高三数学多面体与球.docx
二手泵车：https://https://www.360docs.net/doc/cc5697808.html,/
[单选]一般情况分散或小颗粒状夹杂对材料性能的（）。A、没有影响B、影响很大C、影响不大D、影响较大
[单选]物流目标优化的对象是指（）A．物流系统的整体目标B．物流系统内部要素的目标C．物流系统的整体目标和内部要素目标D．物流系统内部和外部的要素
[单选]下列哪项没有参与促进乳腺发育及泌乳功能（）A.皮质醇B.雌激素C.甲状旁腺素D.胎盘生乳素E.胰岛素
[单选,B1型题]体现了新公共健康精神的项目是（）A.预防为主B.三级预防C.强化社区行动D.人人享有卫生保健E.群众性自我保健
[单选]与鼻咽癌的描述不相符的是()A．颈淋巴结转移有时为首发症B．有时表现为分泌性中耳炎C．放射治疗为首选D．可引起较多颅神经症状E．病变局限者手术切除为首选
[单选]在腰肌劳损的治疗方法中，不正确的是（）A.注意休息，防止再发病B.加强功能锻炼，练习弯腰持物的力量C.疼痛部位进行理疗D.疼痛剧烈，痛点可注射肾上腺皮质类固醇E.疼痛严重可口服止痛药物
[多选]下列哪些因素影响航空客运市场的需求()。A.经济发展水平B.人口的数量及结构C.人均收入水平的高低D.运输业的发展水平E.消费者偏好
[单选,A2型题,A1/A2型题]以下自杀的相关因素不正确的是（）A.重大的负性应激事件可能成为自杀的直接原因或诱因B.独身、离婚、丧偶者自杀率高于婚姻状况稳定者C.从事专门职业的医生、律师、作家、音乐家等的自杀率低于国家的自杀率大多是男多于女，而我国则相差不大E.凡政局动荡，经济萧条年份，自杀率一般会升高
[单选,A2型题,A1/A2型题]孤独症康复中的结构化教育，错误的是（）A.课程可在有关机构开展，也可在家庭中开展B.根据患儿能力和行为特点设计个体化的内容C.目的是增进患儿对环境、对教育和训练内容的理解和服从D.主要针言、交流及感知觉运动等方面存在的缺陷，有针对性的教育E.主要运用滑板、秋千等游戏设施进行训练，对于减少患儿多动行为、增加语言等有较好疗效
[单选]公司法规定，有限责任公司可以设经理，由()决定聘任或者解聘。A.董事会B.监事会C.股东会D.经理会
[单选]在中医脏腑学说中，主藏神志脏器为（）。A、脾B、肝C、心D、肾
[单选,案例分析题]某女，31岁，1986年3月5日初诊，患者平素月经正常，1984年5月顺产1男婴，半月前人流后仍阴道出血，夹有烂肉样组织，妇科检查示：子宫体稍大，宫颈口松弛，B超检查宫腔内有组织物残留。此患者清宫后但经色紫黯如败酱，质黏腻，有臭气，伴小腹作痛，腰酸下坠，小便黄少，舌苔黄腻，质红，脉细数无力，测体温37．5℃。诊断为（）A.人流综合征B.子宫穿孔C.人流不全D.宫腔内口粘连E.人流术后感染
[单选,A2型题,A1/A2型题]下列微生物哪种属于原核细胞型微生物（）A.病毒B.螺旋体C.真菌D.噬菌体E.以上都不是
[单选,A2型题,A1/A2型题]下列抗体中哪一项是Graves病的直接致病原因（）A.TSAbB.TSBAbC.TGID.TPOAbE.TgAb
[单选]下列哪种抗生素不常引起急性肾小管坏死A.妥布霉素B.丁胺卡那霉素C.环孢素AD.两性霉素BE.氨苄青霉素
[填空题]二次加工汽油中加抗氧化剂，可以改善汽油（）。
[单选]当岩石按坚硬程度分类时，强度为30～60MPa的是（）。A.坚硬岩；B.较坚硬岩；C.较软岩；D.软岩。
[单选]鉴定可溶性抗原纯度的方法有（）A.单向免疫扩散和免疫电泳法B.对流免疫电泳和血凝法C.双向免疫扩散和补体结合法D.聚丙烯酰胺凝胶电泳和免疫电泳E.补体结合法和结晶法
[判断题]住舱着火，当充满水的皮龙、水枪就位后，便可打开所有的门窗，迅速扑救.A.正确B.错误
[单选]下列药物与麻醉并发症的关系组合，不正确的是（）A.单胺氧化酶抑制剂并用哌替啶可致呼吸抑制、高热、昏迷、惊厥、低血压甚至死亡B.左旋多巴并用氟哌利多可致锥体外系症状C.奎尼丁可拮抗肌肉松弛剂的作用D.青光磷酰胆碱可延长琥珀酰胆碱的作用E.氯胺酮并用苯二氮类可减轻其中枢神经系统副作用
[单选]气体保护焊采用左焊法的特点之一是（）A、不易焊偏B、焊缝成形良好C、熔池不易观察D、焊缝较窄而凸
[单选]要复制一个被选中的对象用什么：（）A．Ctrl+移动B．Shift+移动C．Alt+移动D．Ctrl+Alt+移动
[多选]网关的作用是（）。A.从第一个网络读取所接收的信息B.向第二个网络发送信息C.翻译信息D.确定优先权
差悬殊，且最小压实厚度小于8cm
[单选,A2型题,A1/A2型题]甲状旁腺功能减退症患者对维生素D制剂的使用，下列说法正确的是（）。A.用钙剂时常规加用维生素D制剂B.应尽可能快速大量应用维生素D制剂，以尽快控制症状C.较重患者须加用维生素D制剂，应从小
都不对E.钙剂加量时亦应增加维生素D制剂的用量
[单选,A2型题,A1/A2型题]《景岳全书·传忠录》中被视为“诊治之要领，临证之首务”的是（）A.望诊B.闻诊C.问诊D.切诊E.以上均不是
[单选]按1980年的美元记价，设GD表示GDP平减指数。则1990年的实际GDP等于1990年名义GDP（）。A.乘以（GD80／GD90）；B.乘以（GD90／GD80）；C.除以1980年的GD；D.除以1990年GD和1980年GD的差额。
[单选]下列有关法律规范的效力等级和适用的说法哪一项是正确的？（）A.地方性法规与规章具有同等效力B.规章具有同等效力C.部门规章之间对同一事项的规定不一致时，应由部门规章制定机关协商解决D.根据授权制定的地方定不一致，不能确定如何适用时，由全国人大常委会裁决
[单选]含嘌呤最少的食物是()A．猪肝B．牛奶C．豆腐D．猪肉E．鱼子
[单选]舌强而语言謇涩，伴肢体麻木而眩晕者，属A.中风先兆B.邪热炽盛C.风痰阻络D.阴虚火旺E.气血俱虚
[单选,A2型题,A1/A2型题]有关微生物的描述正确的是（）A.体形小于1mm的生物B.单细胞的小生物C.不具备细胞结构的微小生物D.体形小于1μm的生物E.以上均是错误的
[单选]中版海图水深浅于21m，水上注记注至（）。A．0.1mB．0.5mC．整米D．1cm
[单选]痹证日久，肝肾亏损，首选方剂是（）A.蠲痹汤B.三痹汤C.桃仁饮D.独活寄生汤E.炙甘草汤
[名词解释]Fab(Fragmentantigenbinding)
[单选]关于普查的目的，以下哪项不正确（）A.早期发现病例B.了解人群的健康水平C.了解疾病的分布D.为卫生决策提供依据E.验证病因假设
[多选]下列表述正确的是：（）。A.货主或其代理人在办理进境动物、动物产品报检时，还需按检疫要求出具，输出国家或地区政府出具的检疫证书（正本）；《中华人民共和国进境动植物检疫许可证》。B.输入活动物的报检时
场审批证明。C.输入动物产品的报检时，应提供加工厂注册登记证书。D.输入来自美国、日本、韩国以及欧盟的货物，应按规定提供有关包装情况的证书或声明。
[单选]下列哪一项检查是盆腔检查中最重要、最常用的方法（）A.三合诊B.直肠-腹部诊C.双合诊D.腹部B超E.腹透
[单选]氧化铝是（）。A、酸性氧化物B、碱性氧化物C、两性氧化物D、盐类化合物
[问答题,简答题]教学设计的基本要素
[填空题]消费心理学是商品经济发展到一定阶段的产物，对它的研究有助于实现消费者的消费需求；有助于（）；有助于提高服务水平；有助于（）的发展。
高中数学空间几何体的内切球与外接球问题
空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2， 则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦 定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大 值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，
