高三复习:函数的单调性的题型分类及解析
函数的单调性
知识点
1、增函数定义、减函数的定义:
(1)设函数)(x f y =的定义域为A ,区间M ?A ,如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=?x x x 时,都有0)()(12>-=?x f x f y ,那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数,如图(1)当改变量012>-=?x x x 时,都有0)()(12<-=?x f x f y ,那么就称 函
数)(x f y =在区间M 上是减函数,如图(2)
注意:单调性定义中的x 1、x 2有什么特征:函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性,二是有大小,三是同属于一个单调区间.
1、 根据函数的单调性的定义思考:由f (x )是增(减)函数且f (x 1)
2、我们来比较一下增函数与减函数定义中y x ??,的符号规律,你有什么发现没有?
3、如果将增函数中的“当012>-=?x x x 时,都有0)()(12>-=?x f x f y ”改为当
012<-=?x x x 时,都有0)()(12<-=?x f x f y 结论是否一样呢?
4、定义的另一种表示方法
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,若
0)
()(2
121>--x x x f x f 即
0>??x y ,则函数y=f(x)是增函数,若0)()(2
121<--x x x f x f 即0?x y
,则函数y=f(x)为减函数。
判断题:
①已知1
()f x x
=
因为(1)(2)f f -<,所以函数()f x 是增函数. ②若函数()f x 满足(2)(3)f f <则函数()f x 在区间[]2,3上为增函数.
③若函数()f x 在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数()f x 在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数1()f x x =
在区间(,0),(0,)-∞+∞上都是减函数,所以1()f x x
=在(,0)(0,)-∞?+∞上是减函数.
通过判断题,强调几点:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在A B ?上是增(或减)函数. (2)单调区间
如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区 间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y =f (x )的单调区间. 函数单调性的性质:
(1)增函数:如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值
, 当
时,都有
,
0)
()(2
121>--x x x f x f
(2)减函数:如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值,当
时, 都有
,
0)
()(2
121<--x x x f x f
(3) 函数的单调性还有以下性质.
1.函数y =-f (x )与函数y =f (x )的单调性相反.
2.当f (x )恒为正或恒为负时,函数y =)(1
x f 与y =f (x )的单调性相反.
3.在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等. 4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。 5..若()f x ≠0,则函数
()
1
f x 与()f x 具有相反的单调性,. 6. 若()f x >O ,函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。 若 ()f x <0,函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性 7。.函数()x f 在R 上具有单调性,则()x f -在R 上具有相反的单调性。
复合函数的单调性。
如果函数 ()x g u = A x ∈ B u ∈ ()u f y = ()B C ? D y ∈,则()[]x g f y =
称为x 的复合函数。
解决复合函数的问题,关键是弄清复合的过程,即中间变量u 的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断:同增异减。
函数 单调状况 内层函数()u g x = 增 增 减 减
外层函数()y f u = 增 减 增 减 复合函数
()y f g x =????
增
减
减
增
函数的单调性题型分类讲解
题型一:.单调性讨论
1.讨论函数y=(k-2)x+3(a≠0)在区间R 内的单调性.
2.讨论函数f(x)=2
1x
ax
- (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性. 解:设-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=2111x ax --2
2
2
1x ax -=)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- ∵x 1,x 2∈(-1,1),且x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,1+x 1x 2>0,(1-x 21)(1-x 22)>0
于是,当a >0时,f(x 1)<f(x 2);当a <0时,f(x 1)>f(x 2).
故当a >0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a <0时,函数在(-1,1)上为减函数.
题型二:单调性判断与证明
1. 下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是
A .y =|x 2-1| B.x
y 2=
C .y =2x 2-x +1
D .y =|x |+1
题型三:求函数的单调区间及该区间上的单调性
1. 求下列函数的增区间与减区间
(1)y =|x 2+2x -3| 1
122
---=
x x x y
32y 2+--=x x
2. 判断函数f (x )=-x 3+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果x ∈(0,+∞),函数f (x )是增函数还是减函数?
题型四:.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性
1. 若函数y =ax ,y =-x b
在(0,+∞)上都是减函数,则函数y =ax 2+bx 在(0,+∞)上
是________(填单调性).
设y=f (x )的单增区间是(2,6),求函数y=f (2-x )的单调区间.
