初三九年级数学沪科版 第23章 解直角三角形第23章 专训(word版)整合提升密码

解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特

殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用

数形结合思想进行巧算．

巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．

巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值．

巧用折叠法求67.5°角的三角函数值

3．小明在学习“锐角的三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后还原，求67.5°角的正切值．

(第3题)

巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值

4．求sin 18°，cos 72°的值．

巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．

解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题

名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角学的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛．

利用三角函数解与函数的综合问题

1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB＝1 2.

(1)求点B的坐标和k的值；

(2)若点A(x，y)是第一象限内的直线y＝kx－1上的一个动点，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数表达式．

(第1题)

2．如图，反比例函数y＝k

x(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，

作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝3 2.

(1)求k的值；

(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝k

x(x＞0)

的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数表达式；

(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．

(第2题)

利用三角函数解与方程的综合问题

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．

利用三角函数解与相似的综合问题

4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.

(1)求证：BF＝BG；

(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．

(第4题)

解码专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．

定位问题

1．(2014·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．

(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1海里)

(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)

(第1题)

坡坝问题

2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE ＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F

处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

(第2题)

测距问题

3．一条东西走向的高速公路有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)

测高问题

4．(2015·盐城)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼

房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(3取1.73)

(1)求楼房的高度约为多少米？

(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由．

(第4题)

解码专训四：利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的原理来解释实际问题．

航行路线问题

1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．

(第1题)

工程规划问题

2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tan α＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．

(第2题)

拦截问题

3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)

(第3题)

台风影响问题

4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏不20°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．

(1)当台风中心移动4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km；

(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，城市O是否会受到台风侵袭？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

(第4题)

解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习锐角三角函数定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考中的必考内容．

锐角三角函数的定义

1．(2015·南通)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tan α的值是()

A.

5

5B. 5 C.

1

2D．2

(第1题)

(第2题)

2．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连接CD ，若tan ∠BCD ＝1

3，则tan A ＝( )

A .32

B ．1

C .13

D .23

3．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，点A 、B 、O 均在格点上，则cos ∠AOB 的值是________．

(第3题)

(第4题)

4．如图，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠EFC 的值为________．

5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点，垂足为E ，求sin ∠CAD 的值．

(第5题)

特殊角的三角函数值及其计算

6．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么sin A 等于( ) A .12 B .22 C .3

2 D ．1

7．若等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 8．计算：(cos 60°)－1

÷(－1)2 016

＋|2－8|－2

2＋1

×(tan 30°－1)0.

解直角三角形

(第9题)

9．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝3

3，则边BC 的长为( )

A ．30 3 cm

B ．20 3 cm

C ．10 3 cm

D ．5 3 cm

10．(2015·日照)如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝1

2BD ，

连接AC，若tan B＝5

3，则tan∠CAD的值为()

A.

3

3B.

3

5C.

1

3D.

1

5

(第10题)

(第11题)

11．(2014·大庆)如图，矩形ABCD中，AD＝2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝________．

12．(2014·临沂)如图，在?ABCD中，BC＝10，sin B＝9

10，AC＝BC，则?

ABCD的面积是________．

(第12题)

解直角三角形的实际应用

13．(2015·南京)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O 多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)

(第13题)

三角函数与学科内的综合

14．(2015·上海)已知在平面直角坐标系xOy中(如图)，抛物线y＝ax2－4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB＝25，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)用含m的代数式表示线段CO的长；

(3)当tan∠ODC＝3

2时，求∠PAD的正弦值．

(第14题)

解直角三角形中思想方法的应用

a．转化思想

15．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)

(第15题)

b．方程思想

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝错误!，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．

(第16题)

17．(中考·泰州)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD 底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)

(第17题)

答案

解码专训一

1．解：如图，作Rt△ABC，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝3a，∴CD＝AC＋AD ＝AC＋AB＝(2＋3)a.

在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝a2＋（7＋43）a2＝(6＋2)a.

∴sin 15°＝sin D＝BC

BD＝

a

（6＋2）a

＝

6－2

4；

cos 15°＝cos D＝CD

BD＝

（2＋3）a

（6＋2）a

＝

6＋2

4；

tan 15°＝tan D＝BC

CD＝

a

（2＋3）a

＝2－ 3.

(第1题)

(第2题)

2．解：如图，作Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA ＝AB，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝2a，∴AD＝2a，DC＝(2＋1)a，

∴tan 22.5°＝tan D＝BC

CD＝

a

（2＋1）a

＝2－1.

3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，

∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，

∴∠FAB＝67.5°.

设AB＝x，则EB＝x，AE＝EF＝2x，

∴tan∠FAB＝tan 67.5°＝FB

AB＝

2x＋x

x＝2＋1.

(第4题)

4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，使∠ABC的平分线BD交AC于D点，过点A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BD＝AD＝a，易

知△ABC ∽△BCD ，∴AB BC ＝BC CD ，∴AB

a ＝

a

AB －a

， 即AB 2

－a·AB －a 2

＝0，∴AB ＝5＋1

2a(负根舍去)，∴sin 18°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝5－14.∴cos 72°＝cos ∠ABE ＝BE

AB ＝5－14.

(第5题)

5．解：如图，作△ABD ，△ACD ，使得DC ＝DA ，∠DAB ＝30°，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋DC ＝? ????

