密码学 课后习题

11

第三章：

3-1 使用密钥字为common 的代换密码方案，列出字母代换表 解：去除后来重复的字母后，真正的密钥字为comn

3-2 解密下面的一段恺撒密码密文（明文单词间留空，以便阅读）：

EHVWWLPHRIWKHBHDULVVSULQJZKHQIORZHUVEORRP

解：将密文字母在英文字母表上前移3个位置，即可得到这段恺撒密码密文对应的明文如下： best time of the year is spring when flowers bloom

3-3 利用仿射密码算法加密下面的明文，假设k 1=7，k

2=3（要求首先列出明文字母-密文字母代换表，然后给出对应的密文，并以字母t 的加密为例给出计算过程）：

解：因为k 1=7，k 2=3，因此仿射密码的加密公式为

)26(mod 37)(21+=+==p k p k p e c k

字母t （19）被加密为

)26(mod 61363197)(G t e k ===+?=

完整的明文字母-密文字母代换表如下表所示：

22

3-4 解密3-3题所得仿射密码密文，并以密文字母F 的解密为例说明计算过程。 解：因为k 1=7，k 2=3，因此，根据仿射密码的解密公式，有

)26(mod 1915)3(15)3(71-=-?=-?=-c c c p

密文字母F （5）解密为：)26(mod 4561975195151915e c ===-=-?=-

3-5 使用密钥字student 对明文cryptography 进行维吉尼亚密码加密和解密，要求仿照表3-7（P51）给出其加密和解密过程，并说明相同明文字符的加密结果。 解：去除密钥字student 中后来重复的字母后，真正的密钥为studen 。因此，应将明文、密文按照6位长度进行分组，每组使用同样的密钥studen 加密、解密。

3-6 选择希尔密码的加密密钥矩阵k 为：?

?

?

?

??=07050203k 试以明文love 为例 解：将明文字符love 变换为数字，分别为11、14、21、4。 因为加密密钥矩阵k 为2阶矩阵，所以应将明文分成)1411(1=p 和)421

(2=p 两组分别进行加密。

（1）确定解密密钥矩阵k -1

111021527307

050203=-=?-?==

k

1926mod 1111

==--k

（见表2-2（P21）

）

33

)26(mod 0321240703050207*?

?

????=??????--=k )26(mod 05091403573994561330321240719*

1

1

??

?

???=??????=??????==--k k k

（2）加密

())26(mod )()1625()120103(07050203141111Q Z k p c ===???

????=?=?

())26(mod )()185()7038(0705020342122S F k p c ===?

?

?

????=?=?

因此，明文字符love 的加密密文为ZQFS 。 （3）解密

())

26(mod )()1411()430219(050914031625111o l k c p ===?

??

????=?=- ())26(mod )()421()160177(050914031851

22e v k c p ===??

?

????=?=-

因此，密文字符ZQFS 的解密明文为love ，即解密后恢复了原来的明文。

3-7 使用每行5个字符的格子和密钥字money ，将下面的明文置乱为密文（多余的空格内依次填入字母a 、b 、c …）：cryptography is the science and study of secret writing

提示：将密钥字money 变换为数字（字母表上最靠前的密钥字母用0表示，然后依次递增），即是读出列的顺序。

解：置乱密码的格纸表如下表所示：

根据密钥字money，得到读出列的顺序为1、3、2、0、4。按照此顺序读出各列，得到置乱密文如下：RGYENDYCRG PASCETFETB YRISCSORIA COHHENDEWN TPTIAUSTIC 3-9用频数法破译下面的一段仿射密码密文（不含空格）：

