数学中考典型例题讲解

第一章实数与中考

中考要求及命题趋势

1.正确理解实数的有关概念；

2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；

3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。

4、掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算

5、会用多种方法进行实数的大小比较。

2010年中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。应试对策

牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。

例题精讲

例1.(-2)3与-23

( )． (A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16

分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。

答案：A

例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6．71×103

千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) ( )

A ．5．90 ×105千米

B ．5．90 ×106千米

C ．5．89 ×105千米

D ．5．89×106千米

分析：本题考查科学记数法

答案：A 例3.化简

273 的结果是( )．

(A)7-2 (B) 7+2 (C)3(7-2) (D)3(7+2) 分析：考查实数的运算。

答案：B

例4.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )． ①b+c>0②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>ac

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。

答案：C

例5.-3的绝对值是；-321 的倒数是；9

4的平方根是．分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。

答案：3，-2/7，±2/3

例6.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D

A ．-3与3

B ．｜-3｜与一31

C ．｜-3｜与3

1 D ．-3与2(-3) 分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念

答案：D

例6.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．(已知1克大米约52粒)

如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费吨大米答案：25

例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有种上法．

分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和

答案：89

例8.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)

1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，

计算：!

98!100= ．

分析：阅读各算式，探究规律，发现100！=100*99*98！

答案：9900

第二章代数式与中考

中考要求及命题趋势

1、掌握整式的有关知识，包括代数式，同类项、单项式、多项式等；

2、熟练地进行整式的四则运算，幂的运算性质以及乘法公式要熟练掌握，灵活运用；

3、熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式；

4、了解分式的有关概念式的基本性质；

5、熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的运算和应用。

2010年中考整式的有关知识及整式的四则运算仍然会以填空、选择和解答题的形式出现，乘法公式、因式分解正逐步渗透到综合题中去进行考查数与似的应用题将是今后中考的一个热点。分式的概念及性质，运算仍是考查的重点。特别注意分式的应用题，即要熟悉背景材料，又要从实际问题中抽象出数学模型。

应试对策

掌握整式的有关概念及运算法则，在运算过程中注意运算顺序，掌握运算规律，掌握乘法公式并能灵活运用，在实际问题中，抽象的代数式以及代数式的应用题值得重视。要掌握并灵活运用分式的基本性质，在通分和约分时都要注意分解因式知识的应用。化解求殖题，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，对于分式的应用题，要能从实际问题中抽象出数学模型。

例题精讲

例1.下列各式计算正确的是( )．

(A)(a 5)2=a 7 (B)2x -2=x

21 (c)4a 3·2a 2=8a 6 (D)a 8÷a 2=a 6 分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。

答案：D

例2.把式子x 2-y 2

-x —y 分解因式的结果是．．分析：考查运用提公因式法进行分解因式。

答案：(x+y)(x-y-1)

例3.分解因式：a 2

—4a+4= 分析：考查运用公式法分解因式

答案：(a-2)2

例4.计算：9x y·(-31x 2y)= ；分解因式：2x(a-2)+3y(2-a)= 分析：考查整式的运算及提取公因式法分解因式答案：-3x 3y 2，(a-2)(2x-3y)

例5：化简(

22+--x x x x )÷x x -24的结果是．分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。答案：-

1+x 例6、下列各式中，运算正确的是 ( )

A ．a 2a 3=a 6

B ．(-a+2b)2=(a-2b)2

c ．b a b

a b a +=++122(a+b≠O) D．31)31(2-=- 分析：考查学生对幂的运算性质

答案：B

例7.对于整数a ，b,c ，d ，符号表示运算

ac —bd ，已知1<<3，则b+d 的值是．

分析：考查求代数式的值。答案：．3或-3

例8.已知a=321

+，求a a a a a a a -+---+-22212121的值．分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。

