2019-2020学年重庆一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年重庆一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,8),则f(?1
2
)的值等于()
A. ?1
8B. 1
8
C. ?8
D. 8
2.函数y=log a(2x?1)?1(a>0,且a≠1)的图象过定点()
A. (1
2,?1) B. (1,?1) C. (1,0) D. (1
2
,0)
3.已知集合A={x|?1 A. (2,3)∪(4,5) B. (2,3]∪(4,5] C. (2,3)∪[4,5] D. (2,3]∪[4,5] 4.已知函数f(x)=4x2?kx?8在[1,2]上具有单调性,则k的取值范围是() A. (?∞,8]∪[16,+∞) B. [8,16] C. (?∞,8)∪(16,+∞) D. [8,+∞) 5.命题“?x>0,使2x>3x”的否定是() A. ?x>0,使2x≤3x B. ?x>0,使2x≤3x C. ?x≤0,使2x≤3x D. ?x≤0,使2x≤3x 6.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过:“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部 分对数表中,16和256对应的幂指数分别为4和8,幂指数的和为12,而12对应的幂为4096,因此16×256=4096.根据此表,推算128×1024=() 7.函数f(x)=2x?1+√x?2的最小值是() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.若函数f(x)={ a x,x≥1 (4?a 2 )x+2,x<1且满足对任意的实数x1≠x2都有 f(x1)?f(x2) x1?x2 >0成立,则实数 a的取值范围是() A. (1,+∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8) 9.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f(?2)=() A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 以上都不是 10.已知直线l1:mx+y?1=0,直线l2:(m?2)x+my?1=0,则“l1⊥l2”是“m=1”的 () A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0,+∞)上是增函数,则不等式f (2x ?1) 集为( ) A. (?∞,2) B. (?1,2) C. (?∞,?1)∪(2,+∞) D. (?1,+∞) 12. 已知函数f(x)={?x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0 ,若|f(x)|≥2ax ,则a 的取值范围是( ) A. (?∞,0] B. [?2,1] C. [?2,0] D. [?1,0] 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. f(x)=的定义域为______ . 14. 已知函数f(x)为奇函数,且当x ∈(?∞,0)时,f(x)=x(1?x),则f(3)=______. 15. 函数f(x)=log 0.5(8+2x ?x 2)的单调递增区间是______ . 16. 设函数f (x )=x 2+2x ?a ,若对任意的x ∈[?3, 0]都有f (x )≥0恒成立,则实数a 的取值范围 是__________; 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分) 17. 已知A ={x|1 4≤2x ≤32},B ={y|y =log 12 x,1 64≤x ≤2}. (1)求A ∩B ; (2)若C ={x|1?m ≤x ≤1+m,m >0},若C ?A ,求m 的取值范围. 18. 计算下列各式: (1)(0.027)23 +( 27125 ) ?1 3 ?(279 ) 0.5; (2)lg25+2 3lg8+lg5?lg20+(lg2)2. 19.设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2?2x?3. (1)求f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)?a=0有两个实数根x1,x2,且满足:?1 取值范围. (a x?3)(a>0且a≠1). 20.函数f(x)=log1 2 (1)若a=2,求函数f(x)在(2,+∞)上的值域; (2)若函数f(x)在(?∞,?2)上单调递增,求a的取值范围. 21.已知定义域为R的函数f(x)=?2x+b 是奇函数(a>0,b>0). 2x+1+a (1)求a,b值; (2)求函数f(x)的值域. 22.已知定义在R上的函数f(x)=2x?1 . 