高三上学期开学考试 文科数学试题

高三数学（文)试卷

一、单选题

1．已知集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =>．则(

)A B =R

（）

A ．[0，1]

B ．（1．2]

C ．(],2-∞

D ．[)0,+∞ 2．函数21

()log f x x x

=-

的零点所在区间为( ) A ．10,2?? ???

B ．1,12??

??? C ．1,2D ．()2,3

3．设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则0

(1)(1)

lim 3x f x f x

?→+?-=?（ ）.

A ．

23B ．6C ．13

D ．1

2

4．已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）

A.2

B.3

C.4D ．5 6．在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为

（ ）

A ．

44π-B ．4

πC ．3

4π-D ．24π-

7．下列说法正确的个数

有（ ）

①用2

2

1

2

1

()

1()n

i

i

i n i

i y y R y y ∧

==-=-

-∑∑刻画回归效果，当2R 越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；

②命题“x R ?∈，210x x +-<”的否定是“x R ?∈，210x x +-≥”；

③若回归直线的斜率估计值是2.25，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是 2.254y x ∧

=-； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。 A ．1个B ．2个

C ．3个

D ．4个

8．已知1a b >>，01c <<，下列不等式成立的是（） A ．a b c c >B ．ac bc < C ．log log c b a c >

D ．c

c ba ab <

9．函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．已知()2

ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式

()()1f p f q p q

->-恒

成立,则实数a 的取值范围为 （ ） A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[

)3,+∞

11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x

f x e x =+，则()2a f =-，

()2log 9b f =，()5c f

=的大小关系为（）

A ． a b c >>

B ． a c b >>

C ． b a c >>

D ． b c a >>

12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时，()2x

f x =，函数

(

)g x x =,a b 满足3b a >>.若[

]12,,x a b x ???∈?∈??,使得()()12f x g x =成立,

则b a -的最大值为（ ）

A ．1

2

B ．1C

D ．2

二、填空题

13．若复数z 满足()14z i -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是______.

14．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________．

15．通过市场调查知某商品每件的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:

根据上表数据,当0a ≠时,下列函数:①y ax k =+;②2

y ax bx c =++;③log m y a x =中能恰当的描述该商品的市场价y 与上市时间x 的变化关系的是(只需写出序号即可)______. 16．已知定义域为R 的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对任意[0,)x ∈+∞，均满足：

()2()0xf x f

x '+>.若2()()g x x f x =，则不等式g(2)g(1)x x <-的解集是__________．

三、解答题（17—22为解答题，请写出必要的语言叙述；17题10分，18—22每题12分)

17．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y α

α

?=??=??（α为参数），以坐标原点为极点，

以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4

ρθπ

+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.

18．设()13

ln 122

f x a x x x =+-+曲线()y f x =在点()()1,1f 处取得极值. （1）求a 的值；

（2）求函数()f x 的单调区间和极值.

19．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),

,[90,100]分成5组，请根据下面尚

未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

频率分布表

（1）求,,,

a b x y的值；

（2）若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.

20．为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：女生：

睡眠时间

（小时）

[4,5）[5,6）[6,7）[7,8）[8,9]

人数 2 4 8 4 2

男生：

睡眠时间（小时）[4,5

）

[5,

6）

[6,

7）

[7,8

）

[8,9]

人数 1 5 6 5 3

（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；

（2）完成下面2x2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

睡眠时间少

于7小时

睡眠时间不少于7小时合计

男生

女生

合计

P（2

K k

≥）0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001

k 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．8879 10．828

（

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n=a+b+c+d）

21．如图，设F是椭圆()

22

22

:10

x y

C a b

a b

+=>>的左焦点，,A B分别为左、右顶点，2

AF=，离心率

1

2

e=，过点()

8,0

P-作直线l与椭圆相交于不同的两点,

M N.

（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求MNF 面积的最大值.

22．已知函数()()ln f x x x a =-，()1e 22

x

g x =-（e 为自然对数的底）.

（1）讨论()f x 的极值； （2）当1a =时， （i ）求证：当10e x <<

时，()2

73

f x x x <-； （ii ）若存在(]

00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.

2020-2021学年度上学期开学考试

高三上数学（文)答案

一、选填每题5分，满分80分 1-5．CCABC 6-10．ACDBD 11-12．DB

13．2 14．-6. 15．② 16．11,3??- ???

17．满分10分

试题解析： （1）1C 的普通方程为2

213

x y +=，--------2分

,

sin cos ?

