大学物理作业 质点运动学习题详解

习题一

一、选择题

1． 质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C

[ ]

(A) (B) (C) (D) 答案：C

解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C ）。

2． 一质点沿x 轴运动的规律是245x t t =-+（SI 制）。则前三秒内它的 [ ] （A ）位移和路程都是3m ；

（B ）位移和路程都是-3m ； （C ）位移是-3m ，路程是3m ； （D ）位移是-3m ，路程是5m 。

答案：D 解：

3

253t t x x

x

==?=-=-=-

24dx t dt =-，令0dx

dt

=，得2t =。即2t =时x 取极值而返回。所以： 022*********|||||||||15||21|5t t t t S S S x x x x x x ----=====+=+=-+-=-+-=

3． 一质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+，R 、ω为正常数。从t ＝/πω到t =2/πω时间内

（1）该质点的位移是 [ ]

（A ） -2R i ； （B ）2R i

； （C ） -2j ； （D ）0。

（2）该质点经过的路程是 [ ]

（A ）2R ； （B ）R π； （C ）0； （D ）R πω。 答案：B ；B 。 解：（1）122,t t ππ

ωω

=

=

，21()()2r r t r t Ri ?=-=； （2）?t 内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为πR 。或者：

,x y dx dy v v dt dt

=

=

，21,t t v R S vdt R ωπ====?

4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度v

滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 [ ]

（A ）大小为/2v ，方向与B 端运动方向相同；

（B ）大小为

/2v ，方向与A 端运动方向相同； （C ）大小为/2v , 方向沿杆身方向；

（D ）大小为/(2cos )v θ ，方向与水平方向成θ角。 答案：D

解：对C 点有 位置：sin ,cos C C x l y l θθ==；

速度：cos ,sin Cx Cy d d v l v l dt dt θθθ

θ==；所以，2cos C d v v l dt θθ

==

.

（B 点：2sin ,2cos ,2cos B B d d v

x l v l v dt dt l θθθθ

θ

===∴=

）。

5． 某人以4km/h 的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为 [ ] (A) 4km/h ，从北方吹来； (B) 4km/h ，从西北方吹来；

(C)，从东北方吹来； (D) ，从西北方吹来。 答案：D

解：0v v v v v v '=+?=+风人风地人地 0

v v v '+''=

，002v v '= 0

cos v v θ

=

，0tan v v θ'= v v '='' 45sin 0tan v θ'''=

2

2

2

2

2

0000002222200002cos 42.2cos cos cos 442tan cos 2v v v v v vv v v v v v v θθ

θθθθ

??''''=+-=+- ???=+-=

v

v '

θ

v '

θ

45?

22sin 1sin 45θθθ?==

0cos v v θ

=

=（从西北方吹来）

。

二、填空题

1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P 点处速度大小为v ，其方向与水平方向成30°角。则物体在P 点的切向加速度

a τ = ，轨道的曲率半径ρ= 。 答案：1

2g -

2。

解：j g a

-= 1sin sin302

a a g g τθ==-=-

cos cos30n a a g θ==-。又因 2

n v a ρ= ，所以 222

cos30n v v a g g ρ===

2． 一质点在xy 平面内运动，其运动学方程为j t i t r )2(22

-+=，其中t r ,分别以米

和

秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为 ；t =2秒时质点的加速

度为 ；质点的轨迹方程是 。

答案：23i j -；2j -；2

24

x y =-。

解：

(2)(1)23r r r i j ?=-=- ， 22222d x d y

a i j j dt dt =+=- 22,2x t y t ==-，消去时间t 得 224x

y =-。

3. 一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2

02

1bt t v s -

=，其中b v ,0都是常数，t 时刻，质点的加速度矢量=a

；加速度大小为b 时，质点沿圆周运行的圈数为 。

答案：2

0()v bt n b R

τ--；02

4v Rb π。

P

x

n

a a τ

a

θ

v '

v 0

θ1

θ1v ''

v 0

θ2

θ2解：

（1）bt v dt

ds

v -==0，b dt s d a -==22τ

2

0()n v bt a a n a n b R

τττ-=+=-

（2）

令0(v a b R ?-==??， 得 b v t 0= 2

200001()(0)()22v v v s s t s v b b b b

?=-=-=

， 得02

24v s

n R Rb ππ?==

4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜0θ角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜1θ角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜2θ角，火车加速前后的速度之比为 。 答案：

010

020

cos sin cos sin tg tg θθθθθθ++

解：设0v 为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为0θ（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以1v 行驶时，雨滴相对火车的速度为v '，已知其倾角为1θ，根据伽利略变换：10v v v

-='

同理，火车以2v 行驶时，雨滴相对火车的速度为v ''，已知其倾角为2θ，所以

20v v v

-=''

011sin sin θθo v v v -=' (1) ； 001cos cos θθv v ='

(2) 220sin sin o v v v θθ''=-

(3) ；

002cos cos θθv v =''

(4)

联立（1）（2）式得100

100

sin cos v v tg v θθθ-=

， 10010(cos sin )v v tg θθθ=+

联立（3）（4）式得0

00

022cos sin θθθv v v tg -=

， )sin (cos 02002θθθ+=tg v v

所以，火车加速前后速度之比为

200

1021sin cos sin cos θθθθθθ++=tg tg v v

5.一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为3

42t +=θ，θ的

单位为rad ，t 的单位为s 。问t = 2s 时，质点的切向加速度 法向加速度 ；θ等于 rad 时，质点的加速度和半径的夹角为45°。 答案：24Rt ；2230.4m/s ；2.67rad 。

