初中数学《平面几何》知识要点

初中数学《平面几何》知识要点

一、平行线与三角形

1．平行线的判定与性质

（1） 角相等?两直线平行； （2） 角相等?两直线平行； （3） 角互补?两直线平行． 注意：证明平行线的方法还有：

（4）平行于（或垂直于）同一直线的两直线平行； （5）平行四边形对边平行；

（6）三角形（梯形）的中位线平行于第三边（上下底）；

（7）一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成 ，则这条直线平行于第三边． 2．三角形的一般性质

（1）三个内角的和等于 度；

（2）一个外角等于 的两内角的和；一个外角大于 的内角． （3）两边之和 第三边，两边之差 第三边； 3．全等三角形

（1）能够 的两个三角形叫全等三角形． （2）判定两个三角形全等的一般方法可简记为

① ，② ，③ ，④ ． 特别地，两直角三角形全等还可用 ． （3）全等三角形性质有

①对应边 ，②对应角 ，③对应线段（中线、角平分线、高） ，④面积 ．

注意：①全等的判定条件中至少有一边等，②对一般三角形而言，“边、边、角”和“角、角、角”不一定全等．

二、等腰三角形和直角三角形

1．线段中垂线、角平分线的性质

（1）线段垂直平分线上的点到线段 距离相等． 它的逆定理是 ． （2）角平分线上的点到角的 距离相等.

它的逆定理是 ． 2．等腰三角形的性质 （1）△ABC 中，性质判定

?

=AC AB ．（“等边对等角”、“等角对等边”）

（2）等腰三角形底边上 、 及顶角 三线合一．

3．等边三角形的性质

（1）△ABC 中，性质判定

?

==BC AC AB ．

2

4

3a S ABC =

?正（其中a 是正三角形的 ）

． （2）有一个角为 度的等腰三角形是等边三角形．

D

C

B

A

a C

B A

4．直角三角形的性质

（1）Rt △ABC 中，=

∠+∠??=∠B A C 性质

判定90．

222)()()(

90=+??=∠性质

判定

C ．

（勾股定理） （2）Rt △ABC 中，AB CM 2

1

=

==?

性质判定

是斜边上的中线． 若Rt △ABC 中，∠C =90°，则有∠A =30°?BC = AB ．

三、多边形、平行四边形

1．多边形

n 边形的内角和= ，n 边形的外角和= ． 2．平行四边形

（1） 的四边形，叫做平行四边形． （2）平行四边形的（1）对角 ，邻角 ，（2）对边 ，（3）对边 ，（4）对角线 ． （3）要证明四边形是平行四边形，可以证（1）两组对边 ，（2）两组对边 ，（3）两组对角 ，（4）一组对边 ，（5）对角线 ． 注意：平行四边形不一定是轴对称图形．

四、矩形、菱形、正方形

1．矩形、菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质． 2．矩形的四个角 ，对角线 ．

3．菱形的四条边 ，对角线 ，且每条对角线 ． 对角线的乘积高边长棱形2

1

=

?=S ． 4．正方形同时具有 形和 形的性质．22)(2

1)(=

=正方形S

5．矩形、菱形和正方形的判定．

五、梯形

1．梯形的中位线：平行于 且等于 的一半．

2．梯形高为h ，上、下底分别为a 、b ，则梯形面积S 梯形= ．若梯形的高为h ，中位线为m ，则梯形 S 梯形= ．

3． 相等?等腰梯形．或 相等?等腰梯形．还有 相等?等腰梯形．

六、相似三角形

A

B

C

a b

c

M

C

B

A

1、比例线段

（1）如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例式是 ． （2）如果b 是a 和c 的比例中项，则a : b = ，b = ． （3）比例的基本性质：b a =d

c ? .

（4）合比性质：

b a =d

c

? . （5）等比性质：n

m d c b a ===Λ，（b ＋d ＋……＋n ≠0）=

++++++?n d b m

c a ΛΛ．

（6）平行线分线段成比例定理：

如图，AB ∥CD ∥EF ，则 ．

2、相似三角形

1．定义：对应角 ，对应边 ?两三角形相似． 2．相似三角形的判定

（1）如图，ΔABC 中，DE ∥BC 且交AB 、AC 所在的直线于D 、E ，则△ ∽△ ．（DE 可能在哪些位置，画出图形．）

（2）两角对应 ?两三角形相似．

（3）两边 且 相等?两三角形相似．

（4）三边 ?两三角形相似．

（5）斜边与一条直角边 ? 两个 三角形相似． 3．相似三角形的性质

????