2021届高考数学专题：立体几何之内切球和外接球(答案不全)
高考数学中的内切球和外接球问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为 ______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 ，则此球的表面积 为 . 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A.π16 B. π20 C. π24 D.π32 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 9，底面周长为３，则这个球的体积为 . 241,2,3
二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例 7 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. π3 B. π4 C. π33 D. π6 例8 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分布沿ED 、FC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A. π2734 B.π26 C. π86 D. π24 6 例9 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 . 2、构造长方体 例10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥DC ，若AB=6,AC=
多面体与球切、接的问题(一)
多面体与球切、接的问题（一） 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1球与正方体 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，设正方体的棱长为a ，E ,F ,H ,G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则 a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则2 GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则132A O R a '== .通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.
高考数学易错题7.1 多面体与球的组合体问题-2019届高三数学提分精品讲义
专题七 不等式 问题一：多面体与球的组合体问题 一、考情分析 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理． 二、经验分享 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． (3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱 三、知识拓展 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1 四、题型分析 (一) 球与柱体的组合体 规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图1所示,正方体1111ABCD A B C D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2 a OJ r == ；二是与正方
高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习
高考文科数学中的内切球 和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020
内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角 线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π. 例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 3d = .∴外接球的半径221R r d =+=.43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两 3_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 再
高考数学球的切接问题
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正. 一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 初图1 初图2 2．结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为π 27. 例2、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是3 2所以球的半径为3.故该球的体积为π3 4. 2、求长方体的外接球的有关问题 例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
简单多面体外接球球心的确定
简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 二、典型例题 1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边 长为.若PA =，则OAB ?的面积为多少？ 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？ 3、已知正三棱锥P ABC -，点,,,P A B C .若,,PA PB PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为多少？ 4、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ?是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？ 5、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23 ，则这个球的表面积为多少？ 6、四面体的三组对棱分别相等，棱长为. 7、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积. 8、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD -. 9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 .
(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.
高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ?? ???? ==h x x 24368936 ?? ???= =213 x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1 =r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