答案：a=2-3<1，

原式=a-1+=3．

例9.已知|a-4|+9-b =0，计算2

2222b a ab a b ab a --?+的值答案：由条件，得a-4=0且b-9=0 ∴a=4 b=9

原式=a 2/b 2

当a=4，6=9时，原式=16/81

例10.计算(x —y+

y x xy -4)(x+y-y x xy +4)的正确结果是( ) A y 2-x 2 B.x 2-y 2 c ．x 2-4y 2 D ．4x 2-y

2 分析：考查分式的通分及四则运算。

答案：B

第三章不等式与不等式组与中考

中考要求及命题趋势

1.不等式，一元一次不等式（组）及其解集的概念。

2.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）解法以及解集的数轴表示。

3.解决不等式（组）的应用题，要求学生会将应用题里关于‘已知量 ’‘未知量 ’之间的关系用明确的不等式关系表示出来，并注意应用题中字母所表示的实际意义。

2010年的中考将会以填空和选择的方式考查不等式的基本性质和解集概念，解答题是解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。不等式的应用题还是热点考查内容，考查可能与日常生活相联系，也可能与其他章节内容，如方程、函数及几何内容相结合。

应试对策

解不等式（组）是本节的重点，而不等式的性质是解不等式的基础，在复习本节时，首先要强化三条性质的应用顺练，切忌不等式两边同乘（除）含字母的代数式（即正负不明的代数式）；其次注意数形结合的方法，即充分利用数轴，关于不等式（组）的应用题，要通过建模训练，学会找出实际问题中的不等关系，并能在不等式的解集中找出符合题意的答案，还要注意与其他类型的应用题结合起来训练。

例题精讲

例1.函数y=2-x 中，自变量x 的取值范围是( )

A ．x≠2 B．x≥2 C.x≤2D．x>2

分析：通过不等式的形式2算术平方根中被开方数的非负性。

答案：B

例2．不等式2x+1≥5的解集在数轴上表示正确的是 ( )

分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件，不等式的解为x≥2 答案：D

例3．不等式组?

??-≤->+x x x 284133的最小整数解是（） A ．0 B ．1 C ．2

D ．－1

分析：整数包括正整数、负整数和0

答案：A 例4.不等式组 ??

?<+≥+3201x x 的整数是（）（A ） -1，0，1 （B ） -1，1 （C ） -1，0

（D ） 0，1 答案：C 例 5.如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类根式，那么使x a 24-有意义的x

的取值范围是 ( )

A ．x ≤10

B ．x ≥10

C ．x<1O

D ．x>10

分析：考查同类根式的意义及二次根式有意义的条件。

答案：A

例6.如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是

__________。

分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件

答案：-1，0

例7.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1．5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1．5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠．且甲乙两厂都规定：一次印刷数量至少是500份．

(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x 的取值范围．

(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书。那么应当选择哪一个厂?需要多少费用?

分析：本题主要考查一次函数、不等式等知识，考查运算能力及分析和解决实际问题的能力．

解：(1)y 甲=1．2x+900(元)x ≥500(份)，且x 是整数

y 乙=1．5x+540(元) x ≥500(份)，且x 是整数

(2)

若y 甲>y 乙，即1．2x+900>1．5x+540∴x<1200

若y 甲=y 乙，即 1．2x+900=1．5x+540∴x=1200

若y 甲1200

当x=2000时，y 甲=3300

答：当500≤x<1200份时，选择乙厂比较合算；

当x=1200份时，两个厂的收费相同；

当x>1200份时，选择甲厂比较合算；

所以要印2000份录取通知书，应选择甲厂，费用是3300元．

第十二章解直角三角形与中考

B A 中考要求及命题趋势

1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值；

2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角；

3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

2010年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题

应试对策

1要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值，会使用科学计算器进行三角函数的求值；

2掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题

例题精讲

例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA 的值是 ( )

A 、1515

B 、41

C 、3

1 D 、415 答案：B

例2．在A ABC 中，已知∠C=90°，sinB=5

3，则cosA 的值是 ( ) A ．43 B ．34 c ．54 D ．5

3 答案：D

例3.在Rt ΔABC 中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )

（A ）a=csinA ；（B ）a=bcotB ；（C ）b=csinB ；

（D ）c=cos b B .

