八年级数学竞赛专题19 平行四边形、矩形、菱形

专题19 平行四边形、矩形、菱形

阅读与思考

平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.

连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.

熟悉以下基本图形：

例题与求解

【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.

D

(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.

【例2】下面有四个命题：

①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；

②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；

其中，正确的命题的个数是（）

A.1

B. 2

C. 3

D.4

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.

【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.

（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.

D

A

C

B

(烟台中考试题)

解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.

【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .

A

B

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.

【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .

图3图2

图1

D

F

C

（1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.

(北京市中考试题)

解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）

【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC

，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.

N

M

B

A

(浙江省竞赛试题)

解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.

，

能力训练

A 级

1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.