33＋1a.∴CE

＝BE ＝BC·sin C ＝

6＋326a ，∴AE ＝AC －CE ＝32－66

a ， ∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝BE

AB ＝32＋6

6a 233a

＝6＋24，

cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE ＝BE

AE ＝2＋3.

点拨：此题还可以利用第1题的图形求解．

解码专训二

1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1.得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.

在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是? ????

12，0.

把B ? ??

??

12，0代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝

2.

(2)由(1)知直线AB 对应的函数表达式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与

x 的函数表达式是S ＝12OB·y ＝12×12(2x －1)＝12x －1

4.

2．解：(1)∵tan ∠AOB ＝AB OB ＝3

2，∴AB ＝3，∴A 点的坐标为(2，3)，∵点A 在函数y ＝k

x (x ＞0)的图象上，∴k ＝6.

(2)∵DC ＝AB ＝3，∴EC ＝12DC ＝32.∵E 点的纵坐标为32.∵点E 在y ＝6

x (x ＞0)的图象上，∴点E 的坐标为? ????4，32，设直线AE 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则?????3＝2k ＋b ，32＝4k ＋b ，解得?????k ＝－3

4，b ＝92.

∴直线AE 对应的函数表达式为y ＝－34x ＋92.

(3)结论：AN ＝ME.理由：在表达式y ＝－34x ＋9

2中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝9

2.

∴点M(6，0)，N ? ??

??0，92. 方法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3， ∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝5

2. ∵CM ＝6－4＝2，EC ＝3

2， ∴根据勾股定理可得EM ＝5

2， ∴AN ＝ME.

方法二：连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2， ∵S △EOM ＝12OM·EC ＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF ＝12×92×2＝9

2，∴S △EOM ＝S △AON .

∵AN 和ME 边上的高相等，∴AN ＝ME.

3．解：∵a ，b 是方程x 2－mx ＋2m －2＝0的根，∴a ＋b ＝m ，ab ＝2m －2. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2＝52.

∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝25，即m 2－2(2m －2)＝25.解得m 1＝7，m 2＝－3. ∵a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边的长，

∴a ＋b ＝m ＞0.即m ＝－3不合题意，舍去．∴m ＝7. 当m ＝7时，原方程为x 2－7x ＋12＝0.解得x 1＝3，x 2＝4.

不妨设a＝3，b＝4，则∠A是最小的锐角，∴sin A＝a

c＝

3

5.

∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为3 5.

4．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵E是CD 的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.

(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tan G＝3，设CG

＝x，CE＝3x，则S

△CGE ＝

3

2x

2＝63，解得x＝23，

∴CG＝23，CE＝6，∵∠G＋∠CEG＝90°，∠G＋∠CBE＝90°，∴∠

CEG＝∠CBE.∵∠ECG＝∠BCE＝90°，∴△ECG∽△BCE.∴EC

BC＝

CG

CE，∴

6

BC＝

23

6，∴BC＝63，∴AD＝6 3.

解码专训三

1．解：(1)过C作AB的垂线，垂足为D，

根据题意可得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.

设CD的长为x海里，

在Rt△ACD中，tan 42°＝AD

CD，则AD＝x·tan 42°海里，

在Rt△BCD中，tan 55°＝BD

CD，则BD＝x·tan 55°海里．

∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，

∴x·tan 42°＋x·tan 55°＝80，

解得：x≈34.4，

答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离约是34.4海里；

(2)在Rt△BCD中，cos 55°＝CD

BC，∴BC＝

CD

cos 55°≈60(海里)，

答：海轮在B处时与灯塔C的距离约是60海里．

2．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，∴AE＝BE＝20米．

在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，

∴EF ＝

BE tan 30°＝20

3

3

＝203(米)．

∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)． 答：AF 的长度约是15米． 3．解：分两种情况：

(1)如图(1)，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米． sin B ＝CD BC ＝1

2，∴∠B ＝30°. ∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°.

∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，

(第3题)

∴DP ＝

CD tan ∠CPD ＝30

tan 60°

＝103(千米)．

在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°， ∴AD ＝DC ＝30千米．

∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米．

(2)如图(2)，同法可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米． ∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)千米．

答：交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．

点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．

(第4题)

4．解：(1)当α＝60°时，在Rt △ABE 中， ∵tan 60°＝BA AE ＝BA

10.

∴BA ＝10 tan 60°＝103≈10×1.73＝17.3(米

)． 即楼房的高度约为17.3米．

(2)当α＝45°时，小猫还能晒到太阳．

理由如下：如图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H.

∵∠BFA＝45°，∴此时的影长AF＝BA≈17.3米，所以CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(米)，

∴CH＝CF＝0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上．

∴小猫还能晒到太阳．

解码专训四

1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：

过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.

依题意，知AB＝24×30

60＝12(海里)，

∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.

在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan 60°＝CD

BD，∴BD＝

3

3CD.

在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan 30°＝CD

AD，∴AD＝3CD.

又∵AD＝AB＋BD，∴3CD＝12＋

3

3CD，解得CD＝63海里．

∵63＞9，

∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．

技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的最短距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．

2．解：不会穿过风景区．理由如下：过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.

∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝

AB

tanα＋tanβ

＝150

1.627＋1.373＝150

3＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A，B两市的高速公路不会