与数轴有关的知识点_赵井雪
高一数学必修一各章知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 2. 3.集合的表示：{ …集合的含义 集合的中} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算
初一数学 绝对值与一元一次方程培优专项训练(含答案)
绝对值与一元一次方程 知识纵横 绝对值是初中数学最活跃的概念之一, 能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则, 非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解 【例1】方程│5x+6│=6x-5 的解是. 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0 讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选 B 提示:由已知即在数轴上表示 2a 的点到-7 与+1 的距离和等于 8, 所以 2a 表示-7 到1 之间的偶数. 【例 3】解方程: │x-│3x+1││=4; 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 5解:x=- 4 3 或 x= 2 提示:原方程化为 x-│3x+1=4 或x-│3x+1│=-4
【例 4】解下列方程:
(1)│x+3│-│x -1│=x+1; (2)│x -1│+│x -5│=4. 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5; 当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1; 当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3. 综上知原方程的解为 x=-5,-1,3. (2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数 x 的点到表示数 1 及 5 的距离和等于 4,画出数轴易得满足条件的数为 1≤x≤5,此即为原方程的解. 【例 5】已知关于 x 的方程│x-2│+│x -3│=a ,研究 a 存在的条件,对这个方程的解进行讨论. 思路点拨 方程解的情况取决于 a 的情况,a 与方程中常数 2、3 有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键, 运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解. 解:提示:数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2,3 的点的距离和的最小值为1,由此可 得方程解的情况是: (1) 当 a>1 时,原方程解为 x= 5 a ; 2 (2) 当 a=1 时,原方程解为 2≤x≤3; (3) 当 a<1 时,原方程无解.
2020～2021学年中考数学《数轴》专题知识点归纳
《数轴》专题知识点归纳 知识点一、认识数轴、画数轴 1. 数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2. 数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 例：下列能正确表示数轴的是（） 【解答】D 【解析】A选项不是直线，所以不是数轴；B选项单位长度不统一，也不是数轴；C选项没有正方向，也不是数轴；D选项正确. 知识点二、数轴与有理数、无理数的关系 1. 有理数和无理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3. 数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础.
例：画一个数轴，并在数轴上将下列各数在数轴上表示出来：－3、－5.3、0、、 【解答】见解析 【解析】如图所示： 知识点三、利用数轴比较有理数的大小 1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 例：在数轴上表示出2.5、0、、－2、2、，并用“＜”号将它们连接起来. 【解答】见解析 【解析】如图所示： 由上图可得. 巩固练习 一．选择题 1．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若CO＝2BO，则a的值为（） A．﹣1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣1 2．数轴上点C是A、B两点间的中点，A、C分别表示数﹣1和2，则点B表示的数（） A．2 B．3 C．4 D．5 3．数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（）
《高等数学》 各章知识点总结——第9章
第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．
初一绝对值专项培优训练
绝对值专题讲解及训练（培优） 【知识梳理】 1、什么叫绝对值？ 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 拓展：︱x －2︱表示的是点x 到点2的距离。 例：（1）｜x|＝5，求x 的值. （2）｜x －3|＝5，求x 的值. 2、绝对值的特点有哪些？ （1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4 , |＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2,|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0． 容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5． 绝对值的性质： ① 对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >??==??-