上是单调递减的。
) ,
(- 在 , 由复合函数单调性可知 是单减的, 上
在 又 ) , (- ) , ( 而 )上是增函数, , ( 在 则由已知得 解:令 0 4 )] ( [ ) 2 ( ) 0 , 4 ( 2 ) ( 0 4 6 2 2 ) ( 6 2 ) ( , 2 ) ( ∈ = - - ∈ - = ∈ ∴ ∈ - = ∈ - = x x t f x f x x x t x x x t t t f x x t ),的单减区间是(-04)2(x f -∴
2. 设函数y =f (x )是定义在(-1,1)上的增函数,则函数y =f (x 2-1)的单调递减区
间是______________
3. 已知函数f (x )=8+2x -x 2,如果g (x )=f ( 2-x 2 ),那么函数g (x )
( )
A .在区间(-1,0)上是减函数
B .在区间(0,1)上是减函数
C .在区间(-2,0)上是增函数
D .在区间(0,2)上是增函数 4. 设()y f x =是R 上的减函数,则()3y f x =-的单调递减区间为 .
题型五:已知函数的单调性,求参数的取值范围。
1. 已知函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取
值范围是 .
2. 已知函数y =-x 2+2x +1在区间[-3,a ]上是增函数,则a 的取值范围是______________
3. 函数f (x ) = ax 2+4(a +1)x -3在[2,+∞]上递减,则a 的取值范围是__ .
4. 函数21
)(++=
x ax x f 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是( ) A.2
10< >a C.a<-1或a>1 D.a>-2 解:f (x )=ax +1x +2=a (x +2)+1-2a x +2=1-2a x +2+a . 任取x 1,x 2∈(-2,+∞),且x 1 1-2a x 1+2-1-2a x 2+2 =(1-2a )(x 2-x 1) (x 1+2)(x 2+2) . ∵函数f (x )=ax +1 x +2 在区间(-2,+∞)上为增函数,∴f (x 1)-f (x 2)<0. ∵x 2-x 1>0,x 1+2>0,x 2+2>0,∴1-2a <0,a >1 2 . 即实数a 的取值范围是????12,+∞. 题型六:函数单调性的应用 1.已知f (x )在区间(-∞,+∞)上是增函数,a 、b ∈R 且a +b ≤0,则下列不等式中正确的是( ) A .f (a )+f (b )≤-f (a )+f (b )] B .f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b ) C .f (a )+f (b )≥-f (a )+f (b )] D .f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ) 2.定义在R 上的函数y =f (x )在(-∞,2)上是增函数,且y =f (x +2)图象的对称轴是x =0,则 ( ) A .f (-1)<f (3) B .f (0)>f (3) C .f (-1)=f (-3) D .f (2)<f (3) 3. 已知函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内( ) A .至少有一实根 B .至多有一实根 C .没有实根 D .必有唯一的实根 题型七:已知函数的单调性,解含函数符号的不等式。 1.已知函数f (x )是R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 |f (x +1)|<1的解集的补集是 ( ) A .(-1,2) B .(1,4) C . (-∞,-1)∪[4,+∞) D .(-∞,-1)∪[2,+ ∞) 2 已知:f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,且f (x -1) 3. 已知函数f (x )=? ???? x 2+4x ,x ≥0, 4x -x 2 ,x <0.若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)∪(2,+∞) B .(-1,2) C .(-2,1) D .(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析:f (x )=? ???? x 2+4x =(x +2)2-4,x ≥0, 4x -x 2=-(x -2)2 +4,x <0,由f (x )的图象可知f (x )在(-∞,+∞)上是单调递增函数,由f (2-a 2)>f (a )得2-a 2>a ,即a 2+a -2<0,解得-2 4 .已知f (x )在其定义域R +上为增函数,f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),解不等式f (x )+f (x -2) ≤3 题型八:已知函数的单调性求最值 1. 已知x ∈[0,1],则函数 的最大值为_______最小值为_________ 2. 函数y =x -2x -1+2的值域为__ ___. 题型九:综合题型 1. 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2),且当x >1时,f(x)<0. (1)求f(1) (2)判断f(x (3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. 解答: (1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。 (2)当0 < x < y 时,y/x > 1,所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f 单调减。 (3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f (|x |)<-2 = f(9),且f 单调减,所以| x | > 9 x >9或x <-9 2 .函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x >0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R (2)若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)<3. x x y --+=1223)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解:)2()2()(2x x f x f x f -=-+又) 8()2(2 f x x f ≤-由题意有?????≤->->∴8 20 20R )(2x x x x x f 上的增函数为+ (]42,解得∈x (1)设x1,x2∈R ,且x1<x2, 则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f (x2)>f(x1).f(x)是R 上的增函数. (2)∵f (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)-1=5,∴f (2)=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R 上的增函数,∴3m2-m-2<2, 解得-1<m < ,故解集为 . 3. 设f (x )的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,)()()(y f x f y x f -= (1)求证:f (1)=0,f (xy )=f (x )+f (y ); (2)设f (2)=1,解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 解答:(1)证明:)()()(y f x f y x f -=,令x=y=1,则有:f (1)=f (1)-f (1)=0, )()()]()1([)()1 ()()1()(y f x f y f f x f y f x f y x f xy f +=--=-==。 (2)解:∵)]3()1([)()3 1 ( )(---=--x f f x f x f x f )3()3()(2x x f x f x f -=-+=, ∵2=2×1=2f (2)=f (2)+f (2)=f (4), ∴2)3 1 ( )(≤--x f x f 等价于:)4()3(2f x x f ≤-①, 且x>0,x-3>0[由f (x )定义域为(0,+∞)可得 ∵03)3(2 >-=-x x x x ,4>0,又f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴①41432 ≤≤-?≤-?x x x 。又x>3,∴原不等式解集为:{x|3 3-ax a -1 (a ≠1). (1)若a >0,则f (x )的定义域是________; (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数,则实数a 的取值范围是________. 解析: (1)当a >0且a ≠1时,由3-ax ≥0得x ≤3 a ,即此时函数f (x )的定义域是????-∞,3a ; (2)当a -1>0,即a >1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需3-a ×1≥0,此时10,此时a <0. 综上所述,所求实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 3 4? ?? ? ? -34,1 5. 定义在R 上的函数()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时,()1f x >,且对任意的a b R ∈、,有()()()f a b f a f b +=?. (1)求(0)f 的值;(2)求证:对任意的x R ∈,恒有()0f x >;(3)若2 ()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围. 解:(1)解:令0a b ==,则2 (0)(0).f f = 又(0)0f ≠,(0)1f =. (2)证明:当0x <时,0x ->,∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =?-=,∴ 1 ()0() f x f x = >- 又0x ≥时, ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈,恒有()0f x >. (3)解:设12x x <,则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0 f x > ∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--? =121()[1()]0f x f x x --< ∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2 ()(2)1f x f x x ?->,(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴ 2 30x x ->,∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3) 6 .已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)=-2 3. (1) 求证:f (x )在R 上是减函数; (2) 求f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值. 解答: (1)法一:∵函数f(x)对于任意x ,y ∈R 总有f(x)+f(y)=f(x +y), ∴令x =y =0,得f(0)=0.再令y =-x ,得f(-x)=-f(x). 在R 上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1) 法二:设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1) (2)∵f(x)在R 上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2. 7.F (x )是定义在( 0,+∞)上的增函数,且f (y x ) = f (x )-f (y ) (1)求f (1)的值. (2)若f (6)= 1,解不等式 f ( x +3 )-f ( x 1 ) <2 . 解析:①在等式中0≠=y x 令,则f (1)=0. ②在等式中令x=36,y=6则.2)6(2)36(),6()36()6 36 ( ==∴-=f f f f f 故原不等式为:),36()1()3(f x f x f <-+即f [x (x +3)]<f (36), 又f (x )在(0,+∞)上为增函数, 故不等式等价于:.23153036 )3(00103-<???? ???<+<>>+x x x x x 8.已知函数f (x )=x a x x ++22,x ∈[1,+∞] (1)当a =2 1 时,求函数f (x )的最小值; (2)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围. 解析: (1)当a = 21时,f (x )=x +x 21+2,x ∈1,+∞) 设x 2>x 1≥1,则f (x 2)-f (x 1)=x 2+ 1122121x x x - -=(x 2-x 1)+21212x x x x -=(x 2-x 1)(1-2121 x x ) ∵x 2>x 1≥1,x 2-x 1>0,1- 2 121 x x >0,则f (x 2)>f (x 1) 可知f (x )在[1,+∞)上是增函数.∴f (x )在区间[1,+∞)上的最小值为f (1)= 2 7 . (2)在区间[1,+∞)上,f (x )=x a x x ++22>0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立 设y =x 2 +2x +a ,x ∈1,+∞),由y =(x +1)2+a -1可知其在[1,+∞)上是增函数, 当x =1时,y min =3+a ,于是当且仅当y min =3+a >0时函数f (x )>0恒成立.故a >-3. 高考复习:函数的单调性 定义 定义域 区间 对应法则值域 一元二次函数一元二次不等式 映射 函数 性质 奇偶性 单调性周期性 指数函数 根式分数指数 指数函数的图像和性质 指数方程对数方程 反函数 互为反函数的函数图像关系 对数函数 对数 对数的性质 积、商、幂与根的对数 对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质 一、单调性 1.定义:如果函数f(x)y 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2,当x 1、 (2) 导数法,若函数y =f (x )在定义域内的某个区间上可导,①若 ,则f (x )在这个区间上是增函数;②若 ,则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1.若f (x ), g (x )均为增(减)函数,则f (x )+g (x ) 函数; 2.若f (x )为增(减)函数,则-f (x )为 ; 3.互为反函数的两个函数有 的单调性; 4.复合函数y =f [g(x )]是定义在M 上的函数,若f (x )与g(x )的单调相同,则f [g(x )]为 ,若f (x ), g(x )的单调性相反,则f [g(x )]为 . 5.奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 . 1、增函数与减函数的定义: 定义:对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x , (1)若当1x <2x 时,都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数; (2)若当1x <2x 时,都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。 