FMXVE DKAPH FERBN DKRXR SREFM ORUDS DKDVS HVUFE DKAPR KDLYE VLRHH RH

解：（1）密文字母频数统计

该段仿射密码密文一共有57个密文字符，密文字母出现的频数如下表所示：

从上表可见频数比较高的密文字母：R：8 ； D：7； E、H、K：5 ； F、V：4而明文字母频数比较高的几个英文字母依次为e、t、a、o、i、n、s、h、r。

（2）假设与推论、证实

44

55

第一次假设：频数最高的密文字母R （17）对应频数最高的明文字母e （4）, 频数次高的密文字母D （3）对应频数次高的明文字母t （19）。第二次假设：频数最高的密文字母R （17）对应频数最高的明文字母e （4）, 频数第三高的密文字母E （4）对应频数次高的明文字母t （19）。第三次假设：频数最高的密文字母R （17）对应频数最高的明文字母e （4）, 频数并列第三的密文字母H （7）对应频数次高的明文字母t （19）。

第四次假设：频数最高的密文字母R （17）对应频数最高的明文字母e （4）, 频数并列第三的密文字母K （10）对应频数次高的明文字母t （19）。根据仿射密码的加密公式，列出密文和明文的关系方程组如下：

)26(mod 41721k k += ⑦

)26(mod 191021k k += ⑧

⑧-⑦得：)26(mod 197151=-=k

解得：)26(mod 313319719151

1==?=?=-k

由于1)26,3gcd()26,gcd(1==k ，因此31=k 存在乘法逆元，且931

1

1==--k ，说明

第四次假设正确。

将31=k 代入⑦式，得：)26(mod 5341741712=?-=-=k k

因此，破译得到该仿射密码的加密密钥为31=k ，52=k 。将它们代入仿射密码的解密公式，得到：)26(mod 199459)5(9)(211-=-=-?=-=-c c c k c k p

⑨

将密文字母代入⑨式，得到对应的明文字母，如下表所示：

66 例如，密文字母U （20）代入⑨式，得到明文字母为

)26(mod 51611918019209199f c ===-=-?=-

对照题上表，将密文变换为明文，得到如下的一段具有明确意义的明文： algorithms are quite general definitions of arithmetic processes

第四章：

4-5 分别使用（4-14）式和表4-1的S 盒查找表，求16进制数{5c}和{e2}的字节代换结果。已知{5c}-1={51}，{e2}-1

={d6}。 解 由于{5c}-1

={51}=（01010001）

}

4{010010100110001100101001011000110101000111

1

1

1

001111100001111100001111110001111110001111110001

111110001'7'6'5'4'3'2'1'0a b b b b b b b b =????

????????

??????????????=??????????????????????????⊕??????????????????????????=??????????????????????????⊕???

???

???????????????????????????????????????????

???=????????????

?????????????? 而根据表4-1的S 盒查找表，可以直接得到{5c}的字节代换结果为{4a}，可见二者结果相同。

同理，由于{e2}-1

={d6}=（），根据（4-14）式，有

}

98{100110000110001111111011011000111101011011

1

1

1

001111100001111100001111110001111110001111110001

111110001'7'6'5'4'3'2'1'

0=????

??????

??

??????????????=??????????????????????????⊕??????????????????????????=??????????????????????????⊕???

???

???

???????????????????????????????????????????=????????????

??????????????b b b b b b b b 而根据表4-1的S 盒查找表，可以直接得到{e2}的字节代换结果为{98}，可见二者结果也相同。

4-6 AES 的中间态如题4-6图所示。求AES 对其执行行移位运算ShiftRows 后的结果。

77

解 AES 对其执行行移位运算ShiftRows 后的结果如题4-6图2所示。 4-7 分别用多项式乘法、移位相加法和表操作法计算下列字节乘法运算： （1）}71{}51{? （2）}2{}5{e c ?

解 （1）1)01010001(}51{4

6

++==x x ，1)10010101(}71{4

5

6

+++==x x x 。 ① 多项式乘法计算字节乘法运算

64654121110610984654121198584358438435434358754764354{51}{71}(1)(1)

11(1)1(1)(1)1(1)(1)1

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?=+++++=+++++++++++=+++++=+++++=++++-+++++=++++++++=+++++++++243586528438652436526543211(1)11(01111111){7}

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++++++=+++=++++-+++=++++++=++++++==