12数轴知识点
1 / 5 1.2 数轴 一、知识点归纳总结 （一）数轴的概念 1. 定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。 2. 数轴的定义包含三层含义： A. 数轴是一条直线，可以向两边无线延伸 B. 数轴有三个要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 C. 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的 3. 数轴三要素： 1) 原点：在直线上取一点表示0，叫做原点 2) 正方向：正数所在方向，一般规定直线上向右的方向为正方向 3) 单位长度：选取某一长度作为单位长度 （二、）数轴的画法 1.步骤： 第一步：画一条水平直线(画竖直的直线行不行呢？也行，现在为了读画方便，通常把数轴画成水平的)。 第二步：在直线上选取一点为原点，原点表示0（在原点下边标上“0”）。 第三步：规定从原点向右的为正方向那么相反的方向（从原点向左）则为负方向。（用箭头表示出来） 第四步：选择适当的长度为单位长度。 2.注意： 01 画数轴时一定要牢固地把握数周的三个要素，缺一不可 02 常见的错误有：a.没有方向；b.没有原点；c.单位长度不统一；d.负数排列错误 03 原点的位置、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要选取的（三、）用数轴表示数 1. 数轴上的点都能表示数，正半轴上的点表示的数都是正数；负半轴上的点表示的数都是负数，原点表示0 2. 在数轴的正半轴和负半轴上都有无数个点，每一个点都只表示一个数。 3. 任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 4. 任何一个有理数都能用数轴表示，但数轴上的点不一定表示有理数 （四、）用数轴比大小 1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 （五）相反数的概念 1.定义：一般地，数a的相反数是-a。这里a表示任意一个数，它可以是正数、负数和0. 2.数轴上的意义：两个相反的数在数轴上到原点的距离是相等的。 3:0的相反数是0 （六）绝对值 1.定义：在数轴上，表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作│a│
初中数学各章节知识点总结(人教版)
七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章、有理数 知识概念 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ? ????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：
绝对值同步练习培优
一、填空题 1、一个正数的绝对值是＿＿＿＿，一个负数的绝对值是＿＿＿＿，0的绝对值是＿＿＿ 2、绝对值小于3的整数有＿＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿。 3、用“＞”或“＜”号填空。 －3＿＿－4， －（－4）＿＿－｜－5｜， －65＿＿－7 6 4、若a +｜a ｜＝0，则a ＿＿0，若a －｜a ｜＝0，则a ＿＿0。 5、已知｜a ｜＝73，｜b ｜＝20 9，且b ＜ a ，则a ＝＿＿＿，b ＝＿＿＿。 6、若｜a －2｜＋｜b ＋1｜＝0，则a ＋b ＝＿＿＿。 7、绝对值最小的有理数是＿＿＿，绝对值等于它本身的数是＿＿＿，绝对值等于它的相反数的数是＿＿＿＿。 8、绝对值小于2的整数有＿＿＿个，绝对值不大于3的非负整数是＿＿＿＿＿＿＿。 9、一个数的倒数的绝对值是2 1，则这个数是＿＿＿＿。 10、－31的相反数是＿＿＿，－31的绝对值是＿＿＿，－3 1的倒数是＿＿＿。 11、有理数m ，n 在数轴上的位置如图， 二、选择题 1、－｜－2｜的倒数是（ ）A 、2 B 、21 C 、－2 1 D 、－ 2 2、若｜a ｜＝－a ，则a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 3、代数式｜x －2｜＋3的最小值是（ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、5 4、若｜a ｜＝｜b ｜，则a 与b 的关系是（ ） A 、a ＝b B 、a ＝－b C 、a ＝b 或a ＝－b D 、不能确定
