动态规划法求最大字段和

实验题目

给定由n 个整数组成的序列(a 1, a 2, …, an )，求该序列形如

的子段和的最大值，当所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。 实验目的

（1）深刻掌握动态规划法的设计思想并能熟练运用；

（2）理解这样一个观点：同样的问题可以用不同的方法解决，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果。

实验内容（包括代码和对应的执行结果截图）

实验代码如下:

#include

using namespace std;

//蛮力法求解最大字段和问题

int mlf(int a[],int s[][6])

∑=j

i k k a

{

int i,j,k=0;

for(i=0;i<6;i++)

s[i][i]=a[i];

for(i=0;i<6;i++)

for(j=i+1;j<6;j++)

s[i][j]=s[i][j-1]+a[j];

for(i=0;i<6;i++)

for(j=i;j<6;j++)

if(s[i][j]>k)

k=s[i][j];

if(k<0)

k=0;

return k;

}

//分治法求解最大字段和问题

int MaxSum(int a[],int left,int right) {

int sum=0;

if(left==right)

{ //如果序列长度为1，直接求解

if (a[left]>0) sum=a[left];

else sum=0;

}

else

{

int center=(left+right)/2; //划分

int leftsum=MaxSum(a,left,center); //对应情况①，递归求解

int rightsum=MaxSum(a,center+1,right); //对应情况②，递归求解

int s1=0;

int lefts=0; //以下对应情况③，先求解s1

for (int i=center;i>=left;i--)

{

lefts+=a[i];

if (lefts>s1)

s1=lefts;

}

int s2=0;

int rights=0; //再求解s2

for (int j=center+1;j<=right;j++)

{

rights+=a[j];

if (rights>s2)

s2=rights;

}

sum=s1+s2; //计算情况③的最大子段和

if (sum

if (sum

}

return sum;

}

//动态规划法求解最大字段和问题

int dtghf(int n,int a[])

{

int sum=0;

int b=0;

for(int i=0;i

{

if(b>0)

b+=a[i];

else

b=a[i];

if(b>sum)

sum=b;

}

return sum;

}

void main()

{

cout<<"输入六个整数:"<

int a[6];

for(int i=0;i<6;i++)

{

cin>>a[i];

}

int s[6][6]={0};

int maxsum=mlf(a,s);

cout<<"蛮力法求解最大子段和为:"<

maxsum=MaxSum(a,0,5);

cout<<"分治法求解最大子段和为:"<

maxsum=dtghf(6,a);

cout<<"动态规划法求最大子段和为:"<

实验结果截图如下:

实验总结:

该实验表明同一个问题可以用不同的方法解决。应用蛮力法求解最大字段和问题的时间复杂度为O (n2)。

应用分治法求解，对应划分得到的情况①和②，需要分别递归求解，对应情况③，两个并列for 循环的时间复杂性是O (n )，所以，存在如下递推式 ???>+==1

)2(211)(n n n T n n T 根据1.2.4节主定理，算法4.7的时间复杂性为O (n log2n )。

应用动态规划法求解，其思想是将问题划分为若干个子问题，但这些子问题不一定独立，用一个表格把每个子问题的解保存起来，当用到该子问题的解时查表即可，从而避免了大量的重复计算。其时间复杂度为O (n)，所以从时间性能上比蛮力法好。