② 移位相加法计算字节乘法运算

由于{51}{71}(01010001)(01110001)?=?，且

30

e5

f1

ae

525d 981141b4bf 271e b8e0d4

e5

f1

ae

30

9811525d 2741b4bf 1e b8e0d4

88 (00000001)(01110001)(01110001)(00000010)(01110001)(11100010)

(00000100)(01110001)(11000100)(00011011)(11011111)(00001000)(01110001)(10111110)(00011011)(10100101)(00010000)(01110001)(01001?=?=?=⊕=?=⊕=?=010)(00011011)(01010001)(00100000)(01110001)(10100010)

(01000000)(01110001)(01000100)(00011011)(0101111)

⊕=?=?=⊕= 因此，有

{51}{71}(01010001)(01110001)

[(00000001)(01110001)][(00010000)(01110001)][(01000000)(01110001)]

(01110001)(01010001)(01011111)(01111111){7}

f ?=?=?⊕?⊕?=⊕⊕==

③ 表操作法计算字节乘法运算 查表4-2的对数表，有：{}

{51}{03}

dd =，{79}

{71}{03}

=。因此，

{}{79}{}{22}{57}{}{57}{57}{51}{71}{03}{03}{03}{03}{03}{03}{03}{03}dd dd ff ?=?=??=?=

查表4-3的反对数表，有：{57}

{03}{7}f =。因此，{57}{51}{71}{03}{7}f ?==。

4-9 利用{15}

{03}{73}=的已知结果，证明)2(8GF 域上的元素{16}{95}{03}=。

解

{16}{15}6547652654742{03}{03}{03}{03}{73}(1)(1)

11(10010101){95}

x x x x x x x x x x x x x x x x x =?=?=+++++=+++++++++=+++==

4-10 利用表操作法，计算)2(8

GF 域上的元素}5{c 和}2{e 的乘法逆元。 解：{22}

{5}{03}

c =，{92}

{2}{03}

e =

根据表4-2，有{22}

{5}{03}c =，{92}

{2}{03}

e =，因此，

1{22}{}{22}{}{5}{03}{03}{03}ff dd c ---===

99

1{92}{}{92}{6}{2}{03}{03}{03}ff d e ---===

根据表4-3，得到

1{}{5}{03}{51}dd c -== 1{6}{2}{03}{6}d e d -==

4-11 分别用移位相加法和表操作法计算AES 的下列字运算： （1）}]6{}03[{}]46{}02[{}]6{}01[{}]87{}01[[{a e ?⊕?⊕?⊕?

（2）}]94{}01[{}]8{}01

[{}]4{}03[{}]52{}02[{?⊕?⊕?⊕?c a 解 （1）

① 移位相加法计算

{01}{87}{01}{6}{02}{46}{03}{6}{87}{6}{02}{46}[{02}{6}{6}](10000111)(01101110)(00000010)(01000110)

[(00000010)(10100110)(10100110)]

(11101001)(10001100)[(01001100)(00011011)e a e a a ?+?+?+?=++?+?+=++?+?+=+++(10100110)](11101001)(10001100)(11110001)(10010100){94}

+=++== ② 表操作法计算

1010

{19}{}{01}{49}{7}{4}[{01}{87}][{01}{6}][{02}{46}][{03}{6}]{87}]{6}[{02}{46}][{03}{6}]{87}{6}[{03}{03}][{03}{03}]{87}{6}{03}{03}{87}{6}{8}{1}

(10000111)(0110111ce e a e a e a e e e c f ?⊕?⊕?⊕?=⊕⊕?⊕?=⊕⊕?⊕?=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕0)(10001100)(11110001)(10010100){94}

⊕⊕==

（2）

① 移位相加法计算

[{02}{52}][{03}{4}][{01}{8}][{01}{94}][{02}{52}][{4}{02}{4}]{8}{94}

(10100100)[(10100100)(0100100000011011)]

(11001000)(10010100)

