初中数学：一元二次方程练习题
初中数学：一元二次方程练习题 (时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1．下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②x 2＋4
x －3＝0；③x 2－4＋x 5＝0；④3x
＝x 2.其中是一元二次方程的有(A)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．一元二次方程(x ＋3)2＝25可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x ＋3＝5,则另一个一元一次方程是(D)
A ．x －3＝－5
B ．x －3＝5
C ．x ＋3＝5
D ．x ＋3＝－5 3．用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为(C)
A ．x 2－1＝0
B ．x 2＝0
C ．x 2＋4＝0
D ．－x 2＋3＝0 4．若1－3是方程x 2－2x ＋c ＝0的一个根,则c 的值为(A)
A ．－2
B ．43－2
C ．3－ 3
D ．1＋ 3
5．一元二次方程3x 2－4x ＋1＝0的根的情况为(D)
A ．没有实数根
B ．只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
6．将方程x 2
＋8x ＋9＝0配方后,可变形为(B)
A ．(x ＋8)2＝7
B ．(x ＋4)2＝7
C ．(x ＋4)2＝25
D ．(x ＋4)2＝－9 7．直角三角形两条直角边的和为7,面积是6,则斜边长是(B)
A.37 B ．5 C.38 D ．7 8．如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根,那
么k的取值范围是(D)
A．k＜1
2
B．k＜
1
2
且k≠0
C．－1
2
≤k＜
1
2
D．－
1
2
≤k＜
1
2
且k≠0
9．定义一种新运算,a?b＝a(a－b),例如4?3＝4×(4－3)＝4.若x?2＝3,则x的值是(C)
A．x＝3 B．x＝－1
C．x
1＝3,x
2
＝－1 D．x
1
＝3,x
2
＝1
10．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步？经过计算,你的结论是长比宽多(A)
A．12步 B．24步 C．36步 D．48步
二、填空题(每小题4分,共20分)
11．若关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程,则m＝2．
12．已知方程x2－3x＋k＝0有两个相等的实数根,则k＝9 4．
13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根,则a2＋2ab＋b2的值为1．14．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0的一个根为2,则方程的另一个根为x＝－3．
15．两个实数的和为4,积为－7,则这两个实数为
三、解答题(共40分)
16．(8分)写出下列方程的一般形式、二次项系数、一次项系数以及常数项．
17.(10分)解下列方程：(1)3(x－3)2－25＝0；
解：整理,得(x－3)2＝25 3
.
∴x－3＝±53 3
.
∴x
1＝3＋
53
3
,x
2
＝3－
53
3
.
(2)x2－2x＝2x＋1.
解：原方程可化为x2－4x－1＝0. ∴a＝1,b＝－4,c＝－1.
∴Δ＝b2－4ac＝20.
∴x＝－（－4）±20
2×1
＝2± 5.
∴x
1＝2＋5,x
2
＝2－ 5.
18．(10分)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)当k＝5时,求这个方程的根．
解：(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中, Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)
＝k2－2k＋1
＝(k－1)2.
∵不论k取何值,(k－1)2≥0总成立,
∴方程总有两个实数根．
(2)当k＝5时,方程为x2－8x＋12＝0.
解这个方程,得 x
1＝2,x
2
＝6.
∴当k＝5时,这个方程的根为x
1＝2,x
2
＝6.
19．(12分)阅读下面的材料：
解方程x4－7x2＋12＝0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是：
设x2＝y,则x4＝y2.
∴原方程可化为y2－7y＋12＝0.
∵a＝1,b＝－7,c＝12,
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.
∴y＝－b±b2－4ac
2a
＝
－（－7）±1
2
.
解得y
1＝3,y
2
＝4.
当y＝3时,x2＝3,x＝± 3. 当y＝4时,x2＝4,x＝±2.
∴原方程有四个根为x
1＝3,x
2
＝－3,x
3
＝2,x
4
＝－2.
以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0；
(2)已知实数a,b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0,试求a2＋b2的值．解：(1)设y＝x2＋x,则原方程可化为y2－5y＋4＝0.
∵a＝1,b＝－5,c＝4,
∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×4＝9.
∴y＝5±9
2
＝
5±3
2
.
解得y
1＝1,y
2
＝4.
当x2＋x＝1,即x2＋x－1＝0时,解得x＝－1±5
2
.
当x2＋x＝4,即x2＋x－4＝0时,解得x＝－1±17
2
.
综上所述,原方程的解为x
1＝
－1＋5
2
,x
2
＝
－1－5
2
,x
3
＝
－1＋17
2
,x
4
＝
－1－17
2
.
(2)设x＝a2＋b2,则原方程可化为x2－3x－10＝0, ∵a＝1,b＝－3,c＝－10,
∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－10)＝49.
∴x＝－b±b2－4ac
2a
＝
3±49
2
＝
3±7
2
.
解得x
1＝5,x
2
＝－2(舍去)．
故a2＋b2＝5.