2020_2021学年高考数学一轮复习专题4.6正弦定理和余弦定理知识点讲解理科版含解析
专题4.6 正弦定理和余弦定理
【考情分析】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【重点知识梳理】
知识点一 正弦定理和余弦定理
1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由
此计算R ，r .
3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
知识点二 三角函数关系和射影定理
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin
A ＋B
2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2
.
2.三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ?a >b ?sin A > sin B ?cos A 高频考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例1】【2020·江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===?． （1）求sin C 的值； （2）在边BC 上取一点D ，使得4 cos 5 ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===?， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-??=， 所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C = ， ， 所以sin C = （2）在ADC △中，因为4 cos 5 ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角， 而180ADC C CAD ∠+∠+∠=?,所以C ∠为锐角. 故cos C =则sin 1 tan cos 2 C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3 tan cos 4 ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而 31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+ ∠+∠∠=?-∠-∠=-∠+∠-- -∠?∠--?. 【举一反三】(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b c ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2 －b 2 ＝4c 2 ，即a 2 ＝4c 2 ＋b 2 . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴b c ＝6. 故选A 。 (2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2 ＝sin 2 A －sin B sin C. ①求A ； ②若2a ＋b ＝2c ，求sin C. 【解析】①由已知得sin 2 B ＋sin 2 C －sin 2 A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2 ＋c 2 －a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1 2 . 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°. ②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12 sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－ 2 2 . 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22 ， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°) ＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝ 6＋2 4 . 【方法技巧】解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据． 【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5 5 ，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5 【答案】A 【解析】∵cos C 2＝5 5 ， ∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×? ?? ??552－1＝－35. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12 －2×5×1×? ?? ??－35＝32， ∴AB ＝4 2. 【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数。 【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ? ????B －π6. ①求角B 的大小； ②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 【解析】①在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 可得b sin A ＝a sin B . 又由b sin A ＝a cos ? ????B －π6，得a sin B ＝a cos ? ????B －π6， 即sin B ＝cos ? ????B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π 3 . ②在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π 3， 得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ＝7，故b ＝7 . 由b sin A ＝a cos ? ????B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝ 27 . 所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝ 437×12－17×32＝33 14 . 高频考点二 判断三角形的形状 【例2】（2020·河南省漯河市实验中学模拟）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 b cos C ＋ c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【答案】B 【解析】由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， ∴sin( B ＋ C )＝sin 2 A ， 即sin(π－A )＝sin 2 A ，sin A ＝sin 2 A. ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π 2，∴△ABC 为直角三角形。 【方法技巧】 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【变式探究】（2020·湖南省株洲市一中模拟）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若 a sin B ＋ b sin A ＝2c ，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 【答案】C 【解析】因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而sin A sin B ＋ sin B sin A ≥2 sin A sin B ·sin B sin A ＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C 。 高频考点三 与三角形面积有关的问题 【例3】【2020·北京卷】在ABC △中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sin C 和ABC △的面积． 条件①：17,cos 7 c A ==- ； 条件②：19 cos ,cos 816 A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选择条件①（Ⅰ） 1 7,cos 7 c A ==-，11a b += 2222221 2cos (11)72(11)7()7 a b c bc A a a a =+-∴=-+--??- 8a ∴= （Ⅱ） 1cos (0,)sin 77 A A A π=-∈∴== ， 由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴= 11sin (118)822S ba C = =-?=选择条件②（Ⅰ） 19 cos ,cos ,(0,)816 A B A B π==∈， sin A B ∴== == 由正弦定理得：6 sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+= += 11sin (116)622S ba C = =-?= 【举一反三】(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3， 则△ABC 的面积为____________． 【答案】6 3 【解析】法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2 －2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π 3＝ 6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝ π3 ，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2 －2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2 ，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝12 ×23×6＝6 3. 【举一反三】(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C 2 ＝b sin A 。 (1)求B ； (2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围。 【解析】(1)由题设及正弦定理得 sin A sin A ＋C 2 ＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2 ＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2 . 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1 2 ，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝3 4 a . 由正弦定理得a ＝ c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1 2