【金版学案】2015-2016学年高中数学221向量的加法练习(含)苏教版必修4解读
2．2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法
情景：请看如下问题：
(1)如图(1)，某人从A 到B ，再从B 按原来的方向到C ，则两次位移的和AB →＋BC →
应该是________．
(2)如图(2)，飞机从A 到B ，再改变方向从B 到C ，则两次位移的和AB →＋BC →
应该是________．
(3)如图(3)，船的速度是AB →，水流速度是BC →，则两个速度的和AB →＋BC →
应该是________．
思考：从(1)(2)(3)的解答，你发现了一个什么规律？
1．已知向量a 、b 在平面内________，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →
叫做a 与b 的和，记作________，即______________，求两个向量和的运算，叫做____________，上述方法称为向量加法的________．
答案：是非零向量 a ＋b a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
向量的加法 三角形法则
2．以同一点A 为起点的两个已知向量a 、b 为________作?ABCD ，则以________________就是a 与b 的和，这种方法叫做向量加法的________．
答案：邻边 A 为起点的对角线AC →
平行四边形法则
3．a ＋b ＝__________；(a ＋b )＋c ＝__________；
a ＋0＝________＝________．
答案：b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a a
4．向量的加法的几何意义是______________________________． 答案：满足平行四边形法则和三角形法则
向量的加法
1．向量加法的定义．
已知向量a 和b (如上图)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →
叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →
.
求两个向量和的运算叫做向量的加法． 对于零向量和任一向量a ，有a ＋0＝0＋a ＝a . 对于相反向量，有a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 2．向量加法运算律．
向量的加法满足交换律和结合律，即
a ＋
b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋
c ＝a ＋(b ＋c )．
3．向量加法运算的几何意义． (1)向量加法的三角形法则．
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对三角形法则的理解：
我们知道，向量加法的三角形法则是：
若a ＝AB →，b ＝BC →，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
(如右图所示)．
向量加法的三角形法则的式子内容是：两个向量(均指用两个字母表示的向量)相加，则表示第一个向量终点的字母与表示第二个向量起点的字母必须相同(否则无法相加)，这样两个向量的和向量是以第一个向量的起点的字母为起点，以第二个向量的终点的字母为终点的向量．
位移的合成可以看做是向量加法三角形法则的物理模型(力的合成可以看做向量加法平行四边形的物理模型)．
(2)向量加法的平行四边形法则．
如右图，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线OC →
就是a 与b 的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
基础巩固
1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →
，则( )
A ．ABCD 一定为矩形
B ．ABCD 一定为菱形
C ．ABC
D 一定为正方形 D ．ABCD 一定为平行四边形
答案：D
2．下列结论中，不正确的是( )
A ．0＋a ＝a
B.AB →＋BA →＝2AB →
C ．对于任意向量a ，b ，|a ＋b |≥0
D ．对于任意向量a ，b ，||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案：B
3．在矩形ABCD 中，AC →
等于_____________________________．
答案：AD →＋DC → 或AB →＋BC → 或AB →＋AD →
4．如右图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、
G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，则EF →
等于________．
答案：AG →＋DH →
5．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →
化简后等于________． 答案：AC →
6.AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →
＝________． 答案：0
能力升级
7．已知△ABC 是正三角形，则在下列各等式中不成立的是( ) A ．|AB →＋BC →|＝|BC →＋CA →| B ．|AC →＋CB →|＝|BA →＋BC →| C ．|AB →＋AC →|＝|CA →＋CB →|
D ．|AB →＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →|
解析：作出正三角形ABC ，AD 、CE 分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：
|AB →＋AC →|＝2|AD →|，|CA →＋CB →|＝2|CE →|.
又∵△ABC 为正三角形，∴|AD →|＝|CE →
|.故C 项正确．A 、D 两项直接利用三角形法则判断也是正确的，只有B 项不正确．
答案：B
8．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°.则在下列各结论中，正确的结论个数为________．
①|AB →＋AC →|＝|BC →| ②|AB →＋BC →|＝|CA →| ③|AB →＋CA →|＝|BC →| ④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2
解析：以AB →、AC →
为邻边作平行四边形ABDC ，则ABDC 为矩形，而矩形的对角线相等，故①③均正确，另外两个可直接求解也是正确的．
答案：4个
9．向量a 、b 满足|a |＝6，|b |＝10，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．
(1)
解析：当a 、b 不共线时，如图(1)，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →
＝a ＋b .由向量加法的几何意义知|a ＋b |＜|a |＋|b |＝16.
当a 、b 共线同向时，如图(2)，作AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝a ＋b ，由向量加法的几何意义可知|AC →
|＝|a ＋b |＝|a |＋|b |＝16.
(2)
当a 、b 共线反向时：如图(3)所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →
＝a ＋b ，由向量加法的几何意义可知|a ＋b |＝|b |－|a |＝10－6＝4，
∴|a ＋b |的最大值为16，最小值为4.
(3)
本题也可以直接利用||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |求解． 答案：16 4
10．如图所示，用两根绳子把重为10 N 的物体W 吊在水平杆AB 上，∠ACW ＝150°，∠
BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解析：设CE →，CF →分别表示A ，B 处所受的力，10 N 的重力用CG →
表示，
则CE →＋CF →＝CG →.
因为∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°，
所以|CE →|＝|CG →
|cos 30°＝10×32＝53(N)，
|CF →|＝|CG →
|cos 60°＝10×12＝5(N)．
故A 和B 处所受力的大小分别为5 3 N ，5 N.
11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，求证： |BC →|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.
解析：如图，由于∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，因此，若以DB ，DA 为邻边作矩形ADBE ，则
|AB →|＝|DE →|，且DB →＋DA →＝DE →. 所以|DB →＋DA →|2＝|DE →|2＝|AB →|2
. 同理|DC →＋DA →|2＝|AC →|2
，
所以|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2
， 即|BC →|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.