幂函数知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、幂函数的定义

一般地，函数()y x R αα=∈叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.

注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x .

二、幂函数的图像

幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当11,2,3,,12

α=-时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.

三、幂函数的性质

当0α>时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是增函数，当1α>时，函数图像是向下凸的；当01α<<时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；

当0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是减函数.幂函数y x α=的图像恒过点(1,1).

题型归纳及思路提示

题型1 幂函数的定义及其图像

思路提示

确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.

例2.68函数2223()(1)a a f x a a x --=--为幂函数（a 为常数），且在(0,)+∞上是减函数，则a =______. 分析根据幂函数的定义及单调性求解a .

解析依题意，得2211230

a a a a ?--=??--

2204(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.

变式2 幂函数()y f x =的图像经过点1

(2,)8

--，则满足()27f x =的x 的值是______.. 变式3 设11,1,,32a ?

?∈-????

，则使函数y x α=为奇函数且定义域为R 的所有α的值为（） .1,3A .1,1B - .1,3C - .1,1,3D -

题型2 幂函数性质的综合应用

思路提示

紧扣幂函数y x α

=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.

例2.69已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数.

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）求满足33(1)(32)m

a a --+<-的a 的取值范围.

分析利用函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数且为偶函数求m ，从而得到()f x 的解析式.

解析（1）因为幂函数在区间(0,)+∞上是减函数，所以2

230m m --<得 13,m m Z -<<∈又，当0m =时，2233m m --=-；当1m =时，2234m m --=-；当2m =时，2233m m --=-.

又因为()f x 为偶函数，所以4()f x x -=.

（2）由1m =得1133(1)

(32)a a --+<-. 即1

133

11132a a ????< ? ?+-????又13y x =在R 上单调递增，故11132a a <+-，整理得 (1)(32)(23)0a a a +--<，解得23132

a a <-<<或，如图所示.

故a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-U . 评注突破点为由单调性得m 的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.

变式1 已知函数2()f x x =，设函数[]()()(21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.

最有效训练题

1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是增函数的是（）

43.A y x =

32.B y x = 2.C y x -= 14.D y x = 2.幂函数2232()m m y x m Z --=∈的图像如图2-20所示，则m 的值为（）

.1A .2B .3C

.4D

3.幂函数()f x 的图像经过点11

(,)42

A ，则它在点A 处的切线方程为（） .4410A x y ++= .4410

B x y -+= .20

C x y -=

.20D x y += 4.若幂函数()f x 的图像经过点13,9??

???则其定义域为（）

{}

.,0A x x R x ∈> {}.,0B x x R x ∈< {}.,0C x x R x ∈≠ .D R 5.设232555322,,555a b c ??

????=== ? ? ???????

，则,,a b c 的大小关系是（） .Aa c b >>

.B a b c >> .C c a b >> .Db c a >> 6.设1112,1,,,,1,2,3232a ?

?∈---????

，则使y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值的个数为（） .1A .2B .3C .4D

7.已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(8)f 的值为_______.

8.已知幂函数265()()m m f x x m Z -+=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x 的解析式为

32 23

1- 图 2-19

_______.

9.已知函数12

()f x x =，且(21)(3)f x f x -<，则x 的取值范围是_______.

10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[][],,b a a b --U ，其中0a b <<，若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为_______.

11.已知函数12()f x x =，给出下列命题：

①若1()1x f x >>则；

②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；

③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；

④若120x x <<，则1212()()22f x f x x x f ++??< ???

. 其中，所有正确命题的序号是_______.

12.

点在幂函数()f x 的图像上，点12,4?

?- ???

在幂函数()g x 的图像上，问当x 为何值时有： (1)()()

(2)()()(3)()()

f x

g x f x g x f x g x >=<