2、单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数)(x f 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 【核心素养分析】 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 【重点知识梳理】 知识点一函数的单调性 (1)单调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 知识点二函数的最值 第1页共9页 第 2 页 共 9 页 【特别提醒】 1.函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y = 1 f (x ) 的单调性相反. 2.“对勾函数”y =x +a x (a >0)的单调增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞);单调减区间是[-a ,0),(0,a ]. 【典型题分析】 高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 例1.(2020·新课标∈)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( ) A. 是偶函数,且在1(,)2 +∞单调递增 B. 是奇函数,且在11(,)22 -单调递减 C. 是偶函数,且在1 (,)2 -∞-单调递增 D. 是奇函数,且在1 (,)2 -∞-单调递减 【答案】D 【解析】由 ()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±???? ,关于坐标原点对称, 又 ()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-, ()f x ∴为定义域上的奇函数,可排除AC ; 当11,22x ?? ∈- ?? ?时,()()()ln 21ln 12f x x x =+--, ()ln 21y x =+在11,22?? - ??? 上单调递增,()ln 12y x =-在11,22 ?? - ??? 上单调递减, 第二节 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义. 2.函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义. 知识点一 函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1,x 2 当x 1 (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 必记结论 1.单调函数的定义有以下若干等价形式: 设x 1,x 2∈[a ,b ],那么 ①f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2 >0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2 <0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2.复合函数y =f [g (x )]的单调性规律是“同则增,异则减”,即y =f (u )与u =g (x )若具有相同的单调性,则y =f [g (x )]为增函数,若具有不同的单调性,则y =f [g (x )]必为减函数. [自测练习] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A .f (x )=1x B .f (x )=(x -1)2 C .f (x )=e x D .f (x )=ln(x +1) 2.函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是________. 3.已知函数f (x )=???? ? -x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1在R 上为增函数,则a 的取值范围是( ) A .[-3,0) B .[-3,-2] 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2.单调区间的定义 若函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间. 二、函数的最值 前提 设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A .y =x +1 B .y =-x 3 C .y =1 x D .y =x |x | 解析:选D 由函数的奇偶性排除A ,由函数的单调性排除B 、C ,由y =x |x |的图象可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D. 2.函数y =(2k +1)x +b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A .k >12 B .k <12 C .k >-1 2 D .k <-1 2 解析:选D 函数y =(2k +1)x +b 是减函数, 则2k +1<0,即k <-1 2 . 3.(教材习题改编)函数f (x )=1 1-x 1-x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析:选D ∵1-x (1-x )=x 2 -x +1=? ????x -122+34≥34 ,∴0<11-x 1-x ≤43. 4.(教材习题改编)f (x )=x 2 -2x (x ∈[-2,4])的单调增区间为________;f (x )max =________. 解析:函数f (x )的对称轴x =1,单调增区间为[1,4],f (x )max =f (-2)=f (4)=8. 答案:[1,4] 8 5.已知函数f (x )为R 上的减函数,若m 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标: ①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; ②理解函数单调性的定义,掌握函数单调性的判定与证明,能利用函数的单调性解决一些问题. 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地,设函数()f x 的定义域为I : 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________,就说这个函数在这个区间M 上具有_____________(区间M 称为____________)。 3.最大(小)值 (前面已复习过) 4.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断。 (2)导数法 ①若()f x 在某个区间内可导,当'()0f x >时,()f x 为______函数;当 '()0f x <时,()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导,当()f x 在该区间上递增时,则'()f x ______0,当()f x 在 该区间上递减时,则'()f x ______0。 (3)利用函数的运算性质:如若(),()f x g x 为增函数,则①()()f x g x +为增函数; ②1 ()f x 为减函数(()0f x >);③()f x 为增函数(()0f x ≥);④()()f x g x 为增 函数(()0,()0f x g x >>);⑤()f x -为减函数。高考复习函数的单调性
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