基本不等式高考历年真题
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【考点20】基本不等式
2009年考题
1.(2009天津高考)设0,0.a b >>若11
333a b a b
+是与的等比中项,则的最小值为( )
A 8
B 4
C 1
D 14
【解析】选B. 因为333=?b a ,所以1=+b a ,
1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b
+=++=++≥+?=, 当且仅当
b a a b =即2
1
==b a 时“=”成立,故选择B. 2.(2009天津高考)设y
x b a b a b a R y x y
x
1
1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则
若的最大值为( ) A.2 B.
23 C.1 D.2
1 【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a y
x y x b a ====,
1)2
(log log 11233=+≤=+b a ab y x (当且仅当a=b=3时等号成立).
3.(2009重庆高考)已知0,0a b >>,则
11
2ab a b
++的最小值是( ) A .2
B .22
C .4
D .5
【解析】选C. 因为
11112222()4ab ab ab a b ab ab ++≥+=+≥当且仅当11a b
=, 且
1
ab ab
=,即a b =时,取“=”号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.(2009湖南高考)若x ∈(0,
2π)则2tanx+tan(2
π
-x)的最小值为 . 【解析】由(0,)2x π∈,知1
tan 0,tan()cot 0,2tan παααα
>-==>所以
1
2tan tan()2tan 22,2tan παααα
+-=+≥当且仅当2tan 2α=时取等号,即最小值是22
答案:22
5.(2009湖南高考)若0x >,则2
x x
+
的最小值为
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 0x >Q 222x x ?+≥,当且仅当2
2x x x
=?=时取等号.
答案:22
6.(2009湖南高考)若0x >,则2
x x
+
的最小值为 . 【解析】选0x >Q 222x x ?+≥,当且仅当2
2x x x
=?=时取等号.
答案:22
7.(2009江苏高考)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m 元,则他的满意度为m
m a
+;如果他买进该产品的单价为n 元,则他的满意度为n n a
+.如果一个人
对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ,则他对这两种交易的综合满意度为12h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元,甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式;当3
5
A B m m =时,求证:h 甲=h 乙;(2)设3
5
A B m m =,当A m 、B m 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。【解析】(1)
当3
5
A B m m =时,235
35
(20)(5)125
B B B B B B B m m m h m m m m =
?=++++甲
235320(5)(20)35
B
B B B
B B B m m m h m m m m =
?=++++乙 h 甲=h 乙
(2)当
3
5
A B
m m
=时,
2
2
11
=,
20511
(20)(5)(1)(1)100()251
B
B B
B B B B
m
h
m m
m m m m
==
++++++
甲
由
111
[5,20][,]
205
B
B
m
m
∈∈
得,故当
11
20
B
m
=即20,12
B A
m m
==时,
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为
10
。
(3)由(2)知:
h=
10
由
10
=
1255
A B
A B
m m
h h
m m
?≥=
++
甲
得:
1255
2
A B
A B
m m
m m
++
?≤,
令
35
,,
A B
x y
m m
==则
1
[,1]
4
x y∈
、,即:
5
(14)(1)
2
x y
++≤。
同理,由
10
5
h h
≥=
乙
得:
5
(1)(14)
2
x y
++≤
另一方面,
1
[,1]
4
x y∈
、141
x x
+∈+∈
5
、1+4y[2,5],、1+y[,2],
2
55
(14)(1),(1)(14),
22
y x y
++≤++≤当且仅当
1
4
x y
==,即
A
m=3
5B
m时,取等号。由(1)知
A
m=3
5B
m 时h甲=h乙
所以不能否适当选取
A
m、
B
m的值,使得
h h
≥
甲
和
h h≥
乙
同时成立,但等号不同时成立。
8.(2009湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:米),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
【解析】(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则2y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=
x
360
,
所以y=225x+2
360360(0)x x -> w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II)2
23600,225222536010800x x x
>∴+≥?=Q 104403603602252≥-+=∴x
x y .当且仅当225x=x 2
360时,等号成立.
即当x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
2008年考题
1、(2008四川高考)已知等比数列{}n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是( ) (A )(,1]-∞- (B )(,0)(1,)-∞+∞U (C )[3,)+∞ (D )(,1][3,)-∞-+∞U 【解析】选D.方法1:∵等比数列{}n a 中21a =∴当公比为1时,1231a a a ===,33S =; 当公比为1-时,1231,1,1a a a =-==-,31S =-从而淘汰(A )(B )(C )故选D ;
方法2:∵等比数列{}n a 中21a =∴3123211(1)1S a a a a q q q q
=++=++=++∴当公比0q >时,
3111123S q q q q =+++?…;当公比0q <时,3111()12()1S q q q q
=-----?--?∴3(,1][3,)S ∈-∞-+∞U 故
选D ;
方法3:311S x x =++(0)x ≠.由双勾函数1y x x =+的图象知,12x x +…或12x x +-?,故选D .