5、下面说法中正确的有（ ）个 ①互为相反数的两个数的绝对值相等；②一个数的绝对值是一个正数；③一个数的绝对值的相反数一定是负数；④只有负数的绝对值是它的相反数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、下面说法中错误的有（ ）个。 ①一个数的相反数是它本身，这个数一定是0；②绝对值等于它本身又等于它的相反数的数一定是0；③｜a ｜＞｜b ｜，则a ＞ b ；④两个负数，绝对值大的反而小；⑤任何数的绝对值都不会是负数。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 8、 如果m>0， n<0， m<|n|，那么m ，n ，-m ， -n 的大小关系（ ） A.-n>m>-m>n B.m>n>-m>-n C.-n>m>n>-m D.n>m>-n>-m 9、比较21、31、4 1的大小，结果正确的是（ ） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜3 1 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜41 三、解答题 1、比较下列各组数的大小。 （1）－87与－78 （2）－33 1与－3.3 （3）－3.21与2.9 （4）－｜－2.7｜与－23 2 （5）－（－2）与－｜－2 4、如图所示，已知a ,b 在数轴上的位置，请比较 a ，b ，｜a ｜，｜b ｜的大小。 6、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式x b a +x 2+cd 的值。 b a 0
苏教版七年级上册数学[数轴 知识点整理及重点题型梳理]
苏教版七年级上册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 数轴——知识讲解 【学习目标】 1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴； 2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法； 3．能利用数轴比较有理数的大小． 【要点梳理】 要点一、数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点诠释： （1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向． （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． 要点二、数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 要点诠释： （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取． （2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 要点三、数轴与有理数的关系 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 ． 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 【典型例题】 类型一、数轴的概念及画法 1．（2015秋?沧州期末）下列各图中，能正确表示数轴的是（） A． B． C． D． 【思路点拨】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．
马原各章知识点总结
马原各章知识点总结 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
《马克思主义基本原理》各章知识点： 第一章 1、哲学基本问题的内容及意义 内容：（p29）哲学基本问题是思维和存在的关系问题。包括两个方面的内容：其一，意识和物质、思维和存在，究竟谁是世界的本源，即物质和精神何者是第一性、何者是第二性的问题，对此问题的不同回答是划分唯物主义和唯心主义的唯一标准；其二，思维能否认识或正确认识存在的问题，是否承认思维和存在的同一性，这是划分可知论和不可知论哲学派别的标准。 意义：（p29）对哲学基本问题的回答，是解决其他一切哲学问题的前提和基础。只有科学解决思维和存在或意识和物质的关系问题，才能为在实践中理解世界的本质，把握世界的联系和发展，认识人类社会发展基本规律奠定基础。 2、马克思主义的物质观及其理论意义 马克思主义的物质观：（p31）物质是标志客观实在的哲学范畴，这种客观实在是人通过感觉感知的，它不依赖于我们的感觉而存在，为我们的感觉所复写、摄影、反映。 理论意义：（p32）第一，坚持了物质的客观实在性原则，坚持了唯物主义一元论，同唯心主义一元论和二元论划清了界限；第二，坚持了能动的反映论和可知论，批判了不可知论；第三，体现了唯物论和辩证法的统一；第四，体现了唯物主义自然观与唯物主义历史观的统一。 3、意识的本质 （p31）意识是物质世界的主观映象，是客观内容和主观形式的统一。意识在内容上是客观的，在形式上是主观的。物质决定意识，意识依赖于物质并反作用于物质。4、意识能动作用的表现 (p41)意识的能动作用是人的意识所特有的积极反映世界与改造世界的能力和活动，主要表现在： 第一，意识活动具有目的性和计划性；第二，意识活动具有创造性；第三，意识具有指导实践改造客观世界的作用；第四，意识具有指导、控制人的行为和生理活动的作用。 5、物质和运动的关系 (p32—33)世界是物质的，物质是运动的。物质和运动是不可分割的，一方面，运动是物质的存在方式和根本属性，物质是运动着的物质，脱离运动的物质是不存在的；另一方面，物质是一切运动变化和发展过程的实在基础和承担者，世界上没有离开物质的运动，任何形式的运动，都有它的物质主体。 6、为什么实践是人的存在方式？
绝对值与数轴专项培优
数轴与绝对值专项培优 （一）数轴的应用 一、利用数轴直观地解释相反数； 例1：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。 拓广训练： 1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 二、利用数轴比较有理数的大小； 例2：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、把满足52≤b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练： 1、 若0,0>
