九年级数学下册二次函数的图像和性质教案

第3课时二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质

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1. 会画二次函数y = ax + bx+ c的图像.

2. 熟记二次函数y = ax2+ bx+ c的顶点坐标与对称轴公式.

3 .用配方法求二次函数y= ax2+ bx+ c的顶点坐标与对称轴.

一、情境导入

火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h=- 5t2+ 150t

+ 10表示.那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？

二、合作探究

探究点一：二次函数y = ax2+ bx+ c的图像和性质

【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判

D如图，二次函数y= ax2+ bx+ c的图像开口向上，图像经过点(一1, 2)和(1 , 0)且与y轴交于负半轴.

(1) 给出四个结论：①a> 0；②b> 0；③c>0:④a+ b+ c = 0.其中正确的结论的序号是

______ ;

(2) 给出四个结论：①abc v 0；笑2 a+ b> 0:③a+ c= 1；④a> 1.其中正确的结论的序

P.曰

号是_________.

解析：由抛物线开口向上，得a> 0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c v 0；由抛

b

物线的顶点在第四象限，得—2a>0，又a>0，所以b v0；由抛物线与x轴交点的横坐标是

1,得a+ b+ c= 0.因此，第⑴问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a>0、b v 0、

b

c V 0，可得abc>0;由一—V1、a>0,可得2a+ b

>

;由点（一1, 2）在抛物线上，可知a 2a

—b+ c = 2,又a+ b+ c = 0,两式相加得2a+2c= 2，所以a+ c = 1 ；由a+ c= 1, c V 0,可得a> 1.因此，第（2）问中正确的结论是②③④.

方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号?开口向上，a>0;开口向下，a v0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号?顶点

b b

在第一、四象限，一> 0,由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，一V 0，由此得a、2a 2a

b同号?再由①中a的符号，即可确定b的符号.

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【类型二】二次函数y = ax + bx+ c 的性质

FJ如图，已知二次函数y = —x2+ 2x，当一1 V x V a时，y随x的增大而增大，则实

数a的取值范围是（）

A. a> 1

B. —1V a wl

C. a>0

D. —1 V a v 2

解析：抛物线的对称轴为直线x =—2x（1 ［）= 1,：函数图像开口向下，在对称轴

左侧，y随x的增大而增大，??? a< 1. :—1 V x V a,「. a>—1,二一1

方法总结：抛物线的增减性：当a> 0,开口向上时，对称轴左降右升；当a v 0,开口

向下时，对称轴左升右降.

【类型三】二次函数与一次函数的图像的综合识别

y = ax2+ bx和直线y= ax+ b在同一坐标系内的图像如图所示，其中

正确的是（）

已知抛物线

解析：??? A 图和D 图中直线y = ax + b 过一、三、四象限，??? a >0, b v 0,二抛物线y

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=ax + bx 的开口向上，对称轴

b

x =—丁> 0，?选项A 错，选项D 正确；B 图和C 图中直线 2a

y = ax + b 过二、三、四象限，?

b

a v 0,

b v 0,???抛物线的开口向下，且对称轴 x =—亍v 0,

2a

???选项B , C 错.故选择D.

方法总结：多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像 (如一次函数)，

再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，

最后结合二次函数图像的开口方向、 对称

轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论.

【类型四】 抛物线 y = ax 2+ bx + c 的平移

D 在同一平面直角坐标系内，将函数 y = 2x 2+ 4x — 3的图像向右平移 2个单位，再 向下平

移1个单位，得到图像的顶点坐标是

( )

A. ( — 3, — 6) B . (1 , — 4) C. (1 , — 6) D . ( — 3,— 4)

解析：二次函数 y = 2x 2 + 4x — 3 配方得 y = 2( x 2+ 2x ) — 3= 2( x 2 + 2x + 1 — 1) — 3 = 2(x +

1)2 — 5,将抛物线y = 2(x + 1)2— 5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为 y = 2(x + 1 — 2)2 —5 = 2(x — 1)2— 5,再将抛物线y = 2(x — 1)2— 5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为 y =2( x — 1)2— 5— 1 = 2(x — 1)2— 6,此时二次函数图像的顶点为 (1 , — 6)，故选择C.

方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线

y = ax 2(a ^ 0)向上平移k ( k >0)个单位所得

的函数关系式为 y = ax 2+ k ,

向下平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为

y = ax 2— k ；向左

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平移h (h >o )个单位所得函数关系式为 y = a (x + h )；向右平移h ( h >0)个单位所得函数关系式

为y = a (x — h )2；这一规律可简记为"上加下减，左加右减”.

【类型五】二次函数的图像与几何图形的综合应用

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U 如图，已知二次函数 y = — ?X 2+ bx + c 的图像经过A (2 , 0)、B (0，— 6)两点. (1) 求这个二次函数的解析式；

(2) 设该二次函数图像的对称轴与x轴交于点C,连接BA BC求厶ABC勺面积.

解：(1)把A2,0)、B(0 , —6)代入y=—*x2+ bx+ c 得:

OC—OA= 4—2= 2 ,? S^ABC= 2x AC X 0* g 2 X 6= 6.

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数

与性质，体会数学建模的数形结合思想方法

—2 + 2b+ c = 0, b= 4,

解得

c =—6, c=—6.?这个二次函数的解析式为y=—我+ 4

x—6.

⑵?/该抛物线的对称轴为直线x=—厂=4,

2 X(—2)

???点C 的坐标为(4 , 0) .??? AC=

LU?

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y= ax + bx+ c的图像

V'-d-f+Aj+r 的图

象和性质