高考数学辅导三角函数解题技巧和公式

浅论关于三角函数的几种解题技巧

一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：

1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：

例1 已知θθθθ3

3cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-

]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=

其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31

cos sin 31)33

(cos sin 212=?==-θθθθ

]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 394

3133]313)33[(33

2=?=?+=

2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θθθθθ

θθθθθcos sin 1

cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+

故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。

A ．m 2=n

B ．m 2=12

+n C ．n m 22= D ．22

m n =

分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：

sin θcos θ=21

21

)cos (sin 22-=-+m θθ

而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1

故：1212122+=?=-n

m n m ，选B 。

例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

A ．21

B ．21-

C ．41

D ．4

1- 分析：tg α+ctg α=4

1cos sin 4cos sin 1=?=αααα 故：2

12sin cos sin 22sin =?=αααα。 答案选A 。 例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +

分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。由于tg α+ctg α=

?=2cos sin 1αα 2

1cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α

=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2

=1-2)2

1(2? =2

11- =2

1 通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

例5 已知：tg α=3，求α

αααcos sin 2cos 3sin +-的值。 分析：由于α

ααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；

解：由于tg α=30cos 2≠?+

≠?αππαk

故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+?-=+-=+??-ααα

αααααα

αtg tg

例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=?

分析：由于α

ααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α：

解：αααααααααα2222

22cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-?=+ α2sin ,分母同除以分子 αααα

ααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)

3(1)3(322-=-+-+-= 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷）

设20,20ππ<<<

3(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于

20,2

0ππ<<<

底，得： 解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得： 1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6

sin()3sin(=-?-?=--y y y x x y x y x π

πππππ

33

4)3)(33(1)3)(3

3(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--?=--?=--?=-?-??ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx y y y x x x “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由

于αααcos sin =tg ，α

ααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：

可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：

???? ??+±++=±x b a b x b a a b a x b x a sin cos sin cos 22222

2 由于1)()(222222=+++b a b b a a

。

故可设：22sin b a a

A +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos b a b A +±= ∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=±

无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，

22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a +

即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a +

下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：