完整版江苏省普通高校对口单招文化统考数学试卷与参考答案word版.doc

江苏省 2011 年普通高校对口单招文化统考

数学试卷

一、单项选择题。（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1. 设集合， M { x | 0 x 3, x N}, 则 M的真子集个数为（）

A.3

B.6

C.7

D.8

2. log 4 3 log 4 12 log 8 4 等于（）

A. 1

B.1

C. 1

D. 5

3 2 3

3. 已知向量 a (| x 1 |,1), b (1, 2), 若 a ? b >0，则x的取值范围为（）

A. ( , )

B. ( , 2) U (2, )

C. （-3 ， 1）

D. ( , 3) U (1, )

4. 设函数 y f (x), x (0, ) ，则它的图象与直线x=a的交点个数为（）

A.0

B.1

C.0 或 1

D.2

5. 已知 sin

5 3 4 3

,2 ), 则是（）, ( , ),cos , (

13 2 5 2

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D.第四象限

6.一工厂生产某种产品 240 件，它们来自甲、乙、丙三条生产线。为检查这批产

品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙三条生产线抽取的

个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产的产品件数为（）

A.40

B.80

C.120

D.160

7. 已知过点 A（1，a），和 B（2，4）的直线与直线 x-y+1=0 垂直，则 a 的值为（）

A. 1

B.

1

C.3

D.5

5 3

8. 对于直线 m和、平面，其中m在内，“/ /”是“ m / /”的（）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

9. 若椭圆x

2

y2 1(a 1) 的离心率 e

2

，则该椭圆的方程为（）a2 2

A. 2x2 y2 1

B. x2 2 y2 1

C. x2 y2 1

D. x2 y2 1

2 4

10. 设 f（ x）是定义在( , ) 内的奇函数，且是减函数。若a b 0 ，则（）

A. f (a) f (b)

B. f (a) f (b)

C. f (a) f (b) 0

D. f (a) f (b) 0

11. 若圆心在 y 轴上，半径为 2 2 的圆C位于x轴上方，且与直线 x y 0相切，则圆 C的方程为（）

A. x2 ( y 4) 2 8

B. x2 ( y 4)2 8

C. x2 ( y 2) 2 8

D. x2 ( y 2)2 8

12. 若直线 x+y=1 通过点M (a cos ,b sin ) ，则必有（）

A. a2 b2 1

B. a2 b2 1

C. 1 1

1

1 1

1 2 2 D. 2

b

2

a b a

二、填空题。（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

13. cos120 tan225 .

14. 已知 i 为虚数单位，若复数 (a i )(1 a2i ) 是实数，则实数a= 。

15. 已知函数 y Asin( wx )( A 0, w 0) 图象的一个最高点为（1，3）其相邻的一个最低点为（ 5，-3 ），则 w= 。

16. 若曲线 y log a x 与直线 ax ay 1(a 0 且 a 0) 只有一个交点，则 a 的取值范围是。

17. 已知双曲线x

2

y2 1 上一点M到右焦点F1 的距离为 6，N 为 MF1的中点， O 16 9

为坐标原点，则 ON= 。

18.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c。已知他投篮一次得分的数学期望为2，则 ab 的最大值为。

三、解答题。（本大题共 7 小题，共 78 分）

2

19. （ 6 分）求函数 y82x 2 x的定义域。

20.（ 10 分）设 a、b、c 分别是 ABC 的三个内角 A、B、C所对的边， S 是 ABC 的面积，已知 a 4, b 5, S 5 3 .

（ 1）求角 C；（2）求c边的长度

21.（10 分）已知数列 {a n} 是公比为 q（q>0）的等比数列，其中a41，且

a2 , a3 , a3 2

成等差数列。

（ 1）求数列 {a n} 的通项公式；

（ 2）记数列 {a n} 的前 n 项和为S n求证：S n16( n N ) .