2|x| (1)若f(x)=3 ,求x的值; 2 (2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. -------- 答案与解析 --------1.答案:A 解析:解:设幂函数f(x)=xα(α∈R),其图象经过点(2,8), ∴2α=8, 解得α=3; ∴f(x)=x3, ∴f(?1 2)=(?1 2 )3=?1 8 . 故选:A. 根据幂函数f(x)的图象经过点(2,8),求出函数的解析式,再计算f(?1 2 )即可. 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的问题,是基础题目.2.答案:B 解析: 【分析】 令对数函数的真数等于1,求得x、y的值,可得它的图象过定点的坐标. 【解答】 解:令2x?1=1, 求得x=1,y=?1, 函数y=log a(2x?1)?1(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,?1), 故选B. 3.答案:C 解析:解:A={x|2 ∴?A B={x|2 故选:C. 可解出集合A,然后进行补集的运算即可. 考查描述法、区间表示集合的定义,以及补集的运算. 4.答案:A 解析:解:∵对称轴x=k 8 ,若函数f(x)在[1,2]上单调, 则k 8≥2或k 8 ≤1, 解得:k≥16或k≤8, 故选:A. 先求出函数的对称轴,根据函数的单调性,得到不等式,解出即可. 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,是一道基础题. 5.答案:A 解析:解:命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,即?x>0,使2x≤3x, 故选:A. 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 本题主要考查含有量词的命题的否定,根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础. 6.答案:B 解析: 【分析】 本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理,属于基础题. 先通过阅读,理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【解答】 解:由上表可知:128=27,1024=210,即128,1024对应的幂指数分别为7和10,幂指数和为17,而17对应的幂为131072, 因此128×1024=131072. 故选B. 7.答案:A 解析: 【分析】 本题考查求函数的最值,属于中档题. 利用换元法转化为二次函数求最值. 【解答】 解:令t=√x?2,t∈[0,+∞),则x=t2+2, 所以y=2t2+t+3,在[0,+∞)单调递增, 当t =0时,y 最小值是3. 故选A . 8.答案:D 解析: 【分析】 本题考查的知识点是分段函数的应用,正确理解分段函数的单调性,属于中档题. 若对任意的实数x 1≠x 2都有f(x 1)?f(x 2)x 1?x 2 >0成立,则函数f(x)={?a x ,x ?1 (4?a 2 )x +2,x <1 在R 上单调递增, 进而可得答案. 【解答】 解:∵对任意的实数x 1≠x 2都有 f(x 1)?f(x 2)x 1?x 2 >0成立, ∴函数f(x)={?a x ,x ?1 (4?a 2)x +2,x <1在R 上单调递增, ∴{a >1 4?a 2 >0a ≥4?a 2 +2 , 解得:a ∈[4,8), 故选D . 9.答案:C 解析:由于f(x)是定义在R 上的奇函数,因此f(?2)=?f(2)=?log 22=?1. 10.答案:B 解析:解:直线l 1:mx +y ?1=0,直线l 2:(m ?2)x +my ?1=0,若“l 1⊥l 2”, 则m(m ?2)+m =0, 解得m =0或m =1, 故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件, 故选:B . 利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值,再根据充分必要条件的定义即可得出. 本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 11.答案:B 解析: 【分析】 本题考查了抽象函数,函数的单调性与单调区间和函数的奇偶性. 利用偶函数的定义可知,f(2x?1)=f(|2x?1|),则不等式变为f(|2x?1|) 【解答】 解:由f(x)为偶函数, 则f(2x?1)=f(|2x?1|), 由f(2x?1) 由于f(x)在[0,+∞)上单调递增, 故|2x?1|<3,则?3<2x?1<3, 解得?1 即不等式的解集为(?1,2). 故选B. 12.答案:D 解析: 【分析】 本题主要考查函数与方程的应用,利用分段函数作出函数的图 象,利用数形结合是解决本题的关键,作出函数f(x)和y=ax的 图象,将方程问题转化为两个函数的交点个数问题,利用数形 结合进行求解即可. 