2、(2008重庆高考)函数()x f x =
的最大值为( ) A .25
B .12
C 2
D .1
【解析】选B.11()12x f x x x
=
=?1x x =,即1x =时取等号)。故选B 。
3、(2008浙江高考)已知0,0,2,a b a b +=且则厖( )
A.12
ab ?
B. 12
ab …
C.222a b +…
D. 223a b +?
【解析】选C.由0,0a b
厖,且2a b +=∴22222
4()22()a b a b ab a b =+=+++?,当且仅当a=b=1时等号
成立∴22
2a b +…。
4、(2008陕西高考)“18a =”是“对任意的正数x ,21a x x
+…”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【解析】选A.18a =112222188a x x x x x x ?+=+?=…,另一方面对任意正数x ,21a x x +…
只要22221a a x x a
x x
+?=2厖18
a ?…,所以选A.
5、(2008江西高考)若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且,则下列代数式中值最大的是( ) A .1122a b a b + B .1212a a b b + C .1221a b a b + D .12
【解析】选A.22121212121
(
)()222
a a
b b a a b b ++++=? 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--… 11221221()a b a b a b a b ++…
12121122112111221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=++++?∴112212
a b a b +…
6、(2008年安徽高考)设函数1()21(0),f x x x x
=+-< 则()f x ( )
A .有最大值
B .有最小值
C .是增函数
D .是减函数
【解析】选A .1020,0x x x <->->∵∴,11()21[(2)()]1f x x x x x =+-=--+--,由基本不等式
11()[(2)()]12(2)()1221f x x x x x
=--+------=--?有最大值.
7、(2008江苏高考)2
,,,230,y x y z R x y z xz
*
∈-+=的最小值为 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230x y z -+=得32x z
y +=,代入2y xz 得
229666344x z xz xz xz
xz xz
+++≥=,当且仅当3x z =时取“=”。
答案:3
8、 (2008湖北高考).如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm ),能使矩形广告面积最小?
【解析】方法1:设矩形栏目的高为a cm ,宽为b cm ,则ab =9000.
①
广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.
广告的面积S =(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b
≥18500+2b a 4025?=18500+.245001000=ab
当且仅当25a =40b 时等号成立,此时b =a 8
5
,代入①式得a =120,从而b =75.
即当a =120,b =75时,S 取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm 时,可使广告的面积最小.
方法2:设广告的高为宽分别为x cm ,y cm ,则每栏的高和宽分别为x -20,
,2
25
-y 其中x >20,y >25 两栏面积之和为2(x -20)18000225=-y ,由此得y =,2520
18000
+-x 广告的面积S =xy =x (252018000+-x )=2520
18000
+-x x ,
整理得S =.18500)20(2520
360000
+-+-x x
因为x -20>0,所以S ≥2
.2450018500)20(2520
360000
=+-?-x x
当且仅当
)20(2520
360000
-=-x x 时等号成立,
此时有(x -20)2=14400(x >20),解得x =140,代入y =20
18000
-x +25,得y =175,
即当x =140,y =175时,S 取得最小值24500,
故当广告的高为140 cm ,宽为175 cm 时,可使广告的面积最小. 2007年考题
1.(2007上海高考)已知,a b 为非零实数,且a b <,则下列命题成立的是( )
A 、22a b <
B 、22ab a b <
C 、2211ab a b
<
D 、b a
a b < 【解析】选C. 若0a b <2
a ≥2
b ,A 不成立;若220
,ab a b ab a b
>??
则
12,2b a b a
a b a b
==?>,所以D 不成立 ,故选C. 2.(2007重庆高考)若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项,则
|
|2||2b a ab
+的最大值为( )
A.
1552 B.42 C.55 D.2
2
【解析】选B.a 是1+2b 与1-2b 的等比中项,则2
2
2
2
14414||.a b a b ab =-?+=≥
1
||.4
ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-=Q
2
||2||ab a b ∴=≤=+
=
=
11||4,4||
ab ab ≤
∴≥Q
4
=
3.(2007山东高考)函数1(01)x
y a a a -=>≠,的图象恒过定点A ,若点A 在直线
10(0)mx ny mn +-=>上,则
11
m n
+的最小值为 . 【解析】函数1(01)x
y a
a a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ,
1110m n ?+?-=,1m n +=,,0m n >,
(方法一)
:2m n +≥,
11224m n +≥?=(当且仅当m=n=1
2
时等号成立).(方法二)
:1111()()224n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+=(当且仅当m=n=1
2
时等号成立). 答案:4.
4.(2007山东高考)函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则
12
m n
+的最小值为_______. 【解析】函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --,(2)(1)10m n -?+-?+=,
21m n +=,,0m n >
,
12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+= 答案:8.
5.(2007上海高考)已知,x y R +
∈,且41x y +=,则x y ?的最大值为_____
【解析】211414()44216
x y xy x y +=?≤=,当且仅当x=4y=1
2时取等号.
答案:
16
1