22. （ 10 分）已知二次函数 f ( x) ax2 bx c 的图象经过坐标原点，满足

f (1 x) f (1 x) 且方程f（x）=x有两个相等的实根。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求上述二次函数在区间 [-1 ，2] 上的最大值和最小值。

23.（ 14 分）某车间甲组有 10 名工人，其中 4 名女工，乙组有 5 名工人，其中 3 名女工。现从甲组中抽取 2 名工人，乙组中抽取 1 名工人进行技术考核。

（1）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工的概率；

（2）记表示抽取的 3 名工人中男工的人数，求的概率分布及数学期望。

24.（14 分）如图，已知在四棱锥 E-ABCD，侧面 EAB底面ABCD，且EA=EB=AB=a，底面 ABCD为正方形。

（1）求证：BC AE ;

（2）求直线 EC与底面 ABCD所成角的大小（用反三角函数表示）；

（3）求点 D到平面 ACE的距离。

25. （ 14 分）已知抛物线 C：y24 px ( p 0) 的焦点在直线l ：x my p20 上。

（1）求抛物线 C的方程；

（2）设直线 l 与抛物线 C 相交于点 A 和 B. 求 m的取值范围，使得在抛物线 C上存在点 M，满足 MA MB.

江苏省 2011 年普通高校对口单招文化统考

数学试卷答案及评分参考

一、单项选择题。（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADCBB

D

A

C

D

B

A

二、填空题。（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

13.

1

14.-1

15.

16. (1,

)

17.7

18.

1

2

4

6

三、解答题。（本大题共 7 小题，共 78 分）

19. 解：由题意得：

8

2x 2

2 x

0, ???????????????????????????

2 分

2 x

2

2 x

3

2 ,

x 2 2x 3 0, ??????????????????????????

2 分

3 x

1,

所以函数的定义域为 [-3 ，1]. ???????????????????

2 分

20. 解：（ 1）由题意得：

1 S ab sin C,

2

1 5sin C

5 3, 所以 sin C 3 ， ????????????????

3 分

4

2 2

C 60 或 120 .????????????????????????

3 分

（ 2）当 C 60 时， c 2

a 2

b 2 2ab cosC

=16 25 2 4 1 21,

5

2

c 21.????????????????????

2 分

当 C 120 时， c 2a 2 b 22ab cosC

1

=16 25 2 4 5 ( ) 61,

c

61. ???????????????????? 2 分

21. 解（ 1）由题意得：

2a 3 a 2 a 3 2,

2a 3 a 2 a 3 2,

a 1q 2 a 1 q

2,

①

又 a 4 a 1q 3 1, ②

① ②可得： 2q 2 q 1

0, ???????????????????? 2 分 所以 q

1

或 q=-1 （舍去） . ????????????????????

2 分

2

因为 a 4 a 1q 3 1所以 a 1 8，

从而 a n a 1q n 1 24 n . ?????????????????????? 2 分

（ 2） S n

a 1 (1 q n

)

16(1 ( 1

) n

), ???????????????? 2 分

1 q 2

所以 S n

16(1

( 1

) n ) 16. ???????????????????? 2 分

2

22. 解：（ 1）由题意得：

C=0，??????????????????????????????

1 分 b 1,

???????????????????????????? 2 分

2a

ax 2

(b 1)x 0 有相等实根，

所以

(b 1) 2 0 ，????????????????????????

1 分

从而 b 1,a

1 ,

2

所以 f ( x)

1 x

2 x.??????????????????????? 1 分

2 1 1

1

（ 2）因为 f ( x)

x 2 x

( x 1)2 , ?????????????? 1 分 2

2

2

1 ，最小值为 f ( 1) 3 . ?? 所以 f （x ）在区间 [-1 ，2] 上的最大值为 f (1)

??????????????????????????????

4 分

23. 解（ 1）记从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工的概率为 P 1，由题意得：

P 1 C 41 gC 61

8 .

