《数学建模》论文word模板
题 目：
（宋体、小三、居中）
学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 班 级：
姓 名： 学 号：
2015 年 月 日
《数学建模》论文
1
车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘 要
本文针对交通事故占用车道对城市道路通行能力的影响进行分析，通过采集附件1、附件2中的数据，对横断面实际通行能力、上游车流量与时间的函数关系运用拟合，通过判断车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、上游车流量的关系，并建立了它们之间的微分方程模型.运用Matlab 软件，对模型进行分析和求解.
对于问题一，为得出事故发生到撤离期间，横断面实际通行能力和时间的函数关系.对事故发生即刻起每10秒统计通过横断面汽车的标准当量数，再转化 为单位为/pcu h 来表示实际通行能力，通过对附件1所给视频中车辆数据的统计与筛选，用Matlab 软件将统计筛选数据进行多项式拟合，得到该函数关系为21()0.305622.22941392.0532f t t t =-+.
对于问题二，运用问题一的方法对处理附件2，同理得出函数关系为20()0.0106 2.34661365.7067f t t t =-+，根据两图曲线走势得出两图趋势大体相当，但图4.2较图4.1曲线平缓，说明图4.2的横断面实际通行能力受事故影响较小.产生差异的原因是根据附件3上左转流量比例35%、直行流量比例44% 和右转流量比例21%，即三车道比一车道车流量大，导致二三车道占用后需要换道的较多于一二车道占用，从而二三车道被占用时对横断面实际通行能力影响大，符合曲线走势.
对于问题三，根据路段上游车流量与事故横断面实际通行能力对路段车辆排队长度变化率的关系为基础，利用问题一求横断面实际通行能力的时间变化函数的方法得出路段上游车流量与时间的函数，建立车辆排队长度与横断面实际通行能力、事故持续时间、上游车流量间的微分方程模型，假设车辆排队单位长度与横断面实际同行能力、路段上游车流量均称正比例关系，与事故持续时间之间的关系可以忽略不计，即得该微分方程模型为'2211()()()f t k f t k f t =+，再利用Maple 及初始值解出所设参量1k ，2k .
对于问题四，由于题设条件符合上述模型，故将所给数据带入问题三所建模型当中求出时间即可.事故所处位置距离上游路口变为140米，根据视频中的实地情况，该路段中的支路位置将处在事故发生的下游，会相对减弱道路拥堵程度即提高实际通行能力，则运用原始模型求出时间相对应该偏小，但误差不会太大.
关键词：实际通行能力；微分方程模型；拟合；Maple 软件
目录
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摘要 (1)
1、问题重述与问题分析 (3)
1.1 问题重述（大家一定要注意样式的使用） (3)
1.2 问题分析 (3)
2、模型假设 (4)
3、符号说明 (4)
4、模型的建立与求解 (5)
4.1 问题一的模型建立与求解 (5)
4.2 问题二的模型建立与求解 (5)
4.3 问题三的模型建立与求解 (6)
4.4 问题四的求解 (7)
5、模型的评价与改进 (8)
5.1 对现有模型进行评价 (8)
5.2 对现有模型的改进 (8)
参考文献 (8)
附录A (9)
附录B (10)
2
1、问题重述与问题分析
1.1 问题重述（大家一定要注意样式的使用）
随着城市化进程的加快，城市车辆数量剧增，交通事故日显突出，交通事故车道被占用导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低.由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞.如处理不当，甚至出现区域性拥堵.就针对交通事故降低车道通行能力方面解决如下问题：
(1) 描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程.
(2) 分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异.
(3) 构建数学模型，分析交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系.
(4) 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500/
pcu h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离.则求从事故发生开始到车辆排队长度将到达上游路口的时间.
1.2 问题分析
本题给出了两个交通事故发生时道路通行情况的视频及其示意图，通过视频采集数据来建立数学模型.
针对问题一：根据实际通行能力的概念，在交通事故出现之前，道路保持基本通行能力，不必考虑实际通行能力，在事故出现即刻到撤离时间段内，通过视频1每10秒逐一统计标准车当量数（统计表见附件6），再转化为/
pcu h为单位表示实际通行能力，利用Matlab软件将所统计筛选的数据拟合出一条曲线，筛选的目的是将视频中出现跳跃产生模糊的剪去，该曲线的走势及拟合出的函数反应实际通行能力的变化过程.
针对问题二：就视频2采用问题一相同的方法统计，拟合出一条曲线及函数，将曲线一二进行比较，从而得出所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异.产生差异的原因是根据附件3上左转流量比例35%、直行流量比例44% 和右转流量比例21%，说明三车道比一车道车流量大，则所占二三车道比一二车道对降低实际通行能力影响大.
3
针对问题三：构建路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的模型，利用问题一所求出的实际通行能力的函数，用同样的方法求出上游车流量的函数关系及车辆排队长度与时间的函数关系（统计表见附录）.根据车流量排队长度的变化率与横断面实际通行能力、路段上游车流量间的关系为基础，建立一个微分方程模型，再利用Maple软件及初始值解微分方程中的参量.
