多元统计分析期末试题及答案
1、设X ?N 2(,),其中
则 Cov( x 1 x 2, x 1 x 2)=_ 2、 设 X i ~ N 3(
服从 ____________ 3、 设随机向量 X X !
X (X
1，X
2), (
1 , 2)，
),i 1,川,10,则 W
x 2 x 3 ,且协方差矩阵
2
1
1 ,
10
(X i
i 1
)(X i
)
4
4 3
4 9 2 , 3 2 16
4、
则它的相关矩阵
设 X= x 1
X 2 X 3 '的相关系数矩阵通过因子分析分解为
0.934
1 3
2 3
0.417 0.835 0
0.934 0.417
0.894
0 0.894
0.447
0.835 0.447
0.128
0.027
0.103
X 1的共性方差
h ；
0.872_( 0.934A2)_，的方差
11 1 (0.128+0.934*0.934)
公因子匚对X 的贡献 2
g 1
(0.934A 2+0.417A 2+0.835A ) 5、设X i ,i 1,|||,16是来自多元正态总体 的样本均值和样本离差矩阵，则 T 2
N p ( 15[4( X ,),X 和A 分别为正态总体
N p (,)
X )] 1
A [4( )]? 16 1、设X (X 1,X 2,xJ ?
2(,),其中 (1,0, 2), 试判断％
2x 3与 X 2 x 3是否独立?
X 1
2、对某地区农村的 6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量,
得相关数据如下，根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的 均值 0
(90,58,16),现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是
否与城市男婴有相同的均值。
而其先验概率分别为q q 2 0.5,误判的代价C(2|1) e 4,C(1|2) e; 3
试用Bayes 判别法确定样本X 属于哪一个总体？
1
1
1 「°
1
(1)试从》出发求 X 的第一总体主成分； ⑵试问当
取多大时才能使第一主成分的贡献率达
95 %以上。
X
5、设X (X 1,X 2)T ,Y (Y,X 2)T 为标准化向量，令Z 丫 ,且其协方差阵
求其第一对典型相关变量和它们的典型相关系数? 1、设随机向量X 的均值向量、协方差矩阵分别为 试证：E(XX )
82.0 其中 X 60.2
,(5 S)
1
( 115.6924)
14.5
(
0.01 ,F 0.01 (3, 2)
99.2 ,F 0.01 (3,3) 3、设已知有两正态总体 G 与G,且1
4.3107 14.6210 8.9464 1
14.6210 3.172 37. 3760
8.9464 37.3760
35.5936
29.5,
F 0.01 (3, 4)
16.7)
2
4
1 1
2
亠 ,
1 2
6
2
1 9
4、设X (X 1,X 2,X 3,X 4)T ~ N 4(0,)，协方差阵
V(Z)
100
0 0 11
12
1
0.95 0
21 22
0 0.95 1 0
0 0 0 100
2、设随机向量X~N P (,),又设Y=A p X+b r1, 试证：丫~ N r (A b,A A ')。
4、0.872
1 1.743
5、T 2 (15,
)或 (15p/(16-p))F (P ，
n-p ) 1、令y
X 2 X 3 y
X 1 2x 3,则
X 1
X 2
X 3
0 1 -1 X 1
y 1 1 0 0
y 2
X 1
X 2 X 1 2X 3
1 0
2 X 3
E %
0 1 -1 1 2
1 0 0 0 1
y
2
1 0
2 2
3
V
y
1
0 1 -1 16 4 2 0
1 -1 1 0 0 4 4 1 1 0 0 y
2
1 0 2
2
1 4 1
0 2
10
6 16
6
16 20
16
20
40
2
10
6
16
故y i , y 2的联合分布为N 3( 1 ,
6 16 20 )
3
16 20 40
故不独立。
1、 2、
W 3 ( 10,刀)
X
由题目已知F o.oi (3,3) 29.5,由是
3 5
—F O .OI (3,3) 147.5
3
所以在显著性水平
0.01下，拒绝原设 即认为农村和城市的2周岁男婴上述三个 指标的均值有显著性差异
3、由Bayes 判别知
8.0
经计算可得：X
2.2
1
1.5
4.3107
14.6210 8.9464 S 1 (23.13848) 1 14.6210
3.172 37.3760 8.9464
37.3760 35.5936
构造检验统计量： T 2 n(X 0
)S 1(X
)
2、假设检验问题：H 。:
, H i
：
6 70.0741 420.445
W(x) f i (x) f 2(x)
exp[( x
丁 1( 2
)] exp(4 捲 2x 2
4)
其中，一 2( 1
1 ，(
2
)
q 2C(1|2) q i C(2|1)
3
e ,W(x 3
5)
exp(2)
G 2
T D .01
H 。
1
1
4、 （1）由
2 3 4
1
解1所对应的方程
得!所对应的单位特征向量为
1
- 1 1
2 2 2 2
1111
故得第一主成分
Z 2X1
2
X2 2X3 2X4
（2）第一个主成分的贡献率为
95%
12 0.9025, : 0 1 0.95 TT T 的单位正交化特征向量
0 0 0 0.9025
e 0.9025e 1
,
0.95 4 1
3
0.933
5
、 由题得
1
—2 — 11 —
0.1
1
—■
2 ,22
—— 1 0
0 1
0 0.1
TT
T
1 2 11
1
12 22
21 1
2
11
0.1 0 0 0 1 0 0 0.95 0.1 0 0 0
0 1 0.95 0 0 0.01 0 0 0 1
0 0.9025
求TT T
的特征值，得0 2
0.9025
1 2
0.1 0 0
e
0 1 1
0得特征根为1
X X
2
X
3
X
0 0.9025
1
1
1 1 0 0 0.95 0
1 0.95 0 0.1 0
1
V 1 X 2,W 0.54第
0 1
1 1
1 1 2
2 21 1
为第一典型相关变量，且（
V 1 W 0.95为一对典型相关系数。
2、证明:由题可知Y 服从正态分布，
EX)]
E(Y) E(AX b) AE(X) b Ab
V(Y) V(AX b) AV(X)A A A '
故Y~N r (A b, A A)。
1、证明： =V(X) E[( X EX)(X
E(XX ) (EX )(EX)
E( XX )
故E(XX )