多面体与球切、接的问题(讲)
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一?高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺 利解答?从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目?分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以 至于遇到类似的题目便产生畏惧心理?下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深 入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分?从 近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见 首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内 接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面 体，这个球是这个多面体的内切球? 1球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题? 1.1 球与正方体 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，0为 球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内 a 切圆，则0J = r ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆， 2 则Go| =R =乎a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACAG和其外接圆，则 73 AO =R -a?通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面 2 图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方 体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题
2011届高三数学精品复习之(20)多面体与球
2011届高三数学精品复习之多面体与球 1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心?三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心?三侧面与底面所成的二面角相等；垂心?相对的棱垂直。正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直?顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心?三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。 [举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心， 即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。记SO=h （h< a ），则AO=22h a -， 于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)= h h a )(4 322 -， f / (h)=)3(432 2h a -，∴f max (h)=)33(a f =6 3a . [举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）. 解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。 [巩固1]已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC 的体积为： （ ） A ． 8 B ．10 C ．20 D ．30 [巩固2]对于四面体ABCD ，给出下列四个命题 ①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则AD BC ⊥ ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的序号是 。（写出所有真命题的序号） 2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2； [举例]已知锐角α、β、γ满足：cos 2α+ cos 2β+ cos 2 γ=1,则tan αtan βtan γ的最小
高三数学理科综合内切球和外接球问题附习题
高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____43π__________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） . A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：长、宽、高分别为2，2，4 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该 六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,384x x x h h =?? =?? ∴?? =? ??=??．
∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 32d = .∴外接球的半径221R r d =+=. 43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式2 2 2 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______9π________. 解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 则有 () ()()() 2 2 2 2 23339 R = ++=.∴ 29 4R = .故表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2222R a b c =++. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 例 6 . 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ） A. 3π B. 4π C. 33π D. 6π 解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3 例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0 DAB=60∠，E 为AB 的中点，将 ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为 （C ）.