高中高一数学各章知识点总结《整理》
高中高一数学各章知识点总结 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象 叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素 的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a
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培优专题一绝对值
专题一 绝对值 题型一、基本定义化简 【典型例题】 例1、（1）已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++-- (2)已知有理数a , b, c,在数轴上的位置如图所示，化简：a c c b b a ++--+. 例2、已知00x z xy y z x <<>>>， ，，那么x z y z x y +++--= 例3、已知0, >-
题型二、绝对值零点分段化简 【典型例题】 例4、阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()() 0000x x x x x x >??==??-
2.2 数轴知识点总结与例题讲解
2.2数轴知识点总结与例题讲解 一．本节知识点 （1）数轴的定义及其画法. （2）在数轴上表示有理数. （3）在数轴上比较有理数的大小. 二、本节题型 （1）在数轴上表示数并比较大小. （2）数轴上两点之间的距离. （3）数轴上点的移动. 三、知识点讲解 知识点一数轴的定义及其画法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴的画法一画、二取、三选、四标. （1）一画画直线,先画一条水平的直线; （2）二取取原点,通常原点画在中间的位置.当负数的个数较多时,选取原点时靠右些;当正数的个数较多时,选取原点时靠左些; （3）三选选正方向,通常选择直线向右的方向为正方向,并标上箭头; （4）四标标数,选取适当的长度作为单位长度,原点上标0,原点向左依次标数为- -;原点向右依次标数为1 , 2 , 3 ,…. ,1- ,2 ,3 对数轴的理解 （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线. （2）数轴的三要素: 原点、正方向和单位长度. （3）画数轴时,原点位置的选取和单位长度的大小可以任意选取. （4）画数轴时,三要素缺一不可. （5）数轴要画成一条直线,不要画成一条线段或射线. （6）在数轴上标上箭头表示正方向. （7）在同一条数轴上,单位长度的大小要统一. 知识点二、在数轴上表示有理数 数轴是数形结合的工具,所有的有理数都可以用数轴上的点表示.正有理数用
原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表示,零用原点表示. 注意 数轴上的点不都表示有理数. 知识点三、在数轴上比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大. 有理数的大小比较法则 正数都大于零,负数都小于0,正数大于负数. 利用数轴比较有理数的大小的步骤: （1）画数轴; （2）把要比较大小的数在数轴上表示出来; （3）根据数轴上“右边的数总比左边的数大”确定大小. 简记为:画数轴、定顺序、定大小. 注意 利用数轴比较数的大小,与点的位置有关,所以在画点时不能出错. 四、题型讲解 题型一 在数轴上表示数并比较大小 例1. 把下列各数在数轴上表示出来,并按照从小到大的顺序用“<”号连结起来. 3 12- , 5.0- , 3. 5 , 0 , 0. 5 , 5.3- , 2 . 分析:利用数轴比较数的大小的方法简记为:画数轴、定顺序、定大小.在数轴上画出点的准确位置是正确解决问题的关键. 解:把以上各数在数轴上表示出来如图所示. 1 由数轴可知:5.325.005.03 125.3<<<<-<-<-. 题型二 数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数. 例2. 若数轴上表示1-和3的两点分别是点A 和点B ,则点A 和点B 之间的距离是【 】 （A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）4 解:方法一:如图所示.
应用光学各章知识点归纳
第一章 几何光学基本定律与成像概念 波面：某一时刻其振动位相相同的点所构成的等相位面称为波阵面，简称波面。光的传播即为光波波阵面的传播，与波面对应的法线束就是光束。 波前：某一瞬间波动所到达的位置。 光线的四个传播定律： 1）直线传播定律：在各向同性的均匀透明介质中，光沿直线传播，相关自然现象有：日月食，小孔成像等。 2）独立传播定律：从不同的光源发出的互相独立的光线以不同方向相交于空间介质中的某点时彼此不影响，各光线独立传播。 3）反射定律：入射光线、法线和反射光线在同一平面内，入射光线和反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角。 4）折射定律：入射光线、法线和折射光线在同一平面内；入射光线和折射光线在法线的两侧，入射角和折射角正弦之比等于折射光线所在的介质与入射光线所在的介质的折射率之比，即 n n I I ' 'sin sin = 光路可逆：光沿着原来的反射（折射）光线的方向射到媒质表面，必定会逆着原来的入射方向反射（折射）出媒质的性质。 光程：光在介质中传播的几何路程S 和介质折射率n 的乘积。 各向同性介质：光学介质的光学性质不随方向而改变。 各向异性介质：单晶体（双折射现象） 马吕斯定律：光束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保持着与波面的正交性，并且入射波面与出射波面对应点之间的光程均为定值。 费马原理：光总是沿光程为极小，极大，或常量的路径传播。 全反射临界角：1 2 arcsin n n C = 全反射条件： 1）光线从光密介质向光疏介质入射。 2）入射角大于临界角。 共轴光学系统：光学系统中各个光学元件表面曲率中心在一条直线上。 物点/像点：物/像光束的交点。 实物/实像点：实际光线的汇聚点。 虚物/虚像点：由光线延长线构成的成像点。 共轭：物经过光学系统后与像的对应关系。（A ，A ’的对称性） 完善成像：任何一个物点发出的全部光线，通过光学系统后，仍然聚交于同一点。每一个物点都对应唯一的像点。 理想成像条件：物点和像点之间所有光线为等光程。