(00001111){0}

a c a a c f ?⊕?⊕?⊕?=?⊕⊕?⊕⊕=⊕⊕⊕⊕⊕==

② 表操作法计算

{19}{}{01}{17}{17}{}{18}[{02}{52}][{03}{4}][{01}{8}][{01}{94}][{03}{03}][{03}{03}]{8}{94}[{03}{03}]{03}{8}{94}{4}{7}{8}]{94}(10100100)(11110111)(11001000)(100101fd ff a c c c a f c ?⊕?⊕?⊕?=?⊕?⊕?⊕=?⊕⊕?⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕00)(00001111){0}

f == 4-12 假设128比特种子密钥k 为：

k=ab 7e 15 16 28 ae d2 a6 ab f7 15 88 09 cf 4f 3c

试仿照表4-6列表给出轮密钥字90~w w 的密钥扩展过程及结果。

解 轮密钥字90~w w 的密钥扩展过程及结果如题4-12表所示。

11

i

1-i w

)(RotWord

)(SubWord

j Rcon

i t

4-i w

i w

0 ab7e1516 1 28aed2a6 2 abf71588 3 09cf4f3c 4 09cf4f3c cf4f3c09

8a84eb01

01000000

8b84eb01

ab7e1516 20fafe17 5 20fafe17 28aed2a6 08542cb1 6 08542cb1 abf71588 a3a33939 7 a3a33939 09cf4f3c aa6c7605 8 aa6c7605 6c7605aa

50386bac

02000000

52386bac

20fafe17 72c295bb 9

72c295bb

08542cb1

7a96b90a

4-20 画出题4-20图所示4级序列产生器的全状态图，从最小的非0状态开始写出一个周期的输出序列，并说明它是否是m 序列产生器。

解：该4级序列产生器的全状态图如题4-20图2所示。由图可见，从最小的非0状态开始，一个周期的输出序列为00，其周期为15，因此它是m 序列产生器。

题4-20图 4级序列产生器

0000

0001

1000

1100

1110

1111

0111

1011

0101

1010

1101 0110

0011

1001 0100 0010

题4-20图2 4级序列产生器的全状态图

1212

4-23 检验周期序列“00”的平衡特性、游程特性和自相关特性。其中，自相关特性直接通过（4-57）式和（4-58）式的计算来进行检验。

解：（1）平衡特性检验。该序列的周期为15 ，且一个周期中有8个“1”、7个“0”，因此符合戈龙提出的随机性公设中的平衡特性。如用频数法检验，将18n =、07n =代入

（4-59）式，有222

10()(87)1

1515

n n x n --=

== 显然，它远远小于1自由度的2x 分布表中5%显著性水平值，所以通过频数检验。 （2） 游程特性检验。该序列的一个周期中，有两个长度为1的“1”游程，有1个长度为2的“1”游程，有1个长度为4的“1”游程，“1”游程的总数为4。除了长度为4的“1”游程外，长度为1的“1”游程数为“1”游程总数的1/2，长度为2的“1”游程数为“1”游程总数的1/4，因此基本符合游程特性。

同样，该序列的一个周期中，有两个长度为1的“0”游程，有1个长度为2的“0”游程，有1个长度为3的“0”游程，“0”游程的总数为4。除了长度为3的“0”游程外，长度为1的“0”游程数为“0”游程总数的1/2，长度为2的“0”游程数为“0”游程总数的1/4，因此也基本符合游程特性。

（3）自相关特性检验。检验结果见题4-23表。从该表可见：

① 该序列的自相关函数值符合（4-58）式的特性，即0τ=时，()(0)1C C τ==；0τ≠时，()1/15C τ=-。因此该序列具有很好的自相关特性。

② 自相关函数具有周期性，其周期与要检验序列的周期相同。

题4-23表自相关特性检验

第5章：

5-5在RSA体制中：

1313

1414

（1）若19p =,23q =,5e =，求n 、()n ?和d 。

（2）若31e =，3599n =，求d 。该计算结果说明了什么问题

解 （1）1923437n p q =?=?=，()(1)(1)1822396n p q ?=--=?=

11mod ()5mod 396317d e n ?--===

（2）由于35995961n p q ==?=?，因此59p =,61q =。

()(1)(1)58603480n p q ?=--=?=

11mod ()31mod 3963031d e n ?--===

该结果说明， p 、q 太小是不安全的，攻击者容易通过因式分解从n 分解出p 、q ，并进而根据()n ?和e 计算出私钥d 。

5-6 使用快速计算法计算下列模指数，要求列表给出计算过程。 （1）1613 mod 4661 （2）432159 mod 4661 解（1）b=13=（1101），a=16，n=4661，计算过程如下表所示