高考数学-考点22-简单多面体与球练习
考点22 简单多面体与球 1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α， 垂足为B ，BCD ?是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ,AD 分别与 球面交于点M ，N ，那么M ,N 两点间的球面距离 是（ ） （A ）17arccos 25R （B ）18arccos 25R （C ）13R π（D ）415R π 【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力. 【思路点拨】欲求M ,N 两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求MON ∠的弧度数，进而转化为求线段MN 的长度.∵题目中所给条件大多集中在BCD ?内，故探求MN 与CD 的数量关系. 【规范解答】选A . 连结BM ，∵AB 为球O 的直径，∴BM AC ⊥， 在Rt ABC ?中， 222,,5AB R BC R AC AB BC R ===+= 由射影定理可得22 5BC BC CM CA CM R CA =??==.则45AM AC CM R =-=. 同理，连结BN ,则△ABM ≌△ABN,则AN AM =,又AC AD =, ∴MN ∥CD .∴45MN AM CD AC ==, 即4455MN CD R ==. 在三角形MON ?中, OM=OM=R, 45MN R =利用余弦定理可得： 22217cos =225OM ON MN MON OM ON +-∠=?，∴17arccos 25MON ∠=,∴M,N 两点间的球面距离为 17 R arccos 25. 2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）
2019-2020年高考数学复习 第82课时第九章 直线、平面、简单几何体-球与多面体名师精品教案 新人教A版
2019-2020年高考数学复习第82课时第九章直线、平面、简单几何体- 球与多面体名师精品教案新人教A版 一．复习目标： 1.了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题； 2.了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的 概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法． 二．主要知识： 1．欧拉公式； 2．球的表面积；球的体积公式； 3．球的截面的性质：． 三．课前预习： 1．一个凸多面体的顶点数为，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为( ) 2．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是 ( ) 3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( ) 4．地球表面上从地(北纬，东经)到地(北纬，东经)的最短距离为（球的半径为）（） 5．设是球面上的四点,且两两互相垂直,若则球心到截面的距离是 . 四．例题分析： 例1．已知三棱锥内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积. 例2．在北纬圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于 (为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。 例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，是截面圆的直径,是圆周上一点，是球的直径， (1) 求证：平面平面； (2) 如果球半径是，分为两部分, 且，求与所成的角； (3) 如果，求二面角的大小。
五．课后作业： 1．给出下列命题：①正四棱柱是正多面体；②正四棱柱是简单多面体；③简单多面体是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体；其中正确的命题个数为 （ ） 1个 2个 3个 4个 2．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数与面数满足的关系是（ ） 3．棱长为的正方体中，连接相邻两个面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ) 4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为 （ ） 5．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ） 3:1 6．地球半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为，则两地的经度之差的绝对值为 （ ） 7．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为（ ） 2 3 12 8．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ） 9．如图，是表面积为的球面上三点，2,4,60AB BC ABC ==∠=，为球心，则直线与截面所成的角是 （ ） 10．一个多面体共有10个顶点, 每个顶点处都有四条棱, 面的形状只有三角形和四边形,求该多面体中三角形和四边形的个数分别是 . 11．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是____ ___．
多面体与球的内切和外接常见类型归纳
多面体与球的内切和外接常见类型归纳 在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下： 一．正四面体与球 如图所示，设正四面体的棱长为a ，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高SE=3 2a,斜 高SD=4 3a ，OE=r=SE-SO ，又SD=BD,BD=SE-OE, 则在 2222)(OE SE BD EB OE OEB -==+?中，直角 r= a 126。R=SO=OB=a 4 6 特征分析： 1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外 接球的球心为同一个。 2． R=3r. r= a 126 R=a 4 6 。此结论可以记忆。 例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球 面上，则此球的表面积为（ ） 分析：借助结论，R= a 46=4 6 2= 2 3 ,所以S=42R π=3π。