??面积的比等于

及周长的比等于

角平分线中线高对应线段相似三角形)2(),,()1(

七、解直角三角形

1．锐角三角比：

（1）锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ． （2）特殊角的三角比：

2．解直角三角形的依据：如图，在△ABC 中，∠C =90°．

（1）三边之间的关系： a 2＋b 2= ． （2）锐角之间的关系：∠A ＋∠B = ．

（3）边角之间的关系：

（4）面积ch ab S ABC 2

1

21==?．

3．在实际问题中解直角三角形．

（1）坡角和坡度

A B a

c A

B h l

A B

C

D E

F E

D C

B A D h

c b

a

C

B

A

视线

水平线

仰角俯角

视线

坡面与水平面的夹角叫做坡角．如图中的∠A ．

坡面的垂直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，

图中，坡度tan )()(==i ． （2）仰角和俯角

视线与水平线的夹角叫做视角．视线在水平线 的视角叫做仰角； 视线在水平线 的视角叫做仰角；

八、圆的概念和性质

1．用点的集合来定义圆、圆的内部、圆的外部，从而推出了点与圆的位置关系： 点在圆外?d r ，点在圆上?d r ，点在圆内?d r ． 2．确定圆的条件： 的三个点确定一个圆． 3．圆的对称性：圆是轴对称图形，又是中心对称图形．

（1）由圆是轴对称图形推出垂径定理及推论．

（2）由圆是中心对称图形，并且具有旋转不变性（圆绕其圆心旋转任意大小的角度，都能与原图形重合）推出圆心角、弧、弦、弦心距四者相等关系定理及推论． 4．（1）垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对 ?

???

?

????⊥E AB CD CD 于是直径

??

??

?????

??

=)(不是直径是直径AB BE

AE CD

思考：一条直线如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧等五个

条件中的任意两个，就能推出其余三个吗?

（2）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在 或 中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ，所对应的弦的弦心距 ．

思考：在同圆或等圆中， ①圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，只要任意一组量相等，其余三组量分别相等吗？

②若两条弦不等，则两弦所对的圆心角、弧、弦心距的大小有什么关系？

与圆有关的角

九、直线和圆的位置关系

1．由直线和圆的公共点个数定义直线和圆的位置关系： 直线和圆：（1）有两个公共点时，叫做直线和圆 ；（2）有唯一公共点时，叫做直线和圆 ；（3）没有公共点时，叫做直线和圆 ． 2．由圆心到直线的距离d 与圆半径r 大小的比较来

判断直线与圆的位置关系： A B C O

E F

...l

l l 相离相交

相切d r d r d

r

（1）直线和圆相交?d r ； （2）直线和圆相切?d r ；

（3）直线和圆相离?d r ．

3．切线的判定：

（1）若圆心到直线的距离等于 ，则这条直线是圆的切线． （2）经过半径 ，并且 这条半径的直线是圆的切线． 思考：要证明一条直线是圆的切线何时用判定（1）？何时用判定（2）？ 4．切线的性质：圆的切线 经过切点的半径；

思考：如何作辅助线应用切线性质解题?

十、圆和圆的位置关系

两圆外离、外切、相交、内切、内含等5种位置关系是通过两圆的相对运动，观察两圆的相对位置和公共点的个数来定义的．

1．两圆五种位置关系的判定方法：

设⊙O 1，和⊙O 2的半径分别为R 、r （R ＞ r ），两圆心的距离O 1O 2=d ，那么两圆的位置关系为：

（1）两圆外离?d R ＋r ； （2）两圆 ?d =R ＋r ；

（3）两圆相交?R －r ＜d ＜R ＋r ； （4）两圆 ?d =R －r ； （5）两圆 ?d ＜R －r ．

思考：两圆同心与两圆内含有何关系？

2．两圆位置关系的有关性质：

（1）相切（内、外切）两圆的连心线 切点．

（2）相交两圆的连心线 它们的公共弦．

十一、圆周长，面积，弧长，扇形面积，弓形面积计算公式：

（r 表示半径，n 表示扇形中弧所对的圆心角） 圆周长：C =2πr 圆面积：S =πr 2

弧长：l =

扇形面积：lr r n S 2

1

3602==π扇形

弓形面积：S 弓形AB =S 扇形OAB －S △AOB 或S 弓形AB =S 扇形OAmB ＋S △AOB ．

l

d r O A

内切内含

相交外切

外离