因此，13

16

mod 46613847=。

（2）b=59=（111011），a=4321，n=4661，计算过程如下表所示。

1515

因此，59

4321

mod 46612551=。

5-7 假设Alice 和Bob 采用RSA 密码体制进行保密通信。已知Alice 的公钥为（e A ，n A ）=(13，115)，私钥为（d A ，n A ）=（62，115）；Bob 的公钥为（e B ，n B ）=(7，119)，私钥为（d B ，n B ）=（55，119）。

（1）若Alice 想将明文7m =加密后传送给Bob ，试计算密文c 。 （2）若Bob 要解密密文3c =，试计算明文m 。 解（1）7mod 7mod 119823543mod 11963B

e B c m

n ====

（2）55mod 3mod 119174449211009120179071170507mod 11945B d B m c n ==== 5-8 假设Alice 和Bob 采用RSA 密码体制进行保密通信。已知Alice 的公钥为（e A ，n A ）=(13，115)，私钥为（d A ，n A ）=（62，115）；Bob 的公钥为（e B ，n B ）=(1223，2867)，私钥为（d B ，n B ）=（167，2867）。字符代换规则为：字母a~z 分别用01~26表示，空格用00表示。

（1) 若Alice 想将明文“rsa algorithm ”秘密地发送给Bob ，帮Alice 计算密文。 （2）Bob 收到Alice 发来的密文后，帮Bob 计算明文，并将明文替换回英文字符。 （3）若Bob 想将明文“rs ”秘密地发送给Alice ，帮Bob 计算密文。

解（1）由于Bob 的模数n B =2867，因此Alice 可以一次加密两个字符。将明文“rsa algorithm ”替换为数字，并按两个字符分组为：1819 0100 0112 0715 1809 2008 1300。

1616

各组明文加密如下：

122311mod 1819mod 28672756B e B c m n === 122322mod 0100mod 28672001B e B c m n === 122333mod 0112mod 28670542B e B c m n === 122344mod 0715mod 28670669B e B c m n === 122355mod 1809mod 28672347B e B c m n === 122366mod 2008mod 28670408B e B c m n === 122371mod 1300mod 28671815B e B c m n ===

因此，Alice 加密后的密文为：2756 2001 0542 0669 2347 0408 1815。 （2）Bob 收到Alice 发来的密文后，分组解密得到各组明文：

16711mod 2756mod 28671819B d B m c n === 122322mod 2001mod 28670100B d B m c n === 16733mod 0542mod 28670112B d B m c n === 16744mod 0669mod 28670715B d B m c n === 16755mod 2347mod 28671809B d B m c n === 16766mod 0408mod 28672008B e B m c n === 16771mod 1815mod 28671300B d B m c n ===

因此，Bob 解密后的明文为：1819 0100 0112 0715 1809 2008 1300。替换回英文字符后，明文为：rsa algorithm 。

（3）由于Alice 的模数n A =115，因此Bob 只能一次加密一个字符。将明文“rs ”替

1717

换为数字，为：18 19。各组明文加密如下：

1311mod 18mod 11548A e A c m n === 1322mod 19mod 11599A e A c m n ===

因此，Bob 加密后的密文为：48 99。

5-9 假设Alice 采用EIGamal 密码体制，并选择素数2579p =，私钥567x =， 且已知()GF p 的一个生成元2g =。

（1） 计算Alice 的公钥y 。

（2） 若Bob 想秘密发送消息1234m =给Alice ，且他选择的随机数359r =，试给出Bob 和Alice 的加密和解密过程。

（3）若Bob 发送上述密文时，不慎将密文12c c 、交换了位置，会出现什么问题 解

（1）Alice 的公钥567

mod 2

mod 2579633x y g p ===。 （2）Bob 和Alice 的加密和解密过程 Bob 加密：

3591mod 2mod 25791514r c g p ===

3592mod 1234633mod 25791478r c my p ==?=

Alice 解密：

12156711()mod 1478(1514)mod 25791478(1623)mod 25791478116mod 2579171448mod 25791234

