探究小车速度随时间变化的规律--匀变速直线运动速度与时间的关系

第五课时

第一节实验：探究小车速度随时间变化的规律

【知识目标】

1.根据相关实验器材，设计实验并熟练操作.

2.会应用已学知识处理纸带，求各点瞬时速度.

3.会用表格法处理数据，并合理猜想.

v 图象处理数据，观察规律

4.巧用t

5.掌握画图象的一般方法，并能用简洁语言进行阐述.

新课引入

物体的运动通常是比较复杂的。放眼所见，物体的运动规律各不相同。在生活中，人们跳远助跑、水中嬉戏……在自然界了，雨滴下落，猎豹捕食，蚂蚁搬家……这些运动中多有速度的变化。

物体的速度变化存在规律吗？怎样探索复杂运动蕴含的规律？怎样探索复杂运动蕴含的规律呢？

要探究一个物体随时间变化的规律，必须知道物体在不同时刻的速度。直接测量瞬时速度是比较困难的，我们可以借助打点计时器先记录物体在不同时刻的位置，在通过对纸带的分析，计算得到各个时刻的瞬时速度。

新课教学

一、进行实验

1、步骤（略）

2、实验注意问题

①开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器

②先接通电源，再释放小车，当小车停止运动时应及时关闭电源

③需防止钩码落地和小车与滑轮相撞，当小车到达滑轮前及时用手按住它

④钩码个数适当，以免a过大点太少。应以50cm的纸带取得20~40个连续

点为佳

二、数据分析

1、纸带的选取和处理

①多条纸带中选取一条点迹清晰且点迹排成直线的纸带进行处理。

②舍掉开头一段过于密集的，找一个适当的点做计时起点，为了减少测量误

差和便于计算，每隔4个“计时点”选取一个“计数点”进行测时，相邻

计数点的时间间隔为0.1秒

③测量距离时从选取的计时起点到各个计数点的距离

提问：瞬时速度的计算方法

2、数据处理：用描点法做速度—时间图象

⑴建立坐标系，纵坐标轴为速度v，横坐标轴为时间t

⑵对坐标轴进行适当分度，使测量结果差不多布满坐标系

⑶描出测量点，应尽可能清晰

⑷用一条光滑的曲线（直线）连接坐标系中的点

明显偏离的点视为无效点，连线时应使连线两侧的点分布大致相同 出示一组数据让学生在黑板上描出图象

⑸从最终结果看出小车的v —t 图象是一条倾斜的直线

三、对v —t 图象的认知

1、 图象的物理意义：反映了速度随时间变化的规律不是物体运动的轨迹

2、 可以从图象上得到任一时刻的速度

3、 可以求物体的加速度：t

v a ??=

4、 可以求出物体一段时间内的v ?

四、例题分析

例1、为了计算加速度，最合理的方法是…………………………（ ） A 、根据任意两计数点的速度公式t v a ??=/算出加速度

B 、根据实验数据画出v —t 图，量出其倾角，由公式αtan =a 求出加速度

C 、根据实验数据画出v —t 图，由图线上相距较远的两点对应的速度、时间，由公式αtan =a 求出加速度

D 、依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度

例2、一辆汽车关闭发动机后，以一定的初速度86km/h 冲上一段倾斜的长直公路，时间t/s 0 5 10 15 20 25 30 速度v/（km/h ） 86 81 76 70 65 59 54 速度v/（m/s ）

23.4

22.5

21.1

19.4

18.1

16.4

15.0

由以上数据用描点法作出汽车速度与时间关系的图线。

5、如图所示，是某质点做直线运动的v —t 图象，请回答下列问题： （1）尽可能详细地描述质点分别

在AB 、BC 、CD 段的运动； （2）质点在2s 末的速度多大？

第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系

1. 小球速度图象的进一步探究

在上节课“探究小车速度随时间变化的规律”这一实验中，我们画出了小车运动的速度图象，该图象是一条倾斜的直线。请继续思考下列问题：

速度图象中的一点表示什么含义？

小车的速度图象是一条倾斜的直线，表明小车的速度随时间是怎样变化的？ 小车做的是什么性质的运动？

不难看出，速度图象中的一点表示某一时刻的速度；小车的速度图象是一条倾斜的直线，表明小车的速度不断增大，而且速度变化是均匀的；小车做的是加速度不变的直线运动。 2. 对匀变速直线运动的理解

