勾股定理的证明方法(完整版)

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

第一篇：

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

绪论

勾股定理是世界上应用最广泛,历史最悠久,研究最深入的定理之一,是数学、几何中的重要且基本的工具。而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。

第一节勾股定理的基本内容

文字表述：

在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。数学表达：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为，那么

a^2+b^2=^2 事实上，它是余弦定理之一种特殊形式。

第二节勾股定理的证明

1欧洲

在欧洲,相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。

欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得《几何原本》。

毕达哥拉斯的证明方法（相传）：

一说采用拼图法，一说采用定理法。

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为，再做三个边长分别为a、b、的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。

a2+b2+4×12ab = 2+4×12ab ，整理即可得到。

定理法就是几何原本当中的证法：

设△ab为一直角三角形，其中a为直角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（sas定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理

3）。证明的概念为：

把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

2 中国

《周髀算经》、《九章算术》当中都有相关问题的记载。

周髀算经的证明方法：

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广

三，股修

四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。”——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。赵爽弦图或许是中国人最著名的一种证法。

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab

2）+（b-a）2 = 2;

化简后便可得：

a2 + b2= 2

亦即：

=√（a2 + b

2）

可见，中国古人主要采取拼图法进行证明。后来美国总统加菲尔德也曾采用拼图法，利用面积巧妙的证明了勾股定理，他用了两个全等的直角三角形拼成一个梯形，利用面积法进行证明，非常巧妙。

3 其他方法

最快：

射影定理法，利用相似形来证明。

面积思想：

利用三角形五心的性质，利用面积来证明。

综上所述，勾股定理的证明是人类智慧的结晶。

第二篇：

勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：

我听说您对数学非常精通，我想请教一下：

天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？商高回答说：

数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：

当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于

3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦

5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，

用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab2；

中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab

2）+（b-a）2=2

化简后便可得：

a2+b2=2

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加

刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来，移到以弦为边的正方形的空白区域内

，

结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。81年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

第三篇：

勾股定理的证明方法

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角

三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式

化简得

，。

第四篇：

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

的平方=3的平方+4的平方

在图一中，dab为一直角三角形，其中 a为直角。我们在边ab、b和a之上分别画上三个正方形abfg、bed和akh。过a点画一直线al 使其垂直於de并交de於l，交b於m。不难证明，dfb全等於dabd。所以正方形abfg的面积=2 dfb的面积=2 dabd的面积=长方形bmld的面积。类似地，正方形akh的面积=长方形mel的面积。即正方形bed 的面积=正方形abfg的面积+正方形akh的面积，亦即是ab2+a2=b2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ml将正方形分成bmld和mel的两个部分!

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得约生於公元前325年，卒於约公元前265年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。

《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为，其余两边的长度为a和b，则由於大正方形的面积应该等於4个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

2=4+2

展开得a2+2ab+b2=2ab+2

化简得a2+b2=2

由此得知勾股定理成立。

第五篇：

勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法

【证法1】

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为.把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上.过作a的延长线交df于点p.

∵d、e、f在一条直线上,且rtδgef≌rtδebd,

∴∠egf=∠bed，

∵∠egf+∠gef=90°，

∴∠bed+∠gef=90°，

∴∠beg=180 ―90 =90 .

又∵ab=be=eg=ga=，

∴abeg是一个边长为的正方形.

∴∠ab+∠be=90 .

∵rtδab≌rtδebd,

∴∠ab=∠ebd.

∴∠ebd+∠be=90 .

即∠bd=90 .

又∵∠bde=90 ，∠bp=90 ，

b=bd=a.

∴bdp是一个边长为a的正方形.

同理，hpfg是一个边长为b的正方形.

设多边形ghbe的面积为s，则

,

∴.

【证法2】

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为.再做一个边长为的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、三点在一条直线上.

过点q作qp‖b，交a于点p.

过点b作bm⊥pq，垂足为m;再过点

f作fn⊥pq，垂足为n.

∵∠ba=90 ，qp‖b，

∴∠mp=90 ，

∵bm⊥pq，

∴∠bmp=90 ，

∴bpm是一个矩形，即∠mb=90 .

∵∠qbm+∠mba=∠qba=90 ，

∠ab+∠mba=∠mb=90 ，

∴∠qbm=∠ab，

又∵∠bmp=90 ，∠ba=90 ，bq=ba=，

∴rtδbmq≌rtδba.

同理可证rtδqnf≌rtδaef.

【证法3】

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为.再做一个边长为的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

分别以f，ae为边长做正方形fji和aeig，

∵ef=df-de=b-a，ei=b，

∴fi=a，

∴g,i,j在同一直线上，

∵j=f=a，b=d=，

∠jb=∠fd=90 ，

∴rtδjb≌rtδfd，

同理，rtδabg≌rtδade，

∴rtδjb≌rtδfd≌rtδabg≌rtδade

∴∠abg=∠bj,

∵∠bj+∠bj=90 ,

∴∠abg+∠bj=90 ,

∵∠ab=90 ,

∴g,b,i,j在同一直线上，

【证法4】

做三个边长分别为a、b、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、、b三点在一条直线上，连结

bf、d.过作l⊥de，

交ab于点m，交de于点

l.