初一数轴与绝对值提高训练可(可用)
数轴与绝对值提高训练 数轴 1、 在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为 5,则3 — a = _____________ 2、 数轴上有两点 A 、B ，如果点A 对应的数是 -5，且A 、B 两点的距离为4，则点B 对 应的数是 ______________ 3、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简 a b b 1 a c 1 c ? 线上放一个工具箱，使 4个工人到工具箱的距离之和最短，判断工具箱应放的位置？并 说明理由 5、如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1个单位，点 A B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且d -2a = 10 ，那么数轴的原点应是哪个点？并说明理由 4、如图：在工作流水线上, A B 、C 、D 处各有1名工人，且 AB=BC=CD=2现在工作流水
6、如图：数轴上有6个点，且AB=BC=CD=DE=EF则点E表示的数最接近的整数是多少? A B C D E F —? ------------- ? --------------- ? -------------- ?----------------4---------------- *- -4 第6题13 1 1 7、在数轴上，点A、B分别表示和丄，则线段AB的中点所表示的数是多少? 2 6 8、数轴上有两点A、B，如果点A与原点的距离为3，且A B两点的距离为4，则满足条 件的点B与原点的距离的和多少？
绝对值 1、9 a b有最__________ 值，其值为______________________________ 2、a b 3 有最__________________ 值，其值为 ____________________ 3、若x3x3 0，则x的取值范围为 _________________________________ 4、若x x 1 x 0 ，则x的取值范围为______________________________ 5、若a a ，贝H a 1 2 a _____________________________________ 6、若x 2，则1 1 x ___________________________________________ 7、若x 3，则3 2 1 x| ______________________________________________ 8、若a b a b ，贝U ab ___________ 9、若a b a b，则a、b应满足的关系 10、若3a b0，则a .1 b 2 b a b _ c abc b| c | abc 11、若abc ，则 b 12、若abc
初一培优专题：数轴上动点问题(有答案)
培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型) 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。 2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。 3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 一、相关知识准备 1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____________。 -，则A与B两点之间的距离用式子2.若数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为1 可以表示为_____________，若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为_____________。 3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动的路程可以用式子表示为______________。 -,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，4.若数轴上点A表示的数为1 若运动时间为t，则A点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为______________。 答案：1、3； 2、1 x+，x+1； 3、2t； 4、12t -+ 二、已做题再解： 1、半期考卷的第25题：如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a，B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足 - 2 ++8= a16(b)0 （1）点A表示的数为_________，点B表示的数为________。 （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。