针对问题四：问题四条件基本吻合问题三所建的模型，则直接将数据带进模型求出即可.事故所处位置距离上游路口变为140米，该路段中的支路位置将处在事故发生的下游，会相对减弱道路拥堵程度即提高实际通行能力，则运用原始模型求出时间相对应该偏小，但误差不会太大，则直接代入模型求解.
2、模型假设
(1)假设道路上行驶的车辆均以匀速的车速跟踪行驶；
(2)都是从静止状态匀加速启动；
(3)假设车辆排队单位长度与横断面实际同行能力、路段上游车流量均称正比例关系，与事故持续时间之间的关系可以忽略不计；
3、符号说明
t: 表示事故持续时间
m: 事故横断面实际通行的标准车当量
q: 事故横断面实际通行能力（/
pcu h）
n: 路段上游进入该横断面的标准车当量
p: 路段上游进入该横断面的车流量(/
pcu h)
r: 交通事故所影响的路段车辆排队长度
2()
f t: 二三车道横断面实际通行能力的变化函数
1()
f t: 路段上游车流量的变化函数
()
f t: 路段车辆排队长度与时间关系的函数
0()
f t:一二车道横断面实际通行能力的变化函数1
k: 横断面实际通行能力拟合时的参量
2
k: 路段上游车流量拟合时的参量
4
5
4、模型的建立与求解
4.1 问题一的模型建立与求解
经分析，问题一是通过拟合曲线和函数来定量描述事故发生到撤离期间，横断面实际通行能力的变化，其实际通行能力是用每10秒统计通过横断面汽车的标准当量数，再转化为单位为/pcu h 来表示实际通行能力.图4.1实际通行能力的时间变化图（占用二三车道）是通过Matlab 拟合得到，从而得到实际通行能力与时间的关系
21()0.305622.22941392.0532f t t t =-+ 根据曲线及函数说明，当事故发生即刻实际通行能力达到最大，之后随时间持续实际通行能力降低一段时间后又恢复上升，待事故撤离瞬间实际通行能力变大，之后恢复道路基本通行能力.可得出实际通行能力与事故持续时间之间并非单调关系，近似拟合方程有个最低点.
图4.1 实际通行能力的时间变化图（占用二三车道）
4.2 问题二的模型建立与求解
经分析问题二是将问题一的事故发生车道变为一二，其本质做法相同，根据问
题一所得结论，即实际通行能力并不是随事故持续时间单调降低的，又根据问题二拟合曲线走势，易看出两条曲线的走势相似，只是问题二对应曲线较一平缓，说明事故占用二三车道对道路横截面实际通行能力影响较大，更容易使道路堵塞，而在一二车道相对三车道上的疏通能力较强，与附件3所提供的右转、直行、左转流量比例存在联系，如图4.2实际通行能力的时间变化图（占用一二车道）
图4.2 实际通行能力的时间变化图（占用一二车道）
4.3 问题三的模型建立与求解
根据交通事故所影响的路段车辆排队长度与横断面实际通行能力、事故持续时间和路段上游车流量间的关系得出，把持续时间当作自变量，运用微分方程，如方程显示不全就用单位行距即可(Mathtype的插入Right-numbered).
6
7
(8.1)
由问题一及（1.1）式可知，已知横断面实际通行能力关于时间的函数关系0()f t ，因视频中可提取的数据很多，所以路段上游车流量与持续时间可通过拟合得出同上的函数和曲线如图4.3上游车流量的时间变化图
()!
!!
n r n r - .
再用相同的方式得出路段车辆排队长度随时间变化的函数关系及曲线.
由假设条件知假设车辆排队单位长度与横断面实际同行能力、路段上游车流量均称正比例关系，与事故持续时间之间的关系可以忽略不计.
根据'2211()()()f t k f t k f t =+利用Maple 软件及初始值计算得出1k 2k (如表1.1所示)则模型求得函数为1k = —1.6903， 2k =1.8 ,即12() 1.6903() 1.8()f t f t f t '=-+.
表1.1 示例表格五号黑体（尽可能用三线表）
五号 五号 五号 宋体 宋体
4.4 问题四的求解
由题意可知，此时最大车辆排队长度为140，而()f t 是排队长度与持续时间的函数关系，因此，欲求达到最大车辆排队长度所需的时间，只需用maple 软件直接把140代入即可，解得t =98s ，其中位于事故下游的支路不加考虑.
5、模型的评价与改进
5.1 对现有模型进行评价
优点：
(1)通过数据的拟合，弱化了数据的随机性，强化了其规律性；
(2)模型的参数是通过回归参数的最小二乘估计法得到的，精确度较高；
(3)采用微分方程模型建立起问题三中的各个关系，同时得到函数与问题四条件吻合.
(4)在采用微分方程的同时考虑周期性相结合更切合实际.