答案：D

例4.为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为

( )B

（A ）30tan α米；（B ）

30tan α米；（C ）30sin α米；（D ）30sin α米

答案：B 例5．在ABC ?中，?=∠90C ，2

3cos =A ，则B ∠为（）C A ．?30 B ．?45 C ．?60 D ．?90

答案：C

例 6.如图，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室的距离AC 为( )

A ．23 米

B ．3米 c ．3．2米 D ．

33米答案：B

例7.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是米

答案：100sin β

例8.如图7，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C 点用测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AFE=60°，再沿直线CB 后退8米到D 点，在D 点又用测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米，求旗杆AB 的高度．(3的近似值取1．7，结果保留小数)

解：设AE 为x 米，在Rt △EF 中，∠AFE=60°，

∴EF=3x/3

在Rt △AGE 中，∠AGE=45° AE=GE

8+3x/3=x ∴x=12+43

即x ≈18．8(3的近似值取1．7，结果保留小数)

∴AB=AE+EB ≈20．4

答：旗杆高度约为20．4米

例9.如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ．图(2)是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．

(2)用这个图形证明勾股定理．

(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明)

解：(1)图形规范、正确写出是直角梯形 (2)S 梯形=

1 (a-b)

2 S 梯形==ab-2

1 c

2 21 (a-b)2=ab-21 c 2 整理，得a 2+b 2=c 2 (3)拼出能证明勾股定理的图形．

例10.下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地面24米．从A 到B 、从B 到C 是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB 的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC 的坡角降到与AB 的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到0．O1米)

(1)求山坡路AB 的高度BE ．

(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?

(sin5°=0．0872，cos 5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781) ．

解：(1)在Rt △ABE 中，BE=8．72(米)

(2)在Rt △CBH 中，CH=CF-HF=15．28．BC=73．497

在Rt △DBI 中，DB=175．229

∴DB-BC ≈175．229-73．497=101．732≈101．73(米)

第十三章统计与中考

中考要求及命题趋势

1、了解总体、个体、样本不同的抽样可能得到不同的结果，频数分布的意义和作用，

2、理解频数、频率的概念

3、掌握用扇形统计图表示数据，计算加权平均数，根据具体问题可选择合适的统计图表示数据的集中程度；计算极差和方差，并用它们表示数据的离散程度。列频率分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并解决简单的实际问题；样本估计总体的思想，用样板的平均数、方差估计总体的平均数。方差，根据统计结果作出合理的判断和预测，比较清晰的表示自己的观点，对日常生活中的某些数据发表自己的看法，认识到统计在社会生活及科学领域中应用，并能解决一些简单的实际问题。

2010年中考将继续考查总体、样本及样本容量等概念，以及确定平均数、众数、中位数、标准差。

应试对策

1牢固掌握概念，并能掌握概念间的区别和联系，以及在实际问题中应用。 2统计的特点是与数据打交道解题时计算较繁，所以要有意识培养认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯。

3要关注统计知识与方程、不等式相结合的综合性试题，会读频率分布直方图，会分析图表，注重能力的培养、加大训练力度。

例题精讲

今年我市初中毕业生人数为12．8万人，比去年增加了9％，预计明年初中毕业生人数将比今年减少9％，下列说法：①去年我市初中毕业生人数约为%

918.12 万人；②按预计，明年我市初中毕业生人数将与去年持平；③按预计，明年我市初中毕业生人数会比去年多．其中正确的是( )

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

初中数学最值问题典型例题

初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年高考江苏卷试题 11 ）已知函数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则满足不等式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年高考天津卷理科 16) 设函数 f ( x ) = x 2 - 1 ，对任意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长）梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

中考数学经典题例(一)及解答

中考数学经典题例（一）及解答 1、（2010年北京市）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒 2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。【解答】 24. 解：(1) ∵拋物线y = -4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，由题意知m ≠1，∴m =2，∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ，∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上，∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得 2a = -41?(3a )2+25?3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0 (舍去)，∴OP =9 22 。依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)，点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t ， ∴t +4t +2t =10，∴t =7 10 。第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，∵F 点在

高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<--k k ，即21k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五

初中数学10大解题方法及典型例题详解

初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。例题：用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0，移向得：x2+4x=－1，配方得：x2+4x+4=－1+4，即(x+2) 2=3；因此选D。 2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。例题：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2；因此选B。 3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。例题：已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0，解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1．因此选B． 4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求