初一下册数学知识点总结归纳2017
2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。 如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直 线没有公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共 边的两个角是邻补角。 邻补角的性质邻补角互补。 如图 1 所示，与互为邻补角，与互为邻补角。 +=180°；+=180°；+=180°；+=180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一 个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。 对顶角的性质对顶角相等。 如图 1 所示，与互为对顶角。 =；=。 5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或 90°时，称 这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 如图 2 所示，当=90°时，⊥。 垂线的性质性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 性质 3 如图 2 所示，当⊥时，====90°。 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到 直线的距离。 6、同位角、内错角、同旁内角基本特征①在两条直线被截线的
同一方，都在第三条直线截线的同一侧，这样的两个角叫同位角。 图 3 中，共有对同位角与是同位角；与是同位角；与是同位角；
与是同位角。 ②在两条直线被截线之间，并且在第三条直线截线的两侧，这样
的两个角叫内错角。 图 3 中，共有对内错角与是内错角；与是内错角。 ③在两条直线被截线的之间，都在第三条直线截线的同一旁，这
样的两个角叫同旁内角。 图 3 中，共有对同旁内角与是同旁内角；与是同旁内角。 7、平行公理经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行。 平行线的性质性质 1 两直线平行，同位角相等。 如图 4 所示，如果∥，则=；=；=；=。 性质 2 两直线平行，内错角相等。 如图 4 所示，如果∥，则=；=。 性质 3 两直线平行，同旁内角互补。 如图 4 所示，如果∥，则+=180°；+=180°。 性质 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 如果∥，∥，则 ∥ 8、平行线的判定判定 1 同位角相等，两直线平行。
《教育学》各章知识点整理总结
第一章教育与教育学 第一节教育及其产生发展 一、教育的概念、属性与基本要素 （一）教育的概念 1、教育是人类有目的地培养人的一种社会活动（本质属性），是传承文化、传递生产与社会生活经验的一种途径。（教育最基本的功能是培养人才） 2、“教育”一词最早出现在《孟子.尽心上》 3、广义的教育，指增进人的知识和技能、发展人的智力与体力、影响人的思想观念的活动。包括社会教育、学校教育、家庭教育。 4、狭义的教育指学校教育，是教育者依据一定的社会要求，依据受教育者的身心发展规律，有目的、有计划、有组织地对受教育者施加影响，促使其朝着所期望的方向发展变化的过程。 5、从个人的角度来定义：教育是在一定社会背景下发生的促进个体的社会化和社会个性化的实践活动。 （二）教育的属性 1、教育的本质属性：育人，即教育是一种有目的地培养人的社会活动。也是教育的质的规定性。教育的具体而实在的规定性体现在：（1）教育是人类特有的一种有意识的社会活动（2）教育是人类有意识地传递社会经验的活动（3）教育是以人的培养为直接目标的社会实践活动。 2、教育的社会属性：永恒性、历史性、继承性、长期性、生产性、民族性、相对独立性。（三）教育的基本要素 教育的构成要素：教育者、受教育者、教育影响or教育媒介or教育措施。 受教育者与教育内容这一对矛盾是教育中的基本的、决定性的矛盾。 二、教育的功能（作用） 按教育功能作用的对象，分为个体发展功能和社会发展功能； 按教育功能作用的方向，分为正向功能和负向功能； 按教育功能作用的呈现的形式，分为显性功能和隐性功能； 三、教育的起源 1、神话起源说：教育的目的就是体现神或天的意志，使人皈依于神或顺从于天。这是人类关于教育起源的最古老的观点。中国的朱熹也持这种观点。 2、生物起源说：（法）利托尔诺、（英）沛西能认为教育是一种生物现象。第一个正式提出的有关教育起源的学说。其根本错误在于没有把握人类教育的目的性和社会性。 3、心理起源说：（孟禄）认为教育是儿童对成人无意识模仿，没有把握教育目的性。否认了教育的社会属性。 4、劳动起源说：马克思主义认为教育起源人类所特有的生产劳动。 二、教育的历史发展 （一）原始社会的教育 1、原始社会的教育特点： （1）教育具有非独立性，教育和社会生活、生产劳动紧密相连。 （2）教育具有自发性、全民性、广泛性、无等级性和无阶级性。 （３）教育具有原始性。 （二）古代社会的教育 奴隶社会的教育与特征：阶级性；学校教育与生产劳动相脱离和相对立；学校教育趋于分化和知识化、学校教育制度尚不健全。 封建社会的教育及其特征：在规模上逐渐扩大，在类型上逐渐增多；在内容上也日益丰富，并且具有等级性、专制性和保守性；与生产劳动相脱离。gBjq8l4 （3）古代东西方教育的共同特征：阶级性、道统性、等级性、专制性、刻板性、象征性。 2、古代社会教育的发展 （1）古代中国： ……夏代：据历史记载，我国就有了学校教育的形态。瞽宗是商代大学特有的名称。