2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ） 分析：借助R=3r ，答案为9：1。 二、特殊三棱锥与球 四个面都是直角三角形的三棱锥。 SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形，面, 因为SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，球心落在SC 的中点处。所以 R=2 SC 。 三．正方体与球。 1．正方体的外接球 即正方体的8个定点都在球面上。 关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角面。设正方体的边长为a ，则AB=2a ，BD=2R ，AD=a ， R= 2 3 a 。 C 2． 正方体的内切球。 （1）与正方体的各面相 切。如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。 C B A
考点22 简单多面体与球
温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点22 简单多面体与球 1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ?是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ,AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M ,N 两点间的球面距离 是（ ） （A ）17arccos 25R （B ）18arccos 25 R （C ）1 3 R π （D ） 4 15 R π 【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力. 【思路点拨】欲求M ,N 两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求MON ∠的弧度数，进而转化为求线段MN 的长度.∵题目中所给条件大多集中在BCD ?内， 故探求MN 与CD 的数量关系. 【规范解答】选A . 连结BM ，∵AB 为球O 的直径，∴ BM AC ⊥， 在Rt ABC ?中， 222,,5AB R BC R AC AB BC R === += 由射影定理可得22 BC BC CM CA CM R CA =??==.则AM AC CM R =-=. 同理，连结BN ,则△ABM ≌△ABN,则AN AM =,又AC AD =, ∴MN ∥CD .∴ 45MN AM CD AC ==, 即44 55 MN CD R ==. 在三角形MON ?中, OM=OM=R, 4 5 MN R =利用余弦定理可得： 22217 cos =225 OM ON MN MON OM ON +-∠=?，∴17arccos 25MON ∠=,∴M,N 两点间的球面距离为17 R arccos 25 . 2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）
关于多面体外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱，则其外接球的表面积是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R =
变式1： 变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 C D A B S O 1图3
多面体与球专题
多面体与球专题 一. 选择题： 1. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6 1 ，经过这3个点的小圆的周长为π4，那么这个球的半径为（ ） A. 34 B. 32 C. 2 D. 3 2. 如图，A 、B 、C 是表面积为π48的球面上三点，AB=2，BC=4，?=∠60ABC ，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A. 63arcsin B. 63arccos C. 33arcsin D. 3 3arccos 3. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大 时，异面直线AD 与BC 的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. 321S S S >> B. 231S S S << C. 132S S S << D. 312S S S << 5. 如图，一个由三根细铁杆PA 、PB 、PC 组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架上，则球心到点P 的距离是（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 2 3 6. 已知球的表面积为π20，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=AC=2，32=BC ，则球心到平面ABC 的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 7. 地球半径为R ，在北纬30°圈上有两点A 、B ，A 点的经度为东经120°，B 点的经度为
西经?60，则A 、B 两点的球面距离为（ ） A. R 3 π B. R π23 C. R 2π D. R π3 2 8. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（ ） A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（2）（3） D.（2）（3）（4） 二. 解答题： 1. 如图所示，AB 是球O 的直径，C 、D 是球面上两点，且都在以BC 为直径的小圆上，设小圆所在的平面为α （1）求证：平面ABC ⊥α； （2）设D 为? BC 的中点，AD 与平面α所成的角为θ，过球的半径OD 且垂直于平面 α的截面截BC 弦于点E ，求OED ?与过OD 的截面圆的面积之比。 2. 在棱长为2R 的正方体容器内装满水，先把半径为R 的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入两球后溢出的水量与容器容量之比。 3. 上海靠近北纬30°、东经120°的A 点，洛杉矶靠近北纬30°、西经120°的B 点，如果以美国新研制的3倍音速的飞机，那么从洛杉矶起飞到达上海需要多长时间？ （70.1)8 1arccos(≈-，音速为340m/s ，地球半径取R=6378km ） 。