我们把沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动。对此，要注意以下几点：

（1）加速度是矢量，既有大小又有方向。加速度不变，指的是加速度的大小和方向都不变。若物体虽然沿直线运动，且加速度的大小不变，但加速度的方向发生了变化，从总体上讲，物体做的并不是匀变速直线运动。 （2）沿一条直线运动这一条件不可少，因为物体尽管加速度不变，但还可能沿曲线运动。例如我们在模块“物理2”中将要讨论的平抛运动，就是一种匀变速曲线运动。

（3）加速度不变，即速度是均匀变化的，运动物体在任意相等的时间内速度的变化都相等。因此，匀变速直线运动的定义还可以表述为：物体在一条直线上运动，如果在任意相等的时间内速度的变化都相等，这种运动就叫做匀变速直线运动。

（4）匀变速直线运动可分为匀加速直线运动和匀减速直线运动两类：速度随着时间均匀增加的直线运动，叫做匀加速直线运动；速度随着时间均匀减小的直线运动，叫做匀减速直线运动。

3. 用公式表达匀变速直线运动速度与时间的关系

物理量之间的函数关系可以用图象表示，也可以用公式表示。用公式表示物理量之间的函数关系，往往显得更加简洁和精确。那么，小车的速度图象——这条倾斜直线所表示的速度随时间变化的关系，怎样用公式来描述呢？

由教材图2.2-2可以看出，对于匀变速直线运动来说，由于其速度图象是一条倾斜的直线，无论△t 大些还是小些，对应的速度变化量△v 与时间变化量△t 之比都是一样的。设初始时刻（t =0）的速度为v 0，t 时刻的速度为v ，不妨取△t =t －0, 则对应的△v =v －v 0。从而，由 t

v v t v v t v a 0

00-=--=??=

， 可得 at v v +=0。

这就是匀变速直线运动的速度公式。

4. 对匀变速直线运动速度公式的理解

我们可以这样来理解匀变速直线运动速度公式的物理意义：a 等于单位时间内速度的变化量，at 是0~t 时间内的速度变化量，加上初速度v 0，就是t 时刻的速度v 。公式说明，t 时刻的速度v 与初速度v 0、加速度a 和时间t 有关。

匀变速直线运动速度公式表明，物体运动的速度是时间的一次函数，所以速度图象是一条倾斜的直线。

匀变速直线运动速度公式描述了物体运动的速度与时间的关系。教材得出这一公式的逻

辑推理过程，强化了从实验得出规律的一般性过程，让我们体验了科学推理的方法，练习了用图象分析问题的一般方法。 5. 教材中两道例题的分析

教材中的例题1，研究的是汽车的加速过程，已知

汽车的初速度v 0、加速度a 和加速的时间t ，需求末速

度v ，如图2－13所示。此题只需直接应用匀变速直线

运动的速度公式即可求解。

教材中的例题2，研究的是汽车的紧急刹车过程，已知汽车的加速度a 的大小和刹车减速的时间t ，并有

隐含条件末速度v =0，需求初速度v 0，如图2－14所示。

此题在应用匀变速直线运动的速度公式求解时，若以汽车运动的方向为正方向，则加速度须以负值代入公式。

求解这两道例题之后，可以总结一下，解答此类问题的一般步骤是：认真审题，弄清题意；分析已知量和待求量，画示意图；用速度公式建立方程解题；代入数据，计算出结果。 6. 匀变速直线运动速度公式中的符号法则

匀变速直线运动速度公式v=v 0+a t 尽管是在物体做加速运动的情况下得出的，而对减速的情况同样适用。由于速度与加速度都是矢量，就需要用正负号来表示它们的方向。通常，我们以初速度的方向为正方向，与正方向一致的量取正号，相反的取负号。具体说来，当物体做匀加速直线运动时，加速度为正值；当物体做匀减速直线运动时，加速度为负值。在应用速度公式时，对匀减速直线运动又有两种处理方法：一种是将a 直接用负值代入，速度公式v=v 0+a t 形式不变（教材例题2的求解就采用了这种处理方法）；另一种是将a 用其绝对值代入（即a 仅表示加速度的大小），速度公式须变形为v=v 0－a t （在以后与牛顿第二定律综合应用时，采用这种处理方法较为方便）。 7. 用图象法推导匀变速直线运动速度公式

画出匀变速直线运动的速度图象如图2－15所示。由图中的几何关系可得

BD=AO+BC=AO+AC ·tan α，

而 BD=v , AO=v 0, AC=t , tan α=a ， 故有 v=v 0+a t 。 7. 对关系式v v =中时的再认识

在第一节探究小车速度随时间变化规律的实验中，我们已经用到了“匀变速直线运动某段时间内的平均速度，就等于这段时间中间时刻的瞬时速度”这一规律。你想过没有，为什么有这种等量关系呢？让我们来证明一下。