解：（1）212d t dt θω==，2224d t dt

θα==；24144n a R Rt ω==，24a R Rt τα==。

t = 2s 时，2230.4m/s n a =，24.8m/s a τ=

（2）设t '时，a 和半径夹角为45°，此时n a a τ=，即414424Rt Rt ''=，得31/6t '= 所以

3()24 2.67rad t t θ''=+=

三、计算题

1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为0a ，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加0a ，求经过t 秒后质点的速度和位移。 答案：2002a v a t t τ

=+

；23001

26a x a t t τ=+。

由题意可知，角速度和时间的关系为

0a a a t τ

=+

根据直线运动加速度定义

dv

a dt

=

20000000()2t t a a dv

v v dt adt a t dt a t t dt ττ-===+=+?

??

0t =时刻，00v = 所以 2002a

v a t t τ=+

又dx

v dt

=，所以 22300000001()226t t a a dx x x dt vdt a t t dt a t t dt ττ-===+=+???

0t =时刻，00x = 所以

23001

26a x a t t τ

=+

2．一质点以初速度0v 作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为

v n

(1)n >时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。 答案：11n

-。 解：质点作一维运动。初始条件：0t =时，0x =，0v v =。又由题意，质点的加速度可

表示为

a kv =-

式中，k 为大于零的常数。

解法一：由加速度的定义有

dv

a kv dt

=

=- 分离变量

dv

kdt v

=- 由初始条件0t =时0v v =，有

00v

t v dv k dt v =-?? 积分得

0e (1)kt v v -=

所以

0e kt dx

v v dt

-=

= 由初始条件0t =时0x =，积分得

00

e (1e )t

kt kt v x v dt k

--==

-? 上式可写为

m (1e ) (2)kt x x -=-

其中，0

m v x k

=

为质点所能行经的最大距离。 联立式（1）和式（2），得

m 00

()x

x v v v =- 故

m 0

(1)x v x v =- 将0

v v n

=

代入上式，得 11m x x n

=- 解法二：由加速度的定义，并作变量替换有

dv

a v

kv dx ==- 即

dv kdx =- 由初始条件0x =时0v v =，有

v

x

v dv k dx =-?

?

积分得

0 (3)v v kx =-

由上式得0v v

x k

-=

。故当0v v n =时，

01

(1) (4)v x k n

=-

又由dx

v dt

=

及式（3），有

0dx

dt v kx =-

由初始条件0t =时0x =，积分得

00

ln

v kx

kt v -=- 即

(1e )kt v x k

-=

- 可见，质点所能行经的最大距离为 0m v x k

=

故当0

v v n

=

时，由式（4）及上式得 11m x x n

=-

3．在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s 距离处，当人以速率

v 0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。

答案：0x v v s =-；22

03x h a v s

=-。

解：建立如图所示的坐标系。 根据题意可得

0-dl

v dt

= 由上图可得

x =船的速率

00))x dx v v v dt ==--

船的加速度大小 222

2

00332

22()()()

x x dv

h h a v v dt

x

l

h ==

-=--

当

x = s 时，22

03x h a v s

=-

，x v =

4．如图，一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h ，沿近似于圆弧的曲线俯

B

r 冲到点B ，其速率为2192 km/h ，所经历的时间为3s ，设圆弧 AB 的半径约为3.5km ，且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B 所经历的路程。 答案：（1）2109m s a -=?，与法向成12.4角；（2）m 1722=s 。 解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以t a 和α为常量

t d d v a t

=，

t t 0

d d t

B A v a t v v a t =?-=?

?B

A

v v ，

已知11940km h v -=?A ，12192km h v -=?B

3s t =， 3.5km r =，所以 2t 23.3m s B A

v v a t

--=

=? 在点 B 的法向加速度 22n 106m s B

v a r

-=

=?

在点 B 的总加速度大小

2109m s a -?

a 与法向之间夹角 t

n

arctan

12.4a a β== （2）在时间t 内矢径r

所转过的角度为 212

A t t θωα=+ 飞机经过的路程为

2t 1

1722m 2

A s r v t a t θ==+=

5．如图所示，一条宽度为d 的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为0v 。现有一人以不变的划船速度u 沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。 答案：2

0v x y ud

=

，即运动轨迹为抛物线。 解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据题意，初始条件为0t =时，000x y ==，00x v =，0y v u =。

又根据题意，当2

d

y ≤时，水流速度可表示为 w v ky =，

且当2

d y =时，0w v v =。故 02v

k d =

即 02w v

v y d

=

对小船有

x w dx

v v dt

=

=， y dy

v u dt

=

=

利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得

2

0uv x t d

=

， y ut = 联立消去t ，得

2

0v x y ud

=

上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。

注意，上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当2

d

y ≥

时，水流速度应为 2()w v k d y =-

此时有

2x w dx

v v dt

=

=， y dy

v u dt

=

= 根据前半部的计算结果知，在河心，即2d y '=时，2d

t u

'=，2

0024v v d d x ud u ??'== ???。

以此为新的初始条件代入，积分

2()

x

t y

w x t y dy dx v dt k d y u

'

'

'

==-?

?? 可解得，当2

d y ≥

时 200022v d v v

x y y u u ud

=-

+- 可见小船运动轨迹仍为抛物线。