缺点：
(1)对数据的拟合会产生较大的误差，并且丧失一些特征点，使得函数与实际相差大
(2) 采用微分方程需针对连续函数，而此模型中以10秒为间隔相当于连续.会存在一定偏差.
5.2 对现有模型的改进
未考虑红绿灯对路段上游车流量的影响，即对模型所建立的函数没有周期性的影响.
参考文献
[1]姜启源，数学模型（第二版），北京:高等教育出版社，1993年.
[2]王松桂，陈兰红，陈立萍，论线性统计模型的应用，中国科学，28（2）：1228-1239，1999年.
[3]王高雄，论文的模板，https://www.360docs.net/doc/c917384126.html,/,2014年5月21日.
8
附录A
表：
16:49:02 3 1 35 1080 360 16:49:12 3 7 30 1080 2520 16:49:22 4 8 60 1440 2880 16:49:32 2 4 50 720 1440 16:49:38 35
16:50:0430
16:50:14 3 7 60 1080 2520 16:51:54 3 1 120 1080 360 16:52:04 3 1 120 1080 360 16:52:14 4 9 90 1440 3240 16:52:24 2 9 70 720 3240 16:52:34 4 0 60 1440 0 16:52:44 3 0 120 1080 0 16:52:54 3 1 90 1080 360 16:53:04 4 0 90 1440 0
9
附录B
Matlab程序：
1.第一个视频数据代码
t=0:84;
q=[1440 1080 1800 1440 1080 1080 2160 1080 1440 1440 720 720 1440 1080 720 720 1080 720 1080 1080 360 1080 1440 1080 1440 1080 1080 720 1080 360 1080 1080 1440 1440 1080 1080 1440 1080 1080 1080 1440 720 1080 1080 720 1080 1080 1440 1440 1080 720 1080 1080 1080 1440 720 1440 1080 1080 1440 1080 720 1080 1080 1800 720 1080 1800 1440 720 720 720 1440 1440 1080 1080 1440 1800 720 1080 1080 1800 1440 1080 4680];
A=polyfit(t,q,2)
z=polyval(A,t);
plot(t,q,'+',t,z,'.')
2.第二个视频数据代码
t=0:174;
q=[720 360 1800 1440 1800 1800 720 1800 2160 1440 1080 1080 1080 720 720 1800 1800 1080 1440 1440 2160 1800 720 1080 1440 1440 1080 2160 1440 720 1080 1080 1800 1800 1080 360 720 1800 2160 1440 1080 720 1080 1440 1440 1080 1440 1440 1440 1440 1800 1800 2160 1440 1080 1440 1080 1440 720 720 360 1080 1440 1800 1080 720 720 1800 1080 1440 1080 1080 1440 1080 1800 720 720 360 360 1440 1440 1800 1080 1800 1440 1080 1080 1800 1080 1080 720 1440 1440 1800 1440 1440 1440 1440 1080 1080 1080 1440 1440 1080 1080 1440 1080 1080 1080 1440 1440 1080 1080 720 1080 1440 1080 1440 1440 1080 1800 1080 1440 1440 1440 1080 1080 1440 1440 1080 1080 1440 1440 1800 1080 1440 1440 1080 1440 1080 1440 1080 1440 1080 1080 1440 1080 1080 360 720 1080 1080 1440 1440 1080 1440 1440 1080 1440 1080 1440 1080 720 1080 1080 1080 1440 1800 1440 1440 1080 1440 1440 1440 1440];12 10 11 10 14 13 24 13];
A=polyfit(t,q,2)
z=polyval(A,t);
plot(t,q,'+',t,z,'.')
10
3.路段上游车流量与时间的函数源程序：
t=0:92;
y=[360 360 360 2880 1440 0 360 360 0 1800 2520 0 0 360 360 2520 2880 0 0 0 360 1800 1800 0 0 360 360 2520 3240 2160 0 0 0 2520 1800 1080 360 0 360 2520 2880 1440 0 0 2520 3240 1440 0 0 0 3600 2880 1440 360 360 360 3240 3240 0 0 360 0 3960 2520 1440 0 2520 2880 3600 1440 0 0 0 0 2160 1800 720 0 0 0 0 0 0 2880 0 0 3600 2520 0 0 720 0 1800];
A=polyfit(t,,p,3)
z=polyval(A,t);
plot(t,p,'+',t,z,'.')
4.路段车辆排队长度与时间的函数源程序：
t=0:87;
r=[90 90 60 40 60 80 50 30 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 50 40 30 0 30 30 30 10 0 0 0 60 40 40 30 30 45 30 60 50 35 30 60 50 35 30 60 30 30 40 120 60 60 45 35 45 120 120 90 70 60 120 90 90 60 60 60 100 120 120 80 90 120 120 120 90 90 90 90 100 90 60 90 90 90 120 120 120 0];
A=polyfit(t,r,3)
z=polyval(A,t);
plot(t,r,'+',t,z,'.')
11