C

2

15

?????????????????????????? 4 分

10

（2）设 A i { 从甲组抽取 i 名男工人 } ， i

=0，1，2， B={从乙组抽取 1 名男工人 } ，

可取 0，1，2，3，

P(

0)

P( A 0 B)

C 42 C 31 6

2 g

1

75

C

10

C 5

P(

1) P( A 1 B U A 0 B) P(A 1 B) P( A 0 B)

C 61C 41 C 31 C 42 C 21 28

2

g 1

2

g 1

75

C 10 C 5 C 10 C 5 P(

2) P( A 2 B U A 1B) P( A 2 B) P( A 1 B)

C 62 C 31

C 61C 41 C 21 31

2

g

1

2

g 1

75

C

10

C 5

C

10

C 5 P(

3) P( A B) C 62 C 21 10

g

2

C

2

C

1

75

6 分

??????????????????

10

5

所以， 的概率分布列为

1

2

3

6 28 31 10 P

75

75

75

75

??????????????? 2 分

8 3

8

E( )

5

?????????????????????????

2 分

15

24. （ 1）证明：在四棱锥 E —ABCD 中，

因为底面 ABCD 侧面 EAB ，又因为底面 ABCD 为正方形，

所以 BC AB ，从而 BC 平面 EAB ，

又 AE 平面 EAB ，

所以 BC AE.?????????????????????

4 分

（ 2）解：取 AB 的中点 F ，连接 EF ，CF ，

因为 EA=AB=BE=a ，所以

EF

3 a ABE 为正三角形，故 2 ，

所以 EF AB ，又因为侧面 EAB 底面 ABCD ，

所以 EF 底面 ABCD ，

因此，∠ ECF 就是直线 EC 与底面 ABCD 所成的角 . ?????????? 2 分 由（ 1）可知 EBC 是 Rt ，在 Rt EBC 中，

∠ CBE=90°， BC=a ，BE=a ，从而

EC

2a ，

EF

3 a 6

sin ECF

2

在 Rt EFC 中， EC

2a

4 ，

ECF

arcsin

6

4

所以

，

6

即直线 EC 与底面 ABCD 所成角的大小为

arcsin

. ?????????? 3 分

4 （ 3）设点 D 到平面 ACE 的距离为 h ，

在 ACE 中， AC

EC 2a ， AE

a ，

S AEC

1

( 2a)

2

( a

)2 ga 7 a 2 .

1 分

2

2

4

????????????????? 因为

V

D

ACE

V E ADC ，

1g 7

a 2

gh 1g 1

a 2

g 3

a,所以 h

21 a 所以

3

4

3 2

2

7

，

21

a

故点 D 到平面 ACE 的距离为

7

. ???????????????? 4 分

25. （ 1）由题意知抛物线 C 的焦点（ p ，0）在直线 l

上，

所以

p p 2 0 得 p 1，

因此，抛物线 C 的方程为

y 2

4x

. ?????????????????

4 分

（ 2）由（ 1）知

l : x my 1 0,C : y 2 4x .

设

A(x 1

, y 1

), B(x 2

, y 2

),

则由

x my 1 0

y 2 4x

消去 x

，得

y 2 4my 4

①

根据韦达定理得

y 1 y 2 4m, y 1 y 2

4 ②

从而 x 1

x 2 4m 2

2, x 1x 2 1

③????????????????????

2 分

( y 2 , y)

再设抛物线 C 上的点 M

4

，则

uuur 2

uuur

2

y

, y 1

y

, y 2

MA ( x 1

y), MB (x 2

y)

4

4 ，由 MA ⊥MB 知

uuur uuur

y 2

y 2

(x 1 )( x 2

) ( y 1

y)( y 2 y) 0

g 0 ，即 MA MB

4

4

????????? 2 分

1 y 4 y

2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 y 2 y( y 1 y 2 ) y 1 y 2 0

从而得 16

4

，

将②，③两式代入上式，并整理得

1 ( y

2 4) ( my 2)2

1 分 16

，??????????????????????

所以 y

2

4

4(my 2)

. ??????????????????????

1 分

当 y2 4 4( my 2) 时，可得 y2 4my 4 0

，它与方程①相同，

表明 M点为 A 或 B 点，不合题意，舍去. ??????????????? 1 分当 y2 4 4(my 2) 时，可得 y2 4my 12 0 ，

由判别式16m2 48 0 ，得 m2 3 ，

即m

3或 m 3

所以m

( , 3] U [ 3,

)

. ????????????????? 3 分