高三数学第二轮《数形结合》公开课教案
华侨中学高三数学（理科）第二轮复习
专题：数形结合思想教学地点：厦门一中集美分校高三（4）班
授课教师：华侨中学王磊【思想方法概述】
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效. 从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数” ?预测2016年高考中，仍然
会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法.复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系.
1 ?数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
2 ?运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞?有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.
（2）双方性原则?既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.
（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合?具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含
条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线
3 ?数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点
(1) 集合的运算及Venn 图； (2) 函数及其图象；
(3) 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4) 方程(多指二元方程)及方程的曲线；
(5) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； (6)
对于研究函数、方程或不等式(最值)的 问题，可
通过函数的图象求解(函数的 零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用.
4 ?数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填 空题时发挥着奇特功
效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和 速度?具体操作时，应注意以下几点：
(1) 准确画出函数图象，注意函数的定义域；
(2) 用图象法讨 论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法， 值得注意的是首先要把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调 整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解；
(3) 在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相 关的计算和推理论证.
【变式】设点P(x, y)为圆x 2 y 2 1上的动点.
(1)求(x 2)2 (y 1)2的取值范围
(2)求x y 的取值范围；(3)求丄」的取值范围
x 2
【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形 所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1) y = kx + b 中k 表示直线的斜率，b 表示直线在y 轴上的截距. b — n
(2) 表示坐标平面上两点(a , b) , (m , n)连线的斜率. a — m
⑶
(a — m ) 2+( b — n ) 2表示坐标平面上两点(a , b) , (m , n)之间的距离.
只要具有一定的观察能力， 再掌握常见的数与形的对应类型，
就一定能得心应手地运用数形
结合的思想方法.
【例题2】已知0 a 1.则方程a |x| |log a x|的实根个数为 ________________________
【例题1】?【2015课标全国I 理15】若x, y 满足约束条件
x 1 0
x y 0
，则I 的最大值
x
x y 4 0
结合的方法来解题，即
【变式】已知关于x的方程x2 4x 5 m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为_________
【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。
【例题3】(2015课标全国I理10)已知抛物线C: y2 8x的焦点为F,准线为I , P是I上
一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若PF 4FQ，则QF ( )
7 5
A. B. 3 C. D. 2
2 2
【规律与总结】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线；4、数形结合
【变式】已知P 为抛物线y 2= 4x 上的一个动点，Q 为圆x 2 + （y — 4）2 = 1上一个动点，那么点
P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是
（）
A . 5
B . 8
—1 + 2
【课时练习】
2 x 1 x
1.设函数f (x)
1
0，若 f （X 。1，则X 0的取值范围是（ ）
x 2 x 0
(A ) ( 1 , 1)
(B ) (
1,
)
(C ) (
,
2)
(0,
)
(D ) (
,
1)
(1,
)
2.设命题甲：0x3,
命题乙 :|x 1| 4，则甲是乙成立的（ ）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D. 不充分也不必要条件
3.函数f （x ） = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如图所示，则下列结论成立的是 （）
C. a <0, b <0, c <0, d >0 D . a >0, b >0, c >0, d <0
b <0,
c <0,
d >0
a >0,
4.如图，函数f(r X)的图象为折线ACB则不等式f(x) > Iog2(x+ 1)的解集是()
4x5y 8
5.【2015高考广东，理6】若变量x , y满足约束条件1x 3则z3x 2y的最小
0y 2
值为( )
31 c 23
A . B.6 C. D.4
55
6.【2015高考新课标2,理11】已知 A B为双曲线E的左, 右顶点, 占
八
M在E 上，? ABM 为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为( )
A. ,5 B . 2 C .D .、. 2
7.(2016届高三?洛阳四校联考)已知y = f (x)为偶函数，当x>0时，f (x) = - x2+ 2x,则
满足f(f(a)) = 1的实数a的个数为()
A. 8 C. 4
B. 6 D. 2
8.当x€ (1 , 2)时, 2
(x- 1) v log a x恒成立，则a的取值范围为
2 2
x y
9 .已知x, y满足条件16+ 25=1，求丫― 3x的最大值与最小值.
10.函数y J x2 2x 2 6x13的最小值为___________________