∵af=a，ab=ad，

∠fab=∠gad，

∴δfab≌δgad，

∵δfab的面积等于，

δgad的面积等于矩形adlm

的面积的一半，

∴矩形adlm的面积=.

同理可证，矩形mleb的面积=.

∵正方形adeb的面积

=矩形adlm的面积+矩形mleb的面积

∴，即.

勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因

为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高答周公曰“勾广

三，股修

四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾

三，股

四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.

前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思的pthagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明。

勾股定理的证明方法,

附送：

勾股定理证明

勾股定理证明

第一篇：

勾股定理的证明方法

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角

三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式

化简得

，。

第二篇：

勾股定理的证明

勾股定理的证明

一、基本情况

组长：

曾烨秋

组员：

邱丽璇、李锐、陈应飞、黄富荣、贾雪梅指导老师：

何建荣

相关课程：

数学

一、问题提出

1、背景：

初中时就学习了直角三角形的勾股定理，我们对此很感兴趣，便想探究勾股定理的证明方法。

2、目的：

3、意义：

探究出勾股定理的证明方法

二、研究过程

1、查阅资料：

利用课间等休息时间在图书室或计算机室查阅资料。

2、整理资料：

在网上下载部分

第三篇：

勾股定理证明

勾股定理证明

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广

三，股修

四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

以下即为一种证明方法：

如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

∵△abe＋△aed＋△ed＝梯形abd

∴（ab+ab+

2）÷2＝2 ∴

∴2=a2+b

2，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和

初二十四班秦煜暄

第四篇：

奇特的勾股定理的证明

如图所示,正方形abd连接a,bd.

因为四边形abd是正方形

所以a垂直于bd图中的每个三角形都是直角三角形解:设ao为a,bo为b,ab为

所以正方形的面积就是a*b2*4=2a*b=2ab

正方形的面积也可以表示为^2

所以2ab=^2

ab+ab=^2

因为此图是正方形所以ａo=bo

所以a=b

所以把第一个ab中的b换成a．把第二个a换成b．所以

a*a+b*b=^2

所以a^2+b^2=^2

第五篇：

勾股定理专题证明

勾股定理专题证明

1.我们给出如下定义：

若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，

则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：-----，----- ；

如图

1，已知格点o（0,0），a（3,0）,b请你画出以格点为顶

点，oa,ob为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形oamb ；

如图

2，将△ab绕顶点b按顺时针方向旋转60°，得到△dbe，连结ad,d,∠db=

30°。写出线段d,a,b的数量关系为------；

（1）如图

1，已知∠aob，oa＝ob，点e在ob边上，四边形aebf 是平行四边形，

请你只用无刻度的直尺在图中画出∠aob的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）如图2 ，10×10的正方形网格中，点a（0，0）、b（

5，0）、（

3，

6）、d（－

1，

3），

①依次连结a、b、、d四点得到四边形abd，四边形abd的形状是-------；

②在x轴上找一点p，使得△pd的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；

此时，点p的坐标为------- ，最短周长为--------；

3. 如图正方形abd ,e 为ad边上一点，f为d边上一点，

∠fea=∠eb,若ae= ked, 探究df与f的数量关系；

4.如图1 等腰直角△ab，将等腰直角△dmn如图放置，△dmn 的斜边mn与△ab的一直角边a重合.

⑴ 在图1中，绕点 d旋转△dmn，使两直角边dm、dn分别与交于点e ，f如图2 ，求证：

ae2+bf2=ef2 ；

⑵ 在图1 中，绕点旋转△dmn，使它的斜边m、直角边 d的延长线分别与 ab交于点e ，f，如图

3，此时结论ae2+bf2=ef2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

⑶ 如图

4，在正方形 abd中，e、f 分别是边b、d 上的点且满足△ef 的周长等于正方形abd 的周长的一半，ae、af 分别与对角线 bd交于点m、n . 线段bm 、mn 、dn 恰能构成三角形. 请指出线段bm 、mn 、dn 所构成的三角形的形状，并给出证明；

5. 将一块直角三角板的直角顶点绕矩形abd（ab＜b）的对角线的交点o旋转（如图

①

②

③），图中的m、n分别为直角三角形的直角边与矩形abd的边

d、b的交点，

⑴如图

①三角板一直角边与od重合，则线段bn、d、n间的数量关系为-------------；

⑵如图

②三角板一直角边与o重合，则线段bn、d、n间的数量关系为-------------；

⑶如图

③，探究线段bn、n、m、dm间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

④若将矩形abd改为边长为1的正方形abd，直角三角板的直角顶点绕o点旋转到图

④，两直角边与ab、b分别交于m、n，探究线段bn、n、m、dm 间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

6. 如图，四边形abd, ad∥b，ad≠b ，∠b=90° ，ad=ab ,点e是ab边上一动点，连结ed，过ed的中点f作ed的垂线，交ad于点g,交b于点k,过点k作km⊥ad于m．若ab=k ae , 探究dm与dg 的数量关系；（用含的式子表示）．