x m c c p

---==?=?=?==

1818

（3）若Bob 发送上述密文时，不慎将密文12c c 、交换了位置，Alice 将无法正确解密。此时，Alice 的解密结果为：

12156711()mod 1514(1478)mod 25791514(1997)mod 257915141644mod 25792489016mod 2579281

x m c c p

---==?=?=?==

5-10 说明实数域上的椭圆曲线(3,2)E -能否构成一个阿贝尔群。

解 由于3a =-、2b =，因此3

2

3

2

4274(3)2720a b +=?-+?=，不满足（5-37）式关于324270a b +≠的要求，所以实数域上的椭圆曲线(3,2)E -不能构成一个阿贝尔群。

5-11 找出素域(11)GF 上的椭圆曲线)6,1(11E 即2

3

6y x x =++上的所有点。 解 对于x 、y 的所有可能值0~10，列一张方表如题5-11表所示，逐对验证x 、y 值是否素域(11)GF 上椭圆曲线)6,1(11E 即2

3

6y x x =++上的点（注意，数值运算时要进行mod 11运算）。若是，对应表格内划√；若不是，对应表格内不做记号。

题5-11表 寻找素域(11)GF 上椭圆曲线)6,1(11E 即2

3

6y x x =++上的所有点

1919

根据题5-11表，得到素域(11)GF 上椭圆曲线)6,1(11E 即2

3

6y x x =++上的所有点（不含无穷远点）为：（2,4）,（2,7）,（3,5）,（3,6）,（5,2）,（5,9）,（7,2）,（7,9）, （8,3）, （8,8）, （10,2）,（10,9）。

5-13 由不可约多项式4

()1m x x x =++定义的有限域4

(2)GF 有一个生成元

(0010)2g x ===，非0元素与生成元g 的关系参见表5-4。已知4(2)GF 上的椭圆曲线

4402(,)E g g 为23421y xy x g x +=++，其上的两个点分别为53(,)P g g =和

614(,)Q g g =。计算：

（1）Q R -= （2）P Q S -= （3） 2P U = （4）5P V =

解 4(0011)a g ==，0

(0001)b g ==，5(0110)P x g ==，3

(1000)P y g ==，

6(1100)Q x g ==，14(1001)Q y g ==。

（1）由于Q R -=，因此Q 与R 为互逆点。根据互逆点规则和（5-61）式，有

6R Q x x g ==

6148(1100)(1001)(0101)R Q Q y x y g g g =+=+=⊕==

因此，有

61468(,)(,)Q g g R g g -=。

（2）()P Q S P Q P R -==+-=+。因为P R x x ≠，所以P 、R 是非互逆点。

2020

根据（5-65）式，有

83134

659

(0101)(1000)(1101)(1100)(0110)(1010)R P R P y y g g g g x x g g g

λ++⊕======++⊕ 将λ代入（5-63）、（5-64）式，得到

242456484564

12

()(0101)(0011)(0110)(1100)(0011)(1111)S P R x x x a g g g g g g g g g g g λλ=++++=++++=++++=⊕⊕⊕⊕==

451212391612391123

12

()()(1010)(0010)(1111)(1000)(1111)S P S S P

y x x x y g g g g g g g g g g g g g g λ=+++=+++=+++=+++=⊕⊕⊕==

因此，有

5361453681212(,)(,)(,)(,)(,)P g g Q g g P g g R g g S g g -=+=

（3） 2P U =。根据倍点规则，有

252331855

5

55

5137

()(0110)(1101)(1011)P P P x y g g g g g g x g g g g g g λ++===+≡+=+=⊕== 将λ代入（5-67）和（5-68）式，得到

272741474

()(1001)(1011)(0011)(0001)1U x a g g g g g g g

λλ=++=++=++=⊕⊕===