2018届高中数学高考二轮复习不等式与平面向量教案含答案(全国通用)
教学过程
一、考纲解读
不等式
1.对本部分的考查,不等式性质常与简易逻辑结合考查选择填空题;
2.不等式解法主要以一元二次不等式为主,兼顾简单分式不等式、含绝对值的不等式、指对数不
等式、与分段函数有关的不等式,常与集合,导数相结合。
3.线性规划为必考且难度不大。
4.基本不等式求最值要引起足够的重视;
5.不等式的恒成立问题也应当反复训练。
向量
1.对本部分的考查,在选择填空中要重视向量的几何运算和代数运算;必须掌握向量共线、垂直、
夹角、模、投影等;
2.要重视在其它知识中的工具作用,主要在解析几何中。
二、复习预习
不等式:
(1)不等关系 (2)一元二次不等式
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 (4)基本不等式:
()0,2
>≥+b a ab b
a ① 了解基本不等式的证明过程.
② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 平面向量
(1)平面向量的实际背景及基本概念 (2)向量的线性运算
(3)平面向量的基本定理及坐标表示 (4)平面向量的数量积 (5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 三、知识讲解 考点1 不等式
(1)不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式
① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
② 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式:
()0,2
>≥+b a ab b
a ① 了解基本不等式的证明过程. ② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
考点2 平面向量
(1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景.
②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算
① 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ② 掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. ③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义.
② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积
① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
四、例题精析
例1 [2014全国1卷] 已知集合A={x |2
230x x --≥},B={}
22x x -≤<,则A B ?=( )
A .[-2,-1]
B .[-1,2)
C .[-1,1]
D .[1,2)
【规范解答】解法1.选A (演绎法)
∵A={x |2
230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或,B={}
22x x -≤<,
∴A B ?={}
21x x -≤≤, 解法2.选A (特值法)
取元素2-,代入集合A 与集合B 验证,发现既在集合A 中,也在集合B 中,只有选项A 中含有元素2-,排除其它选项,选A
【总结与反思】 (1)本题考查了一元二次不等式的解法与集合的交集运算,容易出错的地方是审错题目,把不等式的等号漏掉。
(2)解法1先解一元二次不等式,借助于数轴来求交集。解法2,通过取特值,排除错误选项,选出正确选项,这种解法可以快速解决此题。
(3)在近几年的高考题,集合运算题一般放在选择题或者填空题前两题,属于基础题。
例2 [2014全国2卷] 设向量a ,b 满足│a +b │=10,│a -b │=6,则a ·b =( ) A .1 B .2 C .3 D .5 【规范解答】解法1 ∵ │a +b │=10,│a -b │=6,
∴ a 2+b 2+2a ·b =10,a 2+b 2-2a ·b =6,联立方程解得a ·b =1,故选A
解法2 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),
│a +b │=2
21221)()(y y x x +++=10,│a -b │=221221)()(y y x x -+-=6
即x 12+x 22+2x 1x 2+y 12+y 22+2y 1y 2=10,x 12+x 22-2x 1x 2+y 12+y 22-2y 1y 2=6, 两式相减得:x 1x 2+y 1y 2=a ·b =1
【总结与反思】 ⑴ 考查用坐标表示平面向量的加、减法; ⑵ 考查数量积的坐标表达式;
⑶ 考查向量的模的运算。
例3 [2014大纲卷] 若向量a 、b 满足:||1a = ,()a b a +⊥ ,(2)a b b +⊥ ,则||b =
( )
(A)2
(C)1
(D)【规范解答】解法:选(B ).(求解对照)由已知有
,2||1,1||0
||20
||0)2(0)(2
2
=-=?=?????=+?=?+??????=?+=?+从而则又选(B ). 【总结与反思】 本题考查考生对平面向量的加、减法运算,数量积运算等知识的掌握程度,考查考生的运算求解能力。
例4[2014天津卷]设R b a ∈,,则|“a b >”是“a a b b >”的( ) (A )充要不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充要也不必要条件
【规范解答】
解法1:.
. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.
|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥01222
2C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上,是充要条件则若则若时,,)当(则若则若时,,)当(是必要条件
则若是充分条件则若时,,)当(>>>>==<>>>><>>>>>==>
解法2:构造函数()f x x x =,易知该函数是单调递增的,故选C
【总结与反思】
本题主要考查不等式的基本性质和充要条件的基础知识以及基本的数学变形技能,在判断的过程中注意对所有的清楚进行讨论,不重复,不遗漏. 解法2中的构造法法也是常用方法.
例5[2014全国1卷] 不等式组1
24
x y x y +≥??
-≤?的解集记为D .有下面四个命题:
1p :(,),22x y D x y ?∈+≥-,2p :(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P :(,),23x y D x y ?∈+≤,4p :(,),21x y D x y ?∈+≤-.
其中真命题是 ( )
A .2p ,3P
B .1p ,4p
C .1p ,2p
D .1p ,3P
【规范解答】解法1 选C (作图验证) 作出可行域如图:设2x y z +=,即122
z
y x =-
+,当直线过()2,1A -时, min 220z =-+=,∴0z ≥,∴命题1p 、2p 真命题,选C.
解法2 选C (特殊点验证)
取点(4,0)代入y x 2+=4,则34≤不成立,所以2P 成立,而3P 不成立,排除A 、B 、D 选C 【总结与反思】 本题通过线性规划模型来考查命题的真假判断与应用,巧妙地把线性规划与常用逻辑结
合在一起,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于中档题.因为作图需要一定的时间,
所以解法二取特殊点验证更节省时间,提高解题效率。线性规划是高考热点之一,考查内容涉及最优解、最值、区域面积与形状等,通常通过画可行域、移线、数形结合等方法解决问题。近几年,高考对线性规划的问题的考查不再仅仅是对常规问题的考查,在知识点的交汇处命题成为高考的一个新热点。
例6[2014大纲卷] 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥??
+≤??-≤?
,则z =x +4y 的最大值为__________
【规范解答】如图:
00231
(1,1),(1,1),(2,),
23212121
1415,14(1)5,244,:5.
2
A B C x y x y x y A B C x y x y x y z z z -=-=+=?????--????+=-=-=???=+?==-+?-=-=+?=因为所以及答
【总结与反思】 本题考查简单线性规划的问题,要求考生能够准确作出二元一次不等式组不是的平面区域,考查定点问题,试题立足教材,侧重考查基础知识和基本方法的应用,考查考生对线性规划问题的理解和应用,考查数形结合的思想方法。
例7 [2014全国1卷] 已知抛物线C :2
8y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与
C 的一个交点,若4FP FQ =
,则||QF = ( )
A .
72 B .5
2
C .3
D .2 【规范解答】解法1:选C (相似比和定义)
过Q 作QM ⊥直线L 于M ,∵4FP FQ =
∴3
4PQ
PF =,又344
QM PQ PF ==,∴3QM =,由抛物线定义知3QF QM ==
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案
§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量基本定理教案(区公开课)
仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师:蒋金凤 课程名称:平面向量基本定理授课地点:高一(12)班
授课日期: 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理,会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理,使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性,体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题:定理说明:多媒体投影 小结: 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千,那么在所有条件都相同 的前提条件下,哪个秋千的绳子更容易断掉? 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 (1)作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去,给定向量 2 1 e,e和 1 OC,你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗? 看图观察并 思考,说出自己 的判断和依据 学生口述,作图 过程得结果 独立完成,个别 展示 从实际生活 问题入手,贴近 学生的日常生 活,能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理,为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究,刚刚作图 的过程还记忆犹 新,按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法