设物体做匀变速直线运动的初速度为v 0，加速度为a ，经时间t 后末速度为v ，并以中时v 表示这段时间中间时刻的瞬时速度。由

at v v +=0，2

0t

a v v +=中时，

可得 2

0v

v v +=

中时。 因为匀变速直线运动的速度随时间是均匀变化的，所以它在时间t 内的平均速度v ，就等于时间t 内的初速度v 0和末速度v 的平均值，即

图2－13

2

0v

v v +=

。 从而，可得 v v =中时。 9. 关于初速度为0的匀加速直线运动

因v 0=0，由公式at v v +=0可得 at v =，

这就是初速度为0的匀加速直线运动的速度公式。

因加速度a 为定值，由at v =可得t v ∝。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体在时刻t 、2t 、3t 、…… n t 的速度之比

v 1︰v 2︰v 3︰……︰v n =1︰2︰3︰……︰n 。

例1 电车原来的速度是18m/s ，在一段下坡路上以0.5m/s 2的加速度做匀加速直线运动，求加速行驶了20s 时的速度。

提示 已知初速度、加速度和时间，求末速度，可直接应用匀变速直线运动速度公式求解。

解析 电车的初速度v 0=18m/s ，加速度a =0.5m/s 2，时间t=20s ，由匀变速直线运动速度公式at v v +=0，可得电车加速行驶了20s 时的速度

v=18m/s+0.5×20m/s=28m/s 。

点悟 应用物理公式求解物理量时，分清已知量和未知量是求解的关键。

例2 物体做匀加速直线运动，到达A 点时的速度为5m/s ，经3s 到达B 点时的速度为14m/s ，再经过4s 到达C 点，则它到达C 点时的速度为多大？

点悟 应用匀变速直线运动速度公式求解。 解析 在物体由A 点到B 点的运动阶段，应用匀变速直线运动速度公式，有v B =v A +a t 1，解得物体运动的加速度 3

5141-=-=

t v v a A B m/s 2

=3m/s 2。 在物体由B 点到C 点的运动阶段，再应用匀变速直线运动速度公式，可得物体到达C

点时的速度 v C =v B +a t 2=14m/s+3×4m/s=26m/s 。

点悟 本题求解时将物体的运动分成了由A 点到B 点和由B 点到C 两个阶段，分别应用匀变速直线运动速度公式，先由第一阶段求加速度a ，再由第二阶段求到达C 点的速度 v C 。本题也可不求出a 的具体数值，而由两个阶段的速度公式消去a ，求得 v C ；或者在求得a 后，在物体由A 点到C 点运动的整个阶段，再应用匀变速直线运动速度公式，由 v C =v A +a (t 1+ t 2) 求得 v C 。

例3 甲、乙两物体分别做匀加速和匀减速直线运动，已知乙的初速度是甲的初速度的2.5倍，且甲的加速度大小是乙的加速度大小的2倍，经过4s ，两者的速度均达到8m/s ，则两者的初速度分别为多大？两者的加速度分别为多大？

提示 注意加速度的正负号及两者之间的联系。

解析 对甲、乙两物体分别应用匀变速直线运动速度公式，有

,t a v v 甲甲+= t a v v 乙乙-=，

又 甲乙v v 2.5=，乙甲a a 2=，

由以上四式可得甲、乙两物体的初速度分别为

282==

v v 甲m/s=4m/s ，4

8

545?=

=v v 乙m/s=10m/s ； 甲、乙两物体的加速度大小分别为

44

8-=

-=

t

v v a 甲

甲m/s 2=1m/s 2，4

810-=-=t v v a 乙乙 m/s 2= 0.5m/s 2 点悟 当问题涉及多个物体的运动时，除了对每一个物体进行运动状态的分析，列出相

应的运动学方程外，还需找出它们之间的联系，列出必要的辅助方程，组成方程组求解。

例4 一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50m 的电线杆共用5s 时间，它经过第二根电线杆时的速度为15m/s ，则经过第一根电线杆时的速度为（ ）

