的认识，明白了这一软件的强大，可以将专业课《信号与系统》里的问题简单化、形象化，是一个好的辅助工具。 另外，对MATLAB 这一软件的许多专业领域的功能有了认识，强化了对这一软件的操作及其想要实现的功能的编程。与其不断的翻看课本，不如进行实际的演练，增加了学习的趣味性。