相似三角形的综合应用(培优提高)

相似三角形的应用

【学习目标】

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算．

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

【知识回顾】

一、相似三角形的性质

（1）对应边的比相等，对应角相等．

（2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．．

． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．

二、相似三角形的应用:

1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；

2、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．

【典型例题】

例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？

【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△

ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？

A B

C Q

M D N

P

E

例2：阅读以下文字并解答问题：

在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．

小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．

小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ．

（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）．

（3）请选择丙树的高度为（ ）

A 、6.5米

B 、5.75米

C 、6.05米

D 、7.25米

（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．

【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，

求路灯杆AB 的高度．

图1 图

2

图3

图

4

例3：如图，已知AD 是△ABC 的中线，M 是边AC 上的一动点，=CM nAM ，BM 交AD 于N 点。

⑴ 如图①，若1n =，则

=AN ND 。如图②，若2n =，则=AN

ND 。 如图③，若3n =，则=AN

ND

。 ⑵ 猜想，AN

ND

与n 存在怎样的关系？并证明你的结论。

⑶ 当n = 时，恰有AN CM

ND AM

=

【同步练习】如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S △DMN ∶S 四边形ANME =

例4：如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°

，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形

DBCE 重叠部分的面积记为y ．

（1）用x 表示ADE △的面积；

（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

B C A

E

A '

D

B

C A

【同步练习】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF 取得最大值?最大值为多少?

例5：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

②探究2：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

【同步练习】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝

3，求FG 的长．

例6：如图，已知抛物线y ＝4

3x 2

＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝

t

43

x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．

（1）填空：点C 的坐标是___________，b ＝_______，c ＝_______； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

A C

B

Q P

O

H x

y

巩固练习

1.

ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）

①1A ∠=∠，②CD DB

AD CD

=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤CD AC BD AC ?=? A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形△ADE ，EB ，CE 分别交AD 于点G ，H ．设△CDH ，

△GHE 的面积分别为S 1，S 2，则（ ） A ．212S 3S =． B ．213S 2S = C ．21S 32S =． D ．21S 2S 3=

3. 如图，在Rt ΔABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式（ ） A ．b=a+c B ．b=ac C ．b 2=a 2+c 2 D ．b=2a=2c

4. 某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在

Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30cm ，AB=50cm ，依次裁下宽为1cm 的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若

使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm ，则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．27

5. 如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，

213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和

为 ．

6. 在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在

坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ）

A ．24m

B ．22m

C ．20m

D ．18m

7. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，

保持AM 和MN 垂直，

（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；

（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；

（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．