【解答】 解:作出函数y=|f(x)|的图象如图:|f(x)|≥2ax,由图像可 得,a≤0. 若a=0,2ax=0,则||f(x)|≥2ax恒成立. 若a<0, 当x>0时,ln(x+1)>0,|f(x)|≥2ax恒成立; 当x=0时,2ax=0,则|f(0)|=0,2ax=0,|f(x)|≥2ax成立; ?1,即a≥?1. 当x<0时,|f(x)|=x2?2x≥2ax,x?2≤2a,解得a≥x 2 综上可得,a的取值范围为[?1,0]. 故选D. 13.答案:{x|0 解析:解:函数f(x)=?log x 的定义域满足:{x >0 ?log 2x >0 ,解得:0 所以函数f(x)=?log 2 x 的定义域为{x|0 故答案为:{x|0 根据函数的解析式,列出使函数解析式有意义的不等式组,求出解集即可. 本题考查了定义域的求法和对数的计算.属于基础题. 14.答案:12 解析: 【分析】 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于基础题.根据题意,由函数的解析式求出f(?3)的值,结合函数的奇偶性可得f(3)的值,即可得答案. 【解答】 解:根据题意,当x ∈(?∞,0)时,f(x)=x(1?x), 则f(?3)=(?3)×(1+3)=?12, 又由函数f(x)为奇函数, 则f(3)=?f(?3)=12. 故答案为12. 15.答案:[1,4) 解析:解:令t =8+2x ?x 2=?(x +2)(x ?4)>0,求得?2 再根据二次函数的性质可得函数t =?(x ?1)2+9在定义域(?2,4)上的减区间为[1,4), 故答案为[1,4). 令t =8+2x ?x 2>0,求得函数的定义域为(?2,4),f(x)=log 0.5t ,故本题即求函数t 在定义域内的减区间.再根据二次函数的性质可得函数t =?(x ?1)2+9在定义域(?2,4)上的减区间. 本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题. 16.答案:a ≤?1 解析: 【分析】 本题考查利用二次函数的性质及最值求解不等式恒成立问题,属于基础题目. 求函数f(x)的最小值为f(?1)=1?2?a=?1?a≥0即可解答. 【解答】 解:因为对任意的x∈[?3,0]都有f(x)≥0恒成立, 所以函数f(x)在[?3,0]上最小值大于等于0, 因为函数f(x)的对称轴为x=?1,开口向上, 所以函数f(x)的最小值为f(?1)=1?2?a=?1?a≥0, 解得a≤?1. 故答案为a≤?1. 17.答案:解:(1)∵A={x|1 4 ≤2x≤32}={x|?2≤x≤5}, B={y|y=log1 2x,1 64 ≤x≤2}={x|?1≤x≤6}. ∴A∩B={x|?1≤x≤5}. (2)∵C={x|1?m≤x≤1+m,m>0},C?A, ∴{1+m≤5 1?m≥?2, 解得m≤3. ∴m的取值范围是{m|m≤3}. 解析:(1)求出集合A,B,由此能求出A∩B. (2)由C={x|1?m≤x≤1+m,m>0},C?A,列出不等式组,由此能求出m的取值范围. 本题考查交集的求法,考查实数的取值范围的求法,考查交集、子集等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 18.答案:解:(1)原式=0.09+5 3?5 3 =0.09; (2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 =2+lg2?lg5+(lg5)2+lg2?lg5+(lg2)2 =2+lg5?(lg2+lg5)+lg2?(lg5+lg2) =2+lg5+lg2 =2+1 =3. 解析:考查分数指数幂和对数的运算,为基础题. (1)进行分数指数幂的运算即可; (2)进行对数式的运算即可. 19.答案:解:(1)设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0), 则f(x +1)+f(x)=2ax 2+(2a +2b)x +a +b +2c =2x 2?2x ?3, 所以{2a =2 2a +2b =?2a +b +2c =?3 , 解得:a =1,b =?2,c =?1, 从而f(x)=x 2?2x ?1. (2)令g(x)=f(x)?a =x 2?2x ?1?a =0, 由于?1 g(?1)>0 g(2)<0, 解得?1 解析:本题考查二次函数的性质,函数的解析式的求法,考查计算能力,难度不大. (1)设出二次函数,利用函数的解析式,化简表达式,通过比较系数,求出函数的解析式; (2)利用二次函数根与系数的关系,列出不等式,求解a 的范围即可. 20.答案:解:(1)令t =a x ?3=2x ?3,则它在(2,+∞)上是增函数,t >22?3=1, 故函数f(x)=log 12(2x ?3)=log 12t (2)∵函数f(x)在(?∞,?2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则, 故t =a x ?3在(?∞,?2)上单调递减且恒为正值,∴{0 a ?2?3≥0,