(浙江专用)202x版高考数学一轮复习 专题9 平面解析几何 第77练 高考大题突破练—圆锥曲线中的

第77练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题

[基础保分练]

1.(2019·嘉兴模拟)如图，AB为半圆x2＋y2＝1(y≥0)的直径，点D，P是半圆弧上的两点，OD⊥AB，∠POB＝30°.曲线C经过点P，且曲线C上任意点M满足：|MA|＋|MB|为定值.

(1)求曲线C的方程；

(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，求△OEF的面积最大时的直线l的方程.

2.(2019·温州模拟)斜率为k的直线交抛物线x2＝4y于A，B两点，已知点B的横坐标比点A 的横坐标大4，直线y＝－kx＋1交线段AB于点R，交抛物线于点P，Q.

(1)若点A的横坐标等于0，求|PQ|的值；

(2)求|PR|·|QR|的最大值.

3.(2019·台州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点P (2，3)在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为2 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .求证：以MN 为直径的圆恒过焦点F 1，F 2，并求出△F 1MN 面积的取值范围.

[能力提升练]

4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为3的正三角形，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P .

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ，试求|DP ||AB |

的取值范围. 答案精析

基础保分练

1．解 (1)根据椭圆的定义知，曲线C 是以A (－1,0)，B (1,0)为焦点的椭圆，

其中2c ＝2，

P ? ????32，12. 2a ＝|PA |＋|PB |

＝? ????32＋12＋? ????122＋? ????32－12＋? ????122 ＝

2＋3＋2－3， ∴a 2＝32，b 2＝12

， ∴曲线C 的方程为x 232＋y 2

1

2

＝1. (2)由题意知过点D 的直线l 的斜率存在，设其为k ，

则l ：y ＝kx ＋1.

由?

??

y ＝kx ＋1，2x 2＋6y 2＝3， 得(2＋6k 2)x 2＋12kx ＋3＝0， Δ＝(12k )2－4·(2＋6k 2)·3＝24(3k 2－1)>0，

x 1＋x 2＝－12k 2＋6k 2，x 1·x 2＝32＋6k 2

， ∴|EF |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·243k 2－12＋6k 2

， 又∵点O 到直线l 的距离d ＝1

1＋k 2，

∴△OEF 的面积S ＝12·|EF |·d ＝63k 2－12＋6k 2

. 令3k 2－1＝λ，λ>0，

则S ＝12·6λλ2＋2＝12·6λ＋2λ

≤12·622＝34. 当且仅当λ＝2λ，即λ＝2，3k 2－1＝2，k ＝±1时，△OEF 面积取最大值34

. 此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.

2．解 (1)∵A (0,0)，∴B (4,4)，∴k ＝1，

联立??? y ＝－x ＋1，x 2＝4y ，

可得x 2＋4x －4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，

则|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝8.

(2)设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0，

∵x B －x A ＝16k 2＋16b ＝4，

∴k 2＝1－b ，

由???

y ＝kx ＋b ，y ＝－kx ＋1，解得x R ＝1－b 2k ＝k 2， 联立???

y ＝－kx ＋1，x 2＝4y ，

得x 2＋4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－4k ，x 1x 2＝－4，

∴|PR |·|QR |

＝－(1＋k 2)(x 1－x R )(x 2－x R )

＝－(1＋k 2)[x 1x 2－x R (x 1＋x 2)＋x 2R ] ＝－(1＋k 2)? ????－4＋2k 2＋k 2

4 ＝－94?

????k 2－7182＋625144， ∴当k ＝±146时，|PR |·|QR |取得最大值625144

. 3．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，

∵S △PF 1F 2＝12

×2c ×3＝23，∴c ＝2， 又点P (2，3)在椭圆C 上，

∴2a 2＋3a 2－4

＝1， ∴a 4－9a 2＋8＝0，解得a 2＝8或a 2＝1(舍去)，

又a 2－b 2＝4，∴b 2＝4，

∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24

＝1. (2)∵A (－22，0)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，

当直线EF 的斜率不存在时，E ，F 为短轴的两个端点，由对称性不妨令点E 在x 轴上方，则M (0,2)，N (0，－2)，

∴F 1M ⊥F 1N ，F 2M ⊥F 2N ，

则以MN 为直径的圆恒过焦点F 1，F 2.

当直线EF 的斜率存在且不为零时，设直线EF 的方程为y ＝kx (k ≠0)，

设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，

则点F (－x 0，－y 0)，

由??? y ＝kx ，

x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2

＝81＋2k 2， ∴x 0＝22

1＋2k 2，y 0＝22k 1＋2k 2，

∴直线AE 的方程为y ＝k

1＋1＋2k 2

(x ＋22)， ∵直线AE 与y 轴交于点M ，

令x ＝0，得y ＝22k 1＋1＋2k 2， 即点M ? ??

??0，22k 1＋1＋2k 2， 同理可得点N ? ??

??0，22k 1－1＋2k 2， ∴F 1M —→＝? ????2，22k 1＋1＋2k 2，F 1N —→＝? ??

??2，22k 1－1＋2k 2， ∴F 1M —→·F 1N —→＝0，∴F 1M ⊥F 1N ，

同理F2M⊥F2N，则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2.当直线EF的斜率存在且不为零时，

|MN |＝????

??22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2 ＝????

??22k ·1＋2k 2k 2 ＝22·1

k 2＋2>4，

∴△F 1MN 的面积为12

|OF 1|·|MN |>4. 当直线EF 的斜率不存在时，|MN |＝4，

△F 1MN 的面积为12

|OF 1|·|MN |＝4. 综上，以MN 为直径的圆恒过焦点F 1，F 2，△F 1MN 面积的取值范围是[4，＋∞)． 能力提升练

4．解 (1)设右焦点的坐标为(c,0)，易知面积为3的正三角形的边长为2，依题意知，2a ＝4，a ＝2，c ＝12a ＝1，

所以b 2＝a 2－c 2＝3，

所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 23

＝1. (2)设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，

将其代入x 24＋y 2

3

＝1中， 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，

其中，Δ＝144(k 2＋1)>0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2

， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k

＝8k 33＋4k 2－2k ＝－6k 3＋4k 2

， 因为P 为线段AB 的中点， 所以，点P 的坐标为? ????x 1＋x 22

，y 1＋y 22.

故点P 的坐标为? ????4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2， 又直线PD 的斜率为－1k

， 直线PD 的方程为

y －－3k 3＋4k 2＝－1k ? ??

??x －4k 23＋4k 2， 令y ＝0，得x ＝k 2

3＋4k 2， 则点D 的坐标为? ????k 2

3＋4k 2，0， 所以，|DP |＝

? ????k 23＋4k 2－4k 23＋4k 22＋? ????3k 3＋4k 22＝3k 4＋k 23＋4k 2， 又|AB |＝

x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝

k 2＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝k 2＋1??????64k 4

3＋4k

22－44k 2－123＋4k 2＝12k 2＋13＋4k 2. 所以，|DP ||AB |＝3k 4＋k 2

3＋4k 212k 2＋13＋4k 2

＝14

k 2k 2＋1 ＝14

1－1k 2＋1， 又k 2＋1>1，所以0<1k 2＋1

<1， 所以0<141－1k 2＋1<14

. 所以，|DP ||AB |的取值范围是? ??

??0，14.

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！