??==x y x x ρρ因为---------1分

所以2C 的直角坐标方程为40x y +-=.------2分

（2）由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，

所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，-------1分

|3cos sin 4|π

()2sin()2|32

d αααα+-=

=+-.--------2分

当且仅当π

2π()6

k k α=+

∈Z 时，()d α2，------1分 此时P 的直角坐标为31

(,)22

.-----1分

18．满分12分

解（1）因为()13ln 122f x a x x x =+

-+，故可得()213

22

a f x x x '=--，------1分

又因为()10f '=，故可得20a -=，解得2a =.---------2分 经检验，a =2符合题意。---------2分 （2）由（1）可知，

()()()()2

31113

21,222x x f x lnx x f x x x --=+-+-'=， 令()0f x '=，解得121

,13

x x ==，-------1分

又因为函数定义域为()0,+∞，

分

或得由-1-------13100

0)(><>'x x x x f

分

或得由-1-------131

00

0)(><<'x x x x f

故可得()f x 的单调递减区间为10,?3?? ???，()1,+∞，单调递增区间为1,13??

???.-------2分

故()f x 的极大值为()10f =；()f x 的极小值为12233f ln ??

=- ???

.------2分

19．满分12分

解：（1）由频率分布表可得2

0.0450

b =

=-------1分 [80,90)内的频数为500.084?=,

∴508204216a =----=----------1分 ∴[60,70)内的频率为16

0.3250

= ∴0.32

0.03210

x =

=----------------------2分 ∵[90,100]内的频率为0.04

∴0.04

0.00410

y ==---------------------2分 （2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,

设第4组的4人分别为1a 、2a 、3a 、4a ；第5组的2人分别为1b 、2b ------------1分 从中任取2人的所有基本事件为：

()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()12,b b 共15个.-------------2分

至少一人来自第5组的基本事件有：

()11,a b ,()12,a b ,()21,a b ,()22,a b ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ()12,b b 共9个.------------1分

所以93

155

P =

=.---------1分 ∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为3

5

.---------1分 20．满分12分解：

（1）选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为A ，B ，睡眠时间在[5,6）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，-------1分

从中选取3人的情况有ABa ， ABb ， ABc ， ABd ， Aab ，Aac,Aad, Abc, Abd, Acd,Bab, Bac, Bad, Bbc, Bbd, Bcd, abc, abd, acd, bcd,,共20种，---------2分 其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，---------1分

因此有3人中且有一个为“严重睡眠不足”的概率为123

205

=---------2分 （2）

-----------------2分

()

2

220126-14840

=

0.440 2.70620261420

91

K ??=

≈

（1）因为2AF a c =

-=

，1

2

c e a ==，

所以2c =，4a =， 所以b =， 故C 的标准方程为

22

11612

x y

+=.-------------4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，

显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为8x my =-，

联立228,1,1612

x my x y =-???+

=??可得()22

34481440m y my +-+=，

由()()()

2

2

2

4843414457640m m m =--+?=->△，

解得2m >或2m <-， 且1224834m y

y m +=

+

，122

144

34

y y m =+，-----------2分 212

34

MN y

m =-=+.------1分 又点F 到直线l 的距离

d

=

=

--------1分

所以221122343

4MNF

S

MN d m m

=?=?

=++△

72

16

=≤

=，------------2分

当且仅当

=

，即m =--------1分 所以MNF 面积的最大值为分

22．满分12分

解：（1）依题()ln 1f x x a '=-+，()1

0e a f x x -'=?=，--------------1分

------------2分

列表分析可知，()1

1

e a a

f f e

--==-极小值，()f x 无极大值.----------1分

（2）（i ）证明：当10x e <<

，欲证()2

73f x x x <-， 即证()2

7ln 13x x x x -<-，即证7ln 13

x x -<-，

即证4

ln 03

x x -->.-------------------------------------------2分

构造函数：()4ln 3h x x x =--，则有()11

10x h x x x

-'=-=

<，

说明()h x 在

e

x 10<

<单调递减，

于是得到()11

1411ln 033h x h e e

e e ??>=--=-> ?

??.-------2分 （ii ）解：对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=. 因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增.

（1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()

02ln 210m

f m

g m m m e m -≤?+--≤.

构造函数：()()2101m

m e m m ?=--<≤，

则有()2m

m e ?'=-.

由此可得：当()0,ln 2m ∈时，()0m ?'<； 当()ln 2,1m ∈时，()0m ?'>，

即()m ?在()0,ln 2m ∈时，单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00?=，()10?=，因此()0m ?<.

同时注意到2ln 0m m ≤，故有(

)

2ln 210m

m m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-. 依据题意可知

()()101031ln 322m m e f m g m e m ??

-≤?---≤?≤?<≤ ???

.

综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.--------------4分