A. 2m/s

B. 10m/s

C. 2.5m/s

D. 5m/s 提示 用平均速度进行分析。

解析 已知s =50m, t =5s, v 2=15m/s, 以v 1表示汽车经过第一根电线杆时的速度，由平均速度的定义式t

s

v =

和匀变速直线运动平均速度的计算式221v v v +=，可得

2

2

1v v t s +=， 解得汽车经过第一根电线杆时的速度

5

50

2221?=

-=

v t s v m/s －15m/s=5m/s 。 可见，正确选项为D 。 点悟 公式t

s

v =

是平均速度的定义式，适用于任何运动；而公式221v v v +=是匀变

速直线运动平均速度的计算式，仅适用于匀变速直线运动。公式2

2

1v v v +=

表明，做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度，等于这段时间的初速度与末速度的代数平均值。例如，物体做匀变速直线运动，初速度v 1=2m/s ，末速度v 2=－2m/s ，则平均速度

2

)

2(2221-+=+=

v v v m/s=0。

例 5 两木块自左向右运动，现

用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，

如图2－16所示，连续两次曝光的时

间间隔是相等的，由图可知（ ）

A. 在时刻t 2以及时刻t 5两木块速度相同

B. 在时刻t 1两木块速度相同

1234 567

图2－16

C. 在时刻t 3和时刻t 4之间某瞬间两木块速度相同

D. 在时刻t 4和时刻t 5之间某瞬时两木块速度相同

提示 先考察两木块的运动性质，再由关系式v v =中时进行分析判断。

解析 首先由题图可以看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显地是做匀速运动.由于t 2及t 5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，故它们的平均速度相等，由v v =中时可知其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t 3、t 4之间，因此本题正确选项为C 。

点悟 本题涉及两种基本运动——匀速直线运动和匀变速直线运动，根据题图判断两木块的运动性质，这是解答本题的关键。要注意培养看图识图、分析推理以及运用物理知识解决实际问题的能力。

例6 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，5s 末的速度为1m/s ，则10s 末的速度为多大？

提示 先求加速度，或由速度比例关系求解，也可用速度图象分析。

解析 解法一：公式法

由匀变速直线运动速度公式,，有v 1=at 1，故物体运动的加速度为

5

1

11==

t v a m/s 2=0.2m/s 2。 从而，物体在10s 末的速度为

v 2=a t 2=0.2×10m/s=2m/s 。 解法二：比例法

对于初速度为0的匀加速直线运动，有t v ∝，故

2

1

21t t v v =， 从而，物体在10s 末的速度为

15

10

1122?==

v t t v m/s=2m/s 。 解法三：图象法

画出物体运动的速度图象如图2－17所示。由图象可知，物体在10s 末的速度为2m/s 。

点悟 一个问题从不同的角度去分析，往往可有不同的解法。上述解法一先求加速度，属于常规解法，略繁一些；解法二用比例关系列式，比较简单；解法三运用图象进行分析，简洁明了。

图2－17

课后练习：

1. 从地面上竖直向上抛出一个物体，物体匀减速上升到最高点后，再以与上升阶段一样的加速度匀加速落回地面。图2－19中可大致表示这一运动过程的速度图象是（ ）

A.（a ）图

B.（b ）图

C.（c ）图

D. (d ) 图 2. 火车在通过桥梁的时候要提前减速。一列原以72km/h 的速度匀速行驶的火车在驶近一座铁桥前，匀减速行驶了2min ，加速度的大小为0.1m/s 2，火车减速后的速度为多大？

3. 机车原来的速度为36km/h ，在一段下坡路上加速度为0.2m/s 2。机车行驶到下坡末端，速度增加到54km/h 。求机车通过这段下坡路所用的时间。

4. 一物体由静止开始做匀加速直线运动，它在第5s 内的平均速度为18m/s ，则物体运动的加速度多大？10s 末的速度多大？

5. 做匀加速直线运动的物体从A 经B 运动到C 所用的总时间为t 。已知物体在AB 段的平均速度为v ，在BC 段的平均速度为3v ，则物体的加速度为多大？

6. 升降机从静止开始以2m/s 2的加速度做直线运动，3s 后改做匀速运动，7s 后改做匀减速运动，再经2s 停止。试问：升降机匀速运动时的速度多大？减速运动时的加速度多大？加速运动和减速运动时的平均速度各多大？

7. 物体以8m/s 的初速度冲上一足够长的斜坡，当它再次返回坡底时速度大小为6m/s ，则上行和下滑阶段，物体运动的时间之比多大？加速度之比多大？

8. 物体在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用而做匀减速运动，加速度大小为3m/s 2。在停止前的1s 内，物体的平均速度多大？

9. 一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a ，当速度为v 时将加速度反向，大小恒定。为使该物体在相同的时间内回到原出发点，则反向后的加速度应为多大？回到原出发点时的速度多大?

10. 平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5m/s 2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200m 处以5m/s 的速度做同方向的匀速运动。